La fonction carré
Introduction :
Ce cours de mathématiques porte sur la fonction carré et sur les fonctions polynômes du second degré. Contrairement à la fonction affine et ses cas particuliers, la fonction constante et la fonction linéaire, la fonction carrée est une nouveauté puisqu’on ne la voit pas au collège.
Cette leçon débute par la définition et les propriétés de la fonction carré et permet de voir comment résoudre des équations et inéquations grâce à cette fonction.
Définition et propriétés de la fonction carré
Définition et propriétés de la fonction carré
Définition
Définition
Rappel
On définit une fonction $f$ sur un intervalle $D$ lorsque l’on associe à chaque réel $x$ de l’intervalle $D$ un réel $y$ et un seul. On note :
$f:x\rightarrow y$ ou $f(x)=y$
- $D$ est appelé l’ensemble de définition de $f$.
- Le nombre $y$ est appelé l’image de $x$ par la fonction $f$.
- Le nombre $x$ est appelé un antécédent de $y$ par la fonction $f$.
Définition
Fonction carré :
La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ telle que $f(x)=x^2$ est appelée fonction carré.
$f:x→x^2$
Exemple
$\begin{aligned} f(2)&=2^2=4\\ f(-5)&=(-5)^2=25\\ f(-1)&=(-1)^2=1 \end{aligned}$
Représentation graphique
Représentation graphique
Pour tracer la courbe représentative de la fonction carré, on établit son tableau de valeurs.
- $x$ sera présent sur l'axe des abscisses et $x^2$ (c’est-à-dire $y$) sur l'axe des ordonnées.
| $x$ | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| $x^2$ | 25 | 16 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 |
Rappel
L’axe horizontal s’appelle axe des abscisses, on y lit les antécédents, soit $x$. L’axe vertical, quant à lui, s’appelle axe des ordonnées et on y lit les images, soit $y$.
À retenir
La courbe représentative de la fonction carré est une parabole. L’origine du repère de coordonnées $(0\ ;\ 0)$ est le sommet de cette parabole.
Attention
Dans la fonction carré, chaque valeur de $y$ excepté $0$ a deux antécédents : $x=3$ a pour image $9$ mais $9$ a pour antécédents $x=3$ et $x=-3$.
Propriété
La courbe représentative de la fonction carré est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
En effet, pour tout réel $a$ on a $f(-a)=(-a)^2=a^2=f(a)$.
- Les deux points de coordonnées $(-a\ ;\ a^2)$ et $(a\ ;\ a^2)$ sont donc symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.
Propriété
La fonction carré est décroissante sur l’intervalle $]-\infty\ ;\ 0]$ puis croissante sur $[0\ ;\ +\infty[$. Son tableau de variation est :
La propriété que nous venons de voir permet de comparer deux carrés :
- $2 < 5$ donc $2^2 < 5^2$ car la fonction carré est strictement croissante sur $[0\ ;\ +\infty[$ et donc en particulier sur $[2\ ;\ 5]$.
- $-6 < -3$ donc $(-6)^2 > (-3)^2$ car la fonction carré est strictement décroissante sur $]-\infty\ ;\ 0]$ et donc en particulier sur $[-6\ ;\ -3]$.
À retenir
- Le minimum de la fonction carré est $0$, c’est-à-dire que pour tout $x$ on a $x^2\geq0$.
- Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés. On dira que la fonction carré conserve l’ordre sur $[0\ ;\ +\infty[$.
- Si $0 < a < b$ alors $a^2 < b^2$ car la fonction carré est strictement croissante sur $[0\ ;\ +\infty[$.
- Deux nombres négatifs sont rangés dans le sens inverse de leurs carrés. On dira que la fonction carré inverse l’ordre sur $]-\infty\ ;\ 0]$.
- Si $a < b < 0$ alors $a^2 > b^2$ car la fonction carré est strictement décroissante sur $]-\infty\ ;\ 0]$.
Résolution d’équations et inéquations à l’aide de la fonction carré
Résolution d’équations et inéquations à l’aide de la fonction carré
Pour résoudre une équation du type $x^2=k$, avec $k \in \mathbb R$
Pour résoudre une équation du type $x^2=k$, avec $k \in \mathbb R$
À retenir
Soit un réel $k$ :
- si $k<0$ l’équation $x^2=k$ n’a pas de solution : $S=\emptyset$.
- si $k=0$ l’équation $x^2=k$ a une unique solution : $S=\lbrace{0}\rbrace$.
- si $k>0$ l’équation $x^2=k$ a deux solutions opposées : $S=\lbrace{ -\sqrt{k}\ ; \sqrt{k}:}\rbrace$.
