Exercices Semaine 2 - Géométrie dans l’espace

Dans l’espace, on considère le tétraèdre $SABC$ représenté ci-dessous. $F$ et $G$ sont les milieux respectifs des arêtes $[AB]$ et $[AS]$.

On considère par ailleurs :

• le point $L$ tel que :

$$\overrightarrow{AL\ }=\dfrac 12\cdot \overrightarrow{AC\ }+\dfrac 12\cdot \overrightarrow{AS\ }$$

• et $O$ le point défini par l’égalité vectorielle :

$$\begin{aligned} &\overrightarrow{OA\ }+\overrightarrow{OB\ }+\overrightarrow{OC\ }+\overrightarrow{OS\ }=\vec 0 \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{où $\vec 0$ est le vecteur nul}}} \end{aligned}$$

• $O$ est appelé centre de gravité du tétraèdre $SABC$.

Question 1

Reproduire le tétraèdre sans souci d'échelle et y placer le point $L$.
Montrer que $L$ est le milieu de l’arête $[SC]$.

Question 2

Démontrer que $\overrightarrow{AO\ }=\dfrac 14\cdot (\overrightarrow{AB\ }+\overrightarrow{AC\ }+\overrightarrow{AS\ })$.

Question 3

Justifier que $(\overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{AC\ },\,\overrightarrow{AS\ })$ forme une base de l’espace.

• Dans la suite, on munit l’espace du repère $(A\ ;\, \overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{AC\ },\,\overrightarrow{AS\ })$.

Question 4

• Déterminer les coordonnées des points $F$, $G$, $L$ et $O$ dans le repère $(A\ ;\, \overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{AC\ },\,\overrightarrow{AS\ })$.
• Les points $F$, $G$ et $L$ sont-ils alignés ? Justifier votre réponse.
• Calculer les coordonnées du milieu de $[FL]$.
  En déduire que les points $F$, $G$, $L$ et $O$ sont coplanaires.
• Représenter le point $O$ sur la figure.

On considère le cube $ABCDEFGH$ ci-dessous.

• $J$ et $N$ sont les milieux respectifs de $[FG]$ et $[AB]$.
• Les points $I$ et $K$ sont tels que :

$$\overrightarrow{HI\ }=\dfrac 3{10}\cdot \overrightarrow{HG\ }\qquad \text{et}\qquad \overrightarrow{HK\ }=\dfrac 14\cdot \overrightarrow{HD\ }$$

• On représente aussi les droites $(IJ)$ et $(BC)$.

Question 1

Reproduire le cube avec les points $I$, $J$, $K$ et $N$, sans souci d’échelle.

• Compléter la figure au fur et à mesure des questions.

Question 2

• Quelle est la position relative de la droite $(IJ)$ et du plan $(ABD)$ ? Justifier.
• Montrer que les droites $(IJ)$ et $(BC)$ ne sont pas coplanaires.
  Sont-elles sécantes comme semble l’indiquer la figure ?
• Quelle est la position relative des droites $(IJ)$ et $(EH)$ ?

Question 3

Soit $L$ le point d’intersection des droites $(IJ)$ et $(EH)$.

Montrer que les plans $(AED)$ et $(IJK)$ sont sécants et que leur intersection est la droite $(LK)$.

Question 4

On se place dans le repère de l’espace $(A\ ;\, \overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{AD\ },\,\overrightarrow{AE\ })$.
Dans ce repère, on admet que les coordonnées des points $I$, $J$, $K$ et $N$ sont :

$$I\left(\dfrac 3{10}\ ;\, 1\ ;\, 1\right)\quad J\left(1\ ;\, \dfrac 12\ ;\, 1\right) \quad K\left(0\ ;\, 1\ ;\, \dfrac 34\right)\quad N\left(\dfrac 12\ ;\, 0\ ;\, 0\right)$$

Démontrer l’égalité vectorielle :

$$\overrightarrow{IN\ }=2\cdot \overrightarrow{IJ\ }+4\cdot \overrightarrow{IK\ }$$

Que peut-on en conclure pour les points $I$, $J$, $K$ et $N$ ?

Question 5

Soit $M$ le point d’intersection de $(KL)$ et de $(AD)$.

On cherche dans cette question à tracer la section du cube par le plan $(IJK)$.

• Démontrer que les droites $(MN)$ et $(IJ)$ sont strictement parallèles.
• Tracer la section du cube par le plan $(IJK)$. On ne demande pas de justification.

