Cours Primitives : définitions, calculs et tableaux
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Introduction :
Dans ce cours, nous allons découvrir la notion de primitive. Tout d’abord, nous définirons ce qu’est une primitive d’une fonction. Ensuite, nous verrons comment les calculer.
La primitive sert à calculer des intégrales. Le calcul intégral est en fait un calcul d’aire.
Exemple
On veut calculer l’aire du domaine délimité par les courbes $C$ et $\Gamma$ et les droites d’équation $x = 1$ et $x = e$.
On va passer par le calcul d’une intégrale.
Notion de primitive
Définitions et vocabulaire
Définition
Primitive :
Soit $f$ une fonction continue sur l’intervalle $I$.
On appelle primitive d’une fonction $f$ sur $I$, une fonction $F$ dérivable sur $I$ dont la dérivée est égale à $f$.
Ainsi, pour tout $x$ de $I$, $F'(x)=f(x)$.
Exemple
La fonction $x→x^2$ est dérivable sur $R$ et sa dérivée est la fonction $x→2x$. Alors, on dit que $x ^2$ est une primitive de $2x$.
Propriété
- Toute fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$.
- Si $F$ est l’une des primitives de $f$ sur $I$, les autres primitives de $f$ sont les fonctions $F(x)+k$ où $k$ est une constante réelle.
Une seule de ces primitives prend une valeur de $y_0$ donnée en un $x_0$ de $I$ donné.
Exemple
On a vu précédemment que la fonction $F(x)=x^2$est une primitive de la fonction $f(x)=2x$.
Alors toutes les fonctions de la forme $G(x)=x^2+k$, où $k$ est une constante réelle, sont les primitives de la fonction $f(x)=2x.$
La fonction $H(x)=x^2+2$ est la primitive de $f(x)=2x$ telle que $H(0)=2.$
Vérifier qu’une fonction $F$ est une primitive d’une fonction $f$
Exemple
Vérifier que $F(x)=\ln (x+1) + {{1} \over x+1}$ est une primitive de la fonction de $f(x)={{x} \over (x+1)^2}$.
On va partir de la supposée primitive $F$ et on va calculer sa dérivée.
On reconnaît la forme $\ln (u)$ dont la dérivée est ${u' \over u}$ et la forme ${1\over u}$ dont la dérivée est $-{u' \over u^2}$.
On a donc $F'(x)={{1} \over x+1}+(-{{1} \over (x+1)^2})={{1} \over x+1}-{{1} \over (x+1)^2}$
La prochaine étape est de tout mettre sous le même dénominateur, à savoir $(x+1)^2$.
$\begin{aligned}F'(x)&={{1} \over x+1}\times {{1+x} \over x+1}-{{1} \over (x+1)^2}\\&={{1+x} \over (x+1)^2}-{{1} \over (x+1)^2}\\&={{x+1-1} \over (x+1)^2}\\&=f(x)\end{aligned}$
- On vient de démontrer qu’en dérivant $F(x)$ on tombe sur $f(x)$ alors $F$ est bien une primitive de $f$.
Calcul de primitives
Primitives de fonctions usuelles
Exemple
Calculer les primitives des fonctions suivantes.
- $\boxed{f(x)=-4x+5}$
D’après la deuxième formule du tableau, une primitive de $x$ est ${1\over 2}x^2$.
De même, une primitive de $-4x$ est $-4\times {1\over 2}x^2=-2x^2$.
Enfin, la primitive de $5$ est $5x$.
- On a donc $F(x)=-2x^2+5x$.
- $\boxed{f(x)=x^3+2x+4}$
On regarde le tableau : la primitive de $x^3$est ${1\over 4}x^4$.
La primitive de $2x$ est $2\times {1\over 2}x^2=x^2$.
La primitive de $4$ est $4x$.
- On a donc $F(x)={1\over 4}x^4+x^2+4x$.
- $\boxed{f(x)={1\over x^3}}$
La première étape consiste à transformer l’écriture de $f(x)$pour se ramener à une forme du tableau : $f(x)={1\over x^3}=x^{-3}$.
Ainsi, une primitive de $x^{-3}$ est ${1\over -2}x^{-2}=-{1\over 2}x^{-2}$.
- On a donc $F(x)=-{1\over 2}x^{-2}=-{1\over 2x^2}$.
Exemple
Calculer les primitives des fonctions suivantes.
- $\boxed{f(x)=3(2x-1)(x^2-x+4)^5}$
On appelle la fonction $u→x^2-x+4$ , on constate que $v→2x-1$ est la dérivée de $u$.
La fonction peut donc s’écrire : $f(x)=3\times u'\times u^5$
D’après la formule du tableau des primitives, $f(x)=3\times {1\over {5+1}}\times u^{5+1}$.
- On a donc $F(x)=3\times {1\over 6}\times (x^2-x+4)^6={1\over 2}(x^2-x+4)^6$
- $\boxed{f(x)={2x\over {(x^2+1)^4}}}$
On constate que la fonction $v→2x$ est la dérivée de $u→x^2+1$.
La fonction peut donc s’écrire sous la forme $f(x)={u'\over u^4}=u'u^{-4}$.
D’après la formule du tableau des primitives : $F(x)={1\over {(-4)+1}}\times u^{(-4)+1}$.
- On a donc $F(x)={1\over {-3}}\times {(x^2+1)}^{-3}=-{1\over {3(x^2+1)^3}}$
- Déterminons ensuite une primitive de la fonction $\boxed{h(x)=\dfrac{e^x}{e^x+2}}$
Si on appelle $u$ la fonction $x→e^x+2$, on remarque que la fonction $x→e^x$ est la dérivée de $u$ c’est-à-dire $u'$.
La fonction $h(x)$ est donc écrite sous la forme : $\dfrac{u'}u$ et d’après la formule correspondante dans le tableau des primitives, $H(x)$ s’écrira sous la forme $\ln\ u$ .
- On obtient donc $H(x)=\ln (e^x+2)$