Les solutions de l’équation $x^2=k$ sont les abscisses des points d’intersection de la parabole $\mathscr P$ et de la droite $y=k$ parallèle à l’axe des abscisses.
Exemple
- Résoudre l’équation $x^2=-3$.
- D’après la propriété précédente, $-3$ étant négatif, l’équation $x^2=-3$ n’admet aucune solution : $S=\emptyset$.
- Pour bien comprendre pourquoi, il suffit de tracer la représentation graphique de la fonction carré, et la droite d’équation $y=-3$.
- On voit bien sur le graphique qu’il n’y a aucun point d’intersection entre les deux.
Exemple
- Résoudre l’équation $x^2=0$.
- D’après la propriété précédente, l’équation $x^2=0$ admet une seule solution : $S=\lbrace{0}\rbrace$.
- Pour bien comprendre pourquoi, il suffit de tracer la représentation graphique de la fonction carré, et la droite d’équation $y=0$.
- On voit bien sur le graphique qu’il y a un seul point d’intersection entre les deux.
Exemple
- Résoudre l’équation $x^2=2$.
- D’après la propriété précédente, l’équation $x^2=2$ admet deux solutions opposées $-\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ : $S=\{-\sqrt{2}\ ;\sqrt{2}\}$.
- On trace la représentation graphique de la fonction carré, et la droite d’équation $y=2$.
- On voit bien sur le graphique qu’il y a deux points d’intersection entre les deux.
Astuce
Pour résoudre une inéquation du type $x^2\leq2$ ou $x^2\geq2$, il suffit d’utiliser les mêmes représentations graphiques que précédemment.
Pour résoudre des inéquations du type $x^2 <k,\ x^2 \leq k,\ x^2 >k$ et $x^2 \geq k$ avec $k \in \mathbb R$
Pour résoudre des inéquations du type $x^2 <k,\ x^2 \leq k,\ x^2 >k$ et $x^2 \geq k$ avec $k \in \mathbb R$
À retenir
Résolution d’inéquation du type $x^2 \leq k$, avec $k \in \mathbb R$ :
- si $k < 0$, l’inéquation $x^2 \leq k$ n’a pas de solution : $S= \emptyset$ ;
- si $k=0$, l’inéquation $x^2 \leq k$ a une unique solution : $S=\{0\}$ ;
- si $k > 0$, l’inéquation $x^2 \leq k$ a pour solutions l’intervalle : $S=[-\sqrt k\ ;\ \sqrt k]$.
- Lorsqu’il s’agit d’une inégalité stricte ($<$) l’ensemble des solutions $S$ sera un intervalle ouvert : c’est-à-dire les crochets seront « tournés » vers l’extérieur ; et pour $k=0$ la solution sera l’ensemble vide : $S= \emptyset$.
À retenir
Résolution d’inéquation du type $x^2 \geq k$, avec $k \in \mathbb R$ :
- si $k < 0$, l’inéquation $x^2 \geq k$ a pour solutions l’ensemble des réels : $S= \mathbb R$ ;
- si $k=0$, l’inéquation $x^2 \geq k$ a pour solutions l’ensemble des réels : $S= \mathbb R$ ;
- si $k > 0$, l’inéquation $x^2 \geq k$ a pour solutions l’intervalle : $S=]-\infty\ ;\ -\sqrt{k}\ ]\cup[\sqrt{k}\ ;\ +\infty[$
- Lorsqu’il s’agit d’une inégalité stricte ($>$) l’ensemble des solutions $S$ sera un intervalle ouvert : c’est-à-dire les crochets seront « tournés » vers l’extérieur ; et pour $k=0$ la solution sera l’ensemble : $S= \mathbb R^*$.
Exemple
- Résoudre l’inéquation $x^2\leq2$.
- On repère les abscisses des points de la courbe qui ont une ordonnée inférieure ou égale à $2$ (c’est-à-dire qui sont en dessous de la droite $y=2$).
$$S=[-\sqrt{2}\ ;\ \sqrt{2}]$$
- De même, pour résoudre l’inéquation $x^2\geq2$ on s’intéresse aux abscisses des points de la courbe qui ont une ordonnée supérieure ou égale à 2 (c’est-à-dire qui sont au-dessus de la droite $y=2$).
$$S=]-\infty\ ;\ -\sqrt{2}\ ]\cup[\sqrt{2}\ ;\ +\infty[$$
Conclusion :
La fonction carré est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$. Sa représentation graphique est une parabole décroissante puis croissante ; analyser son équation ou sa courbe permet de résoudre des égalités de type $x^2=k$ ou des inégalités de type $x^2 <k,\ x^2 \leq k,\ x^2 >k$ et $x^2 \geq k$, avec $k \in \mathbb R$.