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La fonction carré

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​Introduction :

Ce cours de mathématiques porte sur la fonction carré et sur les fonctions polynômes du second degré. Contrairement à la fonction affine et ses cas particuliers, la fonction constante et la fonction linéaire, la fonction carrée est une nouveauté puisqu’on ne la voit pas au collège.

Cette leçon débute par la définition et les propriétés de la fonction carré et permet de voir comment résoudre des équations et inéquations grâce à cette fonction. La seconde partie traite les fonctions polynômes du second degré, leur courbe représentative et leurs différentes expressions.

Fonction carré

Définition et propriétés

  • Définitions
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Rappel

On définit une fonction ff sur un intervalle DD lorsque l’on associe à chaque réel xx de l’intervalle DD un réel yy et un seul. On note :

f:xyf:x\rightarrow y ou f(x)=yf(x)=y

  • DD est appelé l’ensemble de définition de ff.
  • Le nombre yy est appelé image de xx par la fonction ff.
  • Le nombre xx est appelé antécédent de yy par la fonction ff.
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Définition

Fonction carré :

La fonction ff telle que f(x)=x2f(x)=x^2 est appelée fonction carré ; elle est définie sur R\mathbb{R}.

f:xx2f:x→x^2

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Exemple

f(2)=22=4f(5)=(5)2=25f(1)=(1)2=1\begin{array}{l} f(2)&=&2^2=4\ f(-5)&=&(-5)^2=25\ f(-1)&=&(-1)^2=1 \end{array}

  • Représentation graphique

Pour tracer la courbe représentative de la fonction carré, on établit son tableau de valeurs.

  • xx sera présent sur l'axe des abscisses et x2x^2 (c’est-à-dire yy) sur l'axes des ordonnées.

xx -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x2x^2 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
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Rappel

L’axe horizontal s’appelle axe des abscisses, on y lit les antécédents, soit xx. L’axe vertical, quant à lui, s’appelle axe des ordonnées et on y lit les images, soit yy.

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À retenir

La courbe représentative de la fonction carré est une parabole. L’origine du repère de coordonnées (0 ; 0)(0\ ;\ 0) est le sommet de cette parabole.

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Attention

Dans la fonction carré, chaque valeur de yy excepté 00 a deux antécédents. x=3x=3 a pour image 99 mais 99 a pour antécédents x=3x=3 et x=3x=-3.

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Propriété

La courbe représentative de la fonction carré est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

En effet, pour tout réel aa on a f(a)=(a)2=a2=f(a)f(-a)=(-a)^2=a^2=f(a).

  • Les deux points de coordonnées (a ; a2)(-a\ ;\ a^2) et (a ; a2)(a\ ;\ a^2) sont donc symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.
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Propriété

La fonction carré est décroissante sur l’intervalle ] ; 0]]-\infty\ ;\ 0] puis croissante sur [0 ; +[[0\ ;\ +\infty[. Son tableau de variation est :

La propriété que nous venons de voir permet de comparer deux carrés :

  • 2<52 < 5 donc 22<522^2 < 5^2 car la fonction carré est strictement croissante sur [0 ; +[[0\ ;\ +\infty[ et donc en particulier sur [2 ; 5][2\ ;\ 5]
  • 6<3-6 < -3 donc 62>32-6^2 > -3^2 car la fonction carré est strictement décroissante sur ] ; 0]]-\infty\ ;\ 0] et donc en particulier sur [6 ; 3][-6\ ;\ -3]
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À retenir

  • Le minimum de la fonction carré est 00, c’est-à-dire que pour tout xx on a x20x^2\geq0.
  • Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés. On dira que la fonction carré conserve l’ordre sur [0 ; +[[0\ ;\ +\infty[.
  • Si 0<a<b0 < a < b alors a2<b2a^2 < b^2 car la fonction carré est strictement croissante sur [0 ; +[[0\ ;\ +\infty[.
  • Deux nombres négatifs sont rangés dans le sens inverse de leurs carrés. On dira que la fonction carré inverse l’ordre sur ] ; 0]]-\infty\ ;\ 0]. Si a<b<0a < b < 0 alors a2>b2a^2 > b^2 car la fonction carré est strictement décroissante sur ] ; 0]]-\infty\ ;\ 0].

Résolution d’équations et inéquations à l’aide de la fonction carré

  • Pour résoudre une équation du type x2=kx^2=k :
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Propriété

Soit un réel kk :

  • si k<0k<0 l’équation x2=kx^2=k n’a pas de solution : S=S=\emptyset
  • si k=0k=0 l’équation x2=kx^2=k a une unique solution : S={0}S=\lbrace{0}\rbrace
  • si k>0k>0 l’équation x2=kx^2=k a deux solutions opposées : S={k ;k}S=\lbrace{ -\sqrt{k}\ ; \sqrt{k}\:}\rbrace

Les solutions de l’équation x2=kx^2=k sont les abscisses des points d’intersection de la parabole PP et de la droite y=ky=k parallèle à l’axe des abscisses.

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Exemple

  • Résoudre l’équation x2=3x^2=-3

D’après la propriété précédente, 3-3 étant négatif, l’équation x2=3x^2=-3 n’admet aucune solution.

Pour bien comprendre pourquoi, il suffit de tracer la représentation graphique de la fonction carré, et la droite d’équation y=3y=-3.