L’espace est muni d’un repère orthonormé $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$.
On considère les points :

$$\begin{aligned} A\,(-5\ ;\, -2\ ;\, &0)\quad B\,(-1\ ;\, -2\ ;\, 2)\quad C\,(-5\ ;\, -2\ ;\, 2) \\ &D\,(-3\ ;\, 3\ ;\, 1)\quad E\,(-4\ ;\, 1\ ;\, 3) \end{aligned}$$

Question 1

Calculer les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$.

Question 2

Montrer que $\overrightarrow{AB\ }$ est un vecteur normal au plan $(DEI)$. Que peut-on en déduire pour les droites $(ED)$ et $(AB)$ ?

Question 3

On définit le plan médiateur d’un segment par l’unique plan orthogonal à ce segment en son milieu.

• Justifier que le plan médiateur de $[AB]$ est le plan $(DEI)$.
• On considère $P$ un plan parallèle à $(DEI)$.
  Donner une droite orthogonale et un vecteur normal au plan $P$.
• En déduire que le plan médiateur de $[AB]$ et le plan médiateur de $[AC]$ ne sont pas parallèles.

Question 4

• Soit $M$ un point de l’espace. Démontrer que :

$$(\overrightarrow{MA\ }+\overrightarrow{MB\ })\cdot (\overrightarrow{MA\ }-\overrightarrow{MB\ })=MA^2-MB^2$$

Puis que :

$$(\overrightarrow{MA\ }+\overrightarrow{MB\ })\cdot (\overrightarrow{MA\ }-\overrightarrow{MB\ })=2\cdot \overrightarrow{MI\ }\cdot \overrightarrow{BA\ }$$

• En déduire que, si $M$ appartient au plan médiateur de $[AB]$, alors il est équidistant de $A$ et de $B$.

Par la suite, on admet les propriétés suivantes :

• le plan médiateur d’un segment est l’ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment ;
• les plans médiateurs des arêtes d’une pyramide se coupent en un point qui est le centre de la sphère circonscrite à la pyramide.

Question 5

Les plans médiateurs des arêtes de la pyramide se coupent en $S\,(-3\ ;\, 0\ ;\, 1)$.
Calculer le rayon de la sphère circonscrite au tétraèdre $ABCD$.

L’espace est muni d’un repère orthonormé $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$. On considère :

• le vecteur $\vec n$ :

$$\vec n \begin{pmatrix} 2\\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$$

• les points : $A\,(-2\ ;\, 1\ ;\, 6)$ ; $B\,(0\ ;\, 3\ ;\, -4)$ ; $C\,(1\ ;\, 5\ ;\, 2)$ et $D\,(1\ ;\, 0\ ;\, 3)$.
• On admet que les points $A$, $B$ et $D$ ne sont pas alignés et que $C \notin (ABD)$.

Question 1

• Montrer que $\vec n$ est un vecteur normal au plan $(ABD)$.
• En déduire que $(ABD)$ admet pour équation cartésienne :

$$2x+3y+z-5=0$$

Question 2

• Soit $(d)$ la droite passant par $A$
  et de vecteur directeur $\vec u \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix}$.

Quelle est la position relative de $(d)$ et de $(ABD)$ ? Justifier.

• Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$.

Question 3

• Prouver que le projeté orthogonal de $C$ sur $(ABD)$ est le point $I$ de coordonnées $(-1\ ;\, 2\ ;\, 1)$.
• Quelle est la distance du point $C$ au plan $(ABD)$ ?

Question 4

On considère la sphère $\mathcal S$ de centre $C$ et de rayon $R=\sqrt{41}$.
On admet que la sphère $\mathcal S$ admet pour équation cartésienne :

$$(E):(x-1)^2+(y-5)^2+(z-2)^2=41$$

C’est-à-dire qu’un point $M\,(x\ ;\, y\ ;\, z)$ appartient à $\mathcal S$ si et seulement si ses coordonnées vérifient l’équation $(E)$.

• Le point $I$ est-il à l’intérieur ou à l’extérieur de la sphère ? Justifier.
• Déterminer l’intersection de la sphère et de la droite $(d)$.
• On rappelle que, lorsqu’elle existe, la section d’une sphère par un plan est un cercle.

Ici, la section de $\mathcal S$ par $(ABD)$ est un cercle de centre $I$.
Calculer le rayon $r$ de ce cercle.