On considère le cube $ABCDEFGH$ ci-dessous.
- $J$ et $N$ sont les milieux respectifs de $[FG]$ et $[AB]$.
- Les points $I$ et $K$ sont tels que :
$$\overrightarrow{HI\ }=\dfrac 3{10}\cdot \overrightarrow{HG\ }\qquad \text{et}\qquad \overrightarrow{HK\ }=\dfrac 14\cdot \overrightarrow{HD\ }$$
- On représente aussi les droites $(IJ)$ et $(BC)$.
Cube ABCDEFGH
Question 1
Reproduire le cube avec les points $I$, $J$, $K$ et $N$, sans souci d’échelle.
Les questions 2, 3 et 4 sont indépendantes.
Question 2
Quelle est la position relative de la droite $(IJ)$ et du plan $(ABD)$ ? Justifier.
Montrer que les droites $(IJ)$ et $(BC)$ ne sont pas coplanaires.
Sont-elles sécantes comme semble l’indiquer la figure ?
Quelle est la position relative des droites $(IJ)$ et $(EH)$ ?
Question 3
Soit $L$ le point d’intersection des droites $(IJ)$ et $(EH)$.
Cube ABCDEFGH
Montrer que les plans $(AED)$ et $(IJK)$ sont sécants et que leur intersection est la droite $(LK)$.
Question 4
On se place dans le repère de l’espace $(A\ ;\, \overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{AD\ },\,\overrightarrow{AE\ })$.
Dans ce repère, on admet que les coordonnées des points $I$, $J$, $K$ et $N$ sont :
$$I\left(\dfrac 3{10}\ ;\, 1\ ;\, 1\right)\quad J\left(1\ ;\, \dfrac 12\ ;\, 1\right) \quad K\left(0\ ;\, 1\ ;\, \dfrac 34\right)\quad N\left(\dfrac 12\ ;\, 0\ ;\, 0\right)$$
Démontrer l’égalité vectorielle :
$$\overrightarrow{IN\ }=2\cdot \overrightarrow{IJ\ }+4\cdot \overrightarrow{IK\ }$$
Que peut-on en conclure pour les points $I$, $J$, $K$ et $N$ ?
Question 5
Soit $M$ le point d’intersection de $(KL)$ et de $(AD)$.
Cube ABCDEFGH
On cherche dans cette question à tracer la section du cube par le plan $(IJK)$.
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