  • On voit bien sur le graphique qu’il n’y a aucun point d’intersection entre les deux.

x2=3x^2=-3 S=S=\emptyset

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Exemple

  • Résoudre l’équation x2=0x^2=0

D’après la propriété précédente, l’équation x2=0x^2=0 admet une seule solution.

Pour bien comprendre pourquoi, il suffit de tracer la représentation graphique de la fonction carré, et la droite d’équation y=0y=0.

  • On voit bien sur le graphique qu’il y a un seul point d’intersection entre les deux.

x2=0S={0}\begin{aligned} x^2&=0\ S&=\lbrace{0}\rbrace\ \end{aligned}

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Exemple

  • Résoudre l’équation x2=2x^2=2

D’après la propriété précédente, l’équation x2=2x^2=2 admet deux solutions opposées 2-\sqrt{2} et 2\sqrt{2}.

On trace la représentation graphique de la fonction carré, et la droite d’équation y=2y=2.

  • On voit bien sur le graphique qu’il y a deux points d’intersection entre les deux.

\begin{aligned} x^2&=2\ S&=\{-\sqrt{2}\ ;\sqrt{2}\}\ \end{aligned}

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Astuce

Pour résoudre une inéquation du type x22x^2\leq2 ou x22x^2\geq2, il suffit d’utiliser les mêmes représentations graphiques que précédemment.

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Exemple

  • Résoudre l’inéquation x22x^2\leq2

On repère les abscisses des points de la courbe qui ont une ordonnée inférieure ou égale à 2 (c’est-à-dire qui sont en dessous de la droite y=2y=2).

S=[2 ; 2]S=[-\sqrt{2}\ ;\ \sqrt{2}]

De même, pour résoudre l’inéquation x22x^2\geq2 on s’intéresse aux abscisses des points de la courbe qui ont une ordonnée supérieure ou égale à 2 (c’est-à-dire qui sont au-dessus de la droite y=2y=2).

S=] ; 2 ][2 ; +[S=]-\infty\ ;\ -\sqrt{2}\ ]\cup[\sqrt{2}\ ;\ +\infty[

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À retenir

Pour noter un ensemble de solution, lorsqu’il s’agit d’une inégalité large (\leq ou \geq) le crochet est tourné vers l’intérieur de l’ensemble solution et lorsqu’il s’agit d’une inégalité stricte (< ou >) le crochet est tourné vers l’extérieur.

Fonctions polynômes du second degré

Définition et courbe représentative

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Définition

Fonction polynôme du second degré :

Soit a,ba,b et cc trois réels avec a0a\neq0

La fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c\: est appelée fonction polynôme du second degré.

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Exemple

La fonction f(x)=0,5x23x+5f(x)=0,5x^2-3x+5 est un polynôme du second degré.

  • On a : a=0,5 ; b=3 ;c=5a=0,5\ ;\ b=-3\ ;c=5

De même, la fonction g(x)=2x24xg(x)=-2x^2-4x est un polynôme du second degré.

  • On a : a=2 ; b=4 ; c=0a=-2\ ;\ b=-4\ ;\ c=0
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Propriété

Soit ff une fonction polynôme du second degré telle que f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c

  • Si a>0a > 0, ff est d’abord décroissante puis croissante ; sa courbe représentative est une parabole avec « les branches tournées vers le haut ».
  • Si a<0a < 0 , ff est d’abord croissante puis décroissante ; sa courbe représentative est une parabole avec « les branches tournées vers le bas ».

a>0a>0

a<0a<0

Différentes expressions algébriques et lien avec la parabole

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Propriété

  • La forme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c est appelée forme développée de f(x)f(x). C’est un polynôme du second degré.
  • Toute fonction polynôme du second degré peut aussi s’écrire sous la forme f(x)=a(xα)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta appelée forme canonique de f(x)f(x)
  • (α ; β)(\alpha\ ;\ \beta) est le couple de coordonnées du sommet SS de la parabole.
    Avec : α=b2a\:\alpha=\dfrac{-b}{2a}\: et β=f(α)\:\beta=f(\alpha)
  • En fonction du signe de aa on obtient donc les tableaux de variation suivants :
  • Si a>0a > 0, β\beta est alors le minimum.

  • Si a<0a < 0 , β\beta est alors le maximum.

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À retenir

Que aa soit strictement positif ou strictement négatif, la parallèle à l’axe des ordonnées qui passe par le sommet de la parabole est un axe de symétrie de la courbe.

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Exemple

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=3x212x1f(x)=3x^2-12x-1.
On veut montrer que pour tout réel xx la fonction s’écrit aussi f(x)=3(x2)213f(x)=3(x-2)^2-13. On donnera ensuite les variations de ff.

Il est toujours plus facile de partir de la forme canonique pour arriver à la forme développée :

3(x2)213=3(x24x+4)13 en utilisant l’identiteˊ remarquable(ab)2=3x212x+1213=3x212x1=f(x)\begin{aligned} 3(x-2)^2-13&=3(x^2-4x+4)-13\ \text{en utilisant l'identité remarquable}(a-b)^2\ &=3x^2-12x+12-13\ &=3x^2-12x-1\ &=f(x) \end{aligned}

  • Ainsi, la forme canonique donnée correspond bien à la forme développée de f(x)f(x).

Comme a=3>0a=3 > 0 la parabole est tournée vers le haut. Or, d’après la forme canonique, α=2\alpha=2 et β=13\beta=-13.

  • ff admet donc un minimum de 13-13 atteint pour x=2x=2

On obtient le tableau de variation suivant :