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La fonction carré
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Introduction :
Ce cours de mathématiques porte sur la fonction carré et sur les fonctions polynômes du second degré. Contrairement à la fonction affine et ses cas particuliers, la fonction constante et la fonction linéaire, la fonction carrée est une nouveauté puisqu’on ne la voit pas au collège.
Cette leçon débute par la définition et les propriétés de la fonction carré et permet de voir comment résoudre des équations et inéquations grâce à cette fonction.
Définition et propriétés de la fonction carré
Définition
On définit une fonction sur un intervalle lorsque l’on associe à chaque réel de l’intervalle un réel et un seul. On note :
ou
Fonction carré :
La fonction définie sur telle que est appelée fonction carré.
Représentation graphique
Pour tracer la courbe représentative de la fonction carré, on établit son tableau de valeurs.
-5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
25 | 16 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 |
L’axe horizontal s’appelle axe des abscisses, on y lit les antécédents, soit . L’axe vertical, quant à lui, s’appelle axe des ordonnées et on y lit les images, soit .
La courbe représentative de la fonction carré est une parabole. L’origine du repère de coordonnées est le sommet de cette parabole.
Dans la fonction carré, chaque valeur de excepté a deux antécédents : a pour image mais a pour antécédents et .
La courbe représentative de la fonction carré est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
En effet, pour tout réel on a .
La fonction carré est décroissante sur l’intervalle puis croissante sur . Son tableau de variation est :
La propriété que nous venons de voir permet de comparer deux carrés :
Résolution d’équations et inéquations à l’aide de la fonction carré
Pour résoudre une équation du type , avec
Soit un réel :
Les solutions de l’équation sont les abscisses des points d’intersection de la parabole et de la droite parallèle à l’axe des abscisses.
Pour résoudre une inéquation du type ou , il suffit d’utiliser les mêmes représentations graphiques que précédemment.
Pour résoudre des inéquations du type et avec
Résolution d’inéquation du type , avec :
Résolution d’inéquation du type , avec :
Conclusion :
La fonction carré est définie sur par . Sa représentation graphique est une parabole décroissante puis croissante ; analyser son équation ou sa courbe permet de résoudre des égalités de type ou des inégalités de type et , avec .