Exercices Graphes probabilistes

On considère le graphe probabiliste ci-dessous.

Écrire sa matrice de transition $M$.

Soit le graphe ci-contre représentant un marché que se partagent trois entreprises $A$, $B$ et $C$.

Compléter ce graphe pour qu’il soit un graphe de transition probabiliste.

Une salle de sport propose à ses adhérents deux types d’abonnement :

• l’abonnement de type $A$ : accès uniquement aux installations sportives ;
• l’abonnement de type $B$ : accès aux installations sportives et aux installations détentes.

Les adhérents choisissent le type d’abonnement qu’ils souhaitent.
La première année, en 2015, 80 % des adhérents ont choisi l’abonnement de type $A$.
Les années suivantes, 10 % des adhérents ayant un abonnement de type $B$ et 30 % des adhérents ayant un abonnement de type $A$ changent d’abonnement l’année suivante.

On note $P_n=\begin{pmatrix} a_n & b_n \end{pmatrix}$ la matrice représentant l’état probabiliste de l’année $2015+n,$
$a_n$ est la proportion des adhérents ayant un abonnement du type $A$, et $b_n$ est la proportion des adhérents ayant un abonnement du type $B$.

Quel est l’état probabiliste $P_0$ ?