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Primitives : définitions, calculs et tableaux

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Introduction :

Dans ce cours, nous allons découvrir la notion de primitive. Tout d’abord, nous définirons ce qu’est une primitive d’une fonction. Ensuite, nous verrons comment les calculer.

La primitive sert à calculer des intégrales. Le calcul intégral est en fait un calcul d’aire.

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Exemple

On veut calculer l’aire du domaine délimité par les courbes CC et Γ\Gamma et les droites d’équation x=1x = 1 et x=ex = e.

primitives mathématiques terminale ES L

On va passer par le calcul d’une intégrale.

Notion de primitive

Définitions et vocabulaire

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Définition

Primitive :

Soit ff une fonction continue sur l’intervalle II.

On appelle primitive d’une fonction ff sur II, une fonction FF dérivable sur II dont la dérivée est égale à ff.

Ainsi, pour tout xx de II, F(x)=f(x)F'(x)=f(x).

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Exemple

La fonction xx2x→x^2 est dérivable sur RR et sa dérivée est la fonction x2xx→2x. Alors, on dit que x2x ^2 est la primitive de 2x2x.

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Propriété

  • Toute fonction ff continue sur un intervalle II admet des primitives sur II.
  • Si FF est l’une des primitives de ff sur II, les autres primitives de ff sont les fonctions F(x)+kF(x)+kkk est une constante réelle.

Une seule de ces primitives prend une valeur de y0y0 donnée en un x0x0 de II donné.

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Exemple

On a vu précédemment que la fonction F(x)=x2F(x)=x^2est une primitive de la fonction f(x)=2xf(x)=2x.

Alors toutes les fonctions de la forme G(x)=x2+kG(x)=x^2+k, où kk est une constante réelle, sont les primitives de la fonction f(x)=2x.f(x)=2x.

La fonction H(x)=x2+2H(x)=x^2+2 est la primitive de f(x)=2xf(x)=2x telle que H(0)=2.H(0)=2.

Vérifier qu’une fonction FF est une primitive d’une fonction ff

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Exemple

Vérifier que F(x)=ln(x+1)+1x+1F(x)=\ln (x+1) + {{1} \over x+1} est une primitive de la fonction de f(x)=x(x+1)2f(x)={{x} \over (x+1)^2}.

On va partir de la supposée primitive FF et on va calculer sa dérivée.

On reconnaît la forme ln(u)\ln (u) dont la dérivée est uu{u' \over u} et la forme 1u{1\over u} dont la dérivée est uu2-{u' \over u^2}.

On a donc F(x)=1x+1+(1(x+1)2)=1x+11(x+1)2F'(x)={{1} \over x+1}+(-{{1} \over (x+1)^2})={{1} \over x+1}-{{1} \over (x+1)^2}

La prochaine étape est de tout mettre sous le même dénominateur, à savoir (x+1)2(x+1)^2.

F(x)=1x+1×1+xx+11(x+1)2=1+x(x+1)21(x+1)2=x+11(x+1)2=f(x)\begin{aligned}F'(x)&={{1} \over x+1}\times {{1+x} \over x+1}-{{1} \over (x+1)^2}\&={{1+x} \over (x+1)^2}-{{1} \over (x+1)^2}\&={{x+1-1} \over (x+1)^2}\&=f(x)\end{aligned}

  • On vient de démontrer qu’en dérivant F(x)F(x) on tombe sur f(x)f(x) alors FF est bien la primitive de ff.

Calcul de primitives

Primitives de fonctions usuelles

primitives de fonctions usuelles mathématiques terminale ES L

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Exemple

Calculer les primitives des fonctions suivantes.

  • f(x)=4x+5\boxed{f(x)=-4x+5}

D’après la deuxième formule du tableau, une primitive de xx est 12x2{1\over 2}x^2.

De même, une primitive de 4x-4x est 4×12x2=2x2-4\times {1\over 2}x^2=-2x^2.

Enfin, la primitive de 55 est 5x5x.

  • On a donc F(x)=2x2+5xF(x)=-2x^2+5x.
  • f(x)=x3+2x+4\boxed{f(x)=x^3+2x+4}

On regarde le tableau : la primitive de x3x^3est 14x4{1\over 4}x^4.
La primitive de 2x2x est 2×12x2=x22\times {1\over 2}x^2=x^2.
La primitive de 44 est 4x4x.

  • On a donc F(x)=14x4+x2+4xF(x)={1\over 4}x^4+x^2+4x.
  • f(x)=1x3\boxed{f(x)={1\over x^3}}

La première étape consiste à transformer l’écriture de f(x)f(x)pour se ramener à une forme du tableau : f(x)=1x3=x3f(x)={1\over x^3}=x^{-3}.

Ainsi, une primitive de x3x^{-3} est 12x2=12x2{1\over -2}x^{-2}=-{1\over 2}x^{-2}.

  • On a donc F(x)=12x2=12x2F(x)=-{1\over 2}x^{-2}=-{1\over 2x^2}.

primitives complexes mathématiques terminale ES L

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Exemple

Calculer les primitives des fonctions suivantes.

  • f(x)=3(2x1)(x2x+4)5\boxed{f(x)=3(2x-1)(x^2-x+4)^5}

On appelle la fonction ux2x+4u→x^2-x+4 , on constate que v2x1v→2x-1 est la dérivée de uu.

La fonction peut donc s’écrire : f(x)=3×u×u5f(x)=3\times u'\times u^5

D’après la formule du tableau des primitives, f(x)=3×15+1×u5+1f(x)=3\times {1\over {5+1}}\times u^{5+1}.

  • On a donc F(x)=3×16×(x2x+4)6=12(x2x+4)6F(x)=3\times {1\over 6}\times (x^2-x+4)^6={1\over 2}(x^2-x+4)^6
  • f(x)=2x(x2+1)4\boxed{f(x)={2x\over {(x^2+1)^4}}}

On constate que la fonction v2xv→2x est la dérivée de ux2+1u→x^2+1.

La fonction peut donc s’écrire sous la forme f(x)=uu4=uu4f(x)={u'\over u^4}=u'u^{-4}.

D’après la formule du tableau des primitives : F(x)=1(4)+1×u(4)+1F(x)={1\over {(-4)+1}}\times u^{(-4)+1}.

  • On a donc F(x)=13×(x2+1)3=13(x2+1)3F(x)={1\over {-3}}\times {(x^2+1)}^{-3}=-{1\over {3(x^2+1)^3}}
  • Déterminons ensuite une primitive de la fonction h(x)=exex+2\boxed{h(x)=\dfrac{e^x}{e^x+2}}

Si on appelle uu la fonction xex+2x→e^x+2, on remarque que la fonction xexx→e^x est la dérivée de uu c’est-à-dire uu'.

La fonction h(x)h(x) est donc écrite sous la forme : uu\dfrac{u'}u et d’après la formule correspondante dans le tableau des primitives, H(x)H(x) s’écrira sous la forme ln u\ln\ u .

  • On obtient donc H(x)=ln(ex+2)H(x)=\ln (e^x+2)