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La fonction carré

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​Introduction :

Ce cours de mathématiques porte sur la fonction carré et sur les fonctions polynômes du second degré. Contrairement à la fonction affine et ses cas particuliers, la fonction constante et la fonction linéaire, la fonction carrée est une nouveauté puisqu’on ne la voit pas au collège.

Cette leçon débute par la définition et les propriétés de la fonction carré et permet de voir comment résoudre des équations et inéquations grâce à cette fonction.

Définition et propriétés de la fonction carré

Définition

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Rappel

On définit une fonction ff sur un intervalle DD lorsque l’on associe à chaque réel xx de l’intervalle DD un réel yy et un seul. On note :

f:xyf:x\rightarrow y ou f(x)=yf(x)=y

  • DD est appelé l’ensemble de définition de ff.
  • Le nombre yy est appelé l’image de xx par la fonction ff.
  • Le nombre xx est appelé un antécédent de yy par la fonction ff.
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Définition

Fonction carré :

La fonction ff définie sur R\mathbb{R} telle que f(x)=x2f(x)=x^2 est appelée fonction carré.

f:xx2f:x→x^2

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Exemple

f(2)=22=4f(5)=(5)2=25f(1)=(1)2=1\begin{aligned} f(2)&=2^2=4\ f(-5)&=(-5)^2=25\ f(-1)&=(-1)^2=1 \end{aligned}

Représentation graphique

Pour tracer la courbe représentative de la fonction carré, on établit son tableau de valeurs.

  • xx sera présent sur l'axe des abscisses et x2x^2 (c’est-à-dire yy) sur l'axe des ordonnées.

xx -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x2x^2 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
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Rappel

L’axe horizontal s’appelle axe des abscisses, on y lit les antécédents, soit xx. L’axe vertical, quant à lui, s’appelle axe des ordonnées et on y lit les images, soit yy.

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À retenir

La courbe représentative de la fonction carré est une parabole. L’origine du repère de coordonnées (0 ; 0)(0\ ;\ 0) est le sommet de cette parabole.

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Attention

Dans la fonction carré, chaque valeur de yy excepté 00 a deux antécédents : x=3x=3 a pour image 99 mais 99 a pour antécédents x=3x=3 et x=3x=-3.

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Propriété

La courbe représentative de la fonction carré est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

En effet, pour tout réel aa on a f(a)=(a)2=a2=f(a)f(-a)=(-a)^2=a^2=f(a).

  • Les deux points de coordonnées (a ; a2)(-a\ ;\ a^2) et (a ; a2)(a\ ;\ a^2) sont donc symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.
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Propriété

La fonction carré est décroissante sur l’intervalle ] ; 0]]-\infty\ ;\ 0] puis croissante sur [0 ; +[[0\ ;\ +\infty[. Son tableau de variation est :

La propriété que nous venons de voir permet de comparer deux carrés :

  • 2<52 < 5 donc 22<522^2 < 5^2 car la fonction carré est strictement croissante sur [0 ; +[[0\ ;\ +\infty[ et donc en particulier sur [2 ; 5][2\ ;\ 5].
  • 6<3-6 < -3 donc (6)2>(3)2(-6)^2 > (-3)^2 car la fonction carré est strictement décroissante sur ] ; 0]]-\infty\ ;\ 0] et donc en particulier sur [6 ; 3][-6\ ;\ -3].
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À retenir

  • Le minimum de la fonction carré est 00, c’est-à-dire que pour tout xx on a x20x^2\geq0.
  • Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés. On dira que la fonction carré conserve l’ordre sur [0 ; +[[0\ ;\ +\infty[.
  • Si 0<a<b0 < a < b alors a2<b2a^2 < b^2 car la fonction carré est strictement croissante sur [0 ; +[[0\ ;\ +\infty[.
  • Deux nombres négatifs sont rangés dans le sens inverse de leurs carrés. On dira que la fonction carré inverse l’ordre sur ] ; 0]]-\infty\ ;\ 0].
  • Si a<b<0a < b < 0 alors a2>b2a^2 > b^2 car la fonction carré est strictement décroissante sur ] ; 0]]-\infty\ ;\ 0].

Résolution d’équations et inéquations à l’aide de la fonction carré

Pour résoudre une équation du type x2=kx^2=k, avec kRk \in \mathbb R

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À retenir

Soit un réel kk :

  • si k<0k<0 l’équation x2=kx^2=k n’a pas de solution : S=S=\emptyset.
  • si k=0k=0 l’équation x2=kx^2=k a une unique solution : S={0}S=\lbrace{0}\rbrace.
  • si k>0k>0 l’équation x2=kx^2=k a deux solutions opposées : S={k ;k}S=\lbrace{ -\sqrt{k}\ ; \sqrt{k}\:}\rbrace.

Les solutions de l’équation x2=kx^2=k sont les abscisses des points d’intersection de la parabole P\mathscr P et de la droite y=ky=k parallèle à l’axe des abscisses.

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Exemple

  • Résoudre l’équation x2=3x^2=-3.
  • D’après la propriété précédente, 3-3 étant négatif, l’équation x2=3x^2=-3 n’admet aucune solution : S=S=\emptyset.
  • Pour bien comprendre pourquoi, il suffit de tracer la représentation graphique de la fonction carré, et la droite d’équation y=3y=-3.
  • On voit bien sur le graphique qu’il n’y a aucun point d’intersection entre les deux.

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Exemple

  • Résoudre l’équation x2=0x^2=0.
  • D’après la propriété précédente, l’équation x2=0x^2=0 admet une seule solution : S={0}S=\lbrace{0}\rbrace.
  • Pour bien comprendre pourquoi, il suffit de tracer la représentation graphique de la fonction carré, et la droite d’équation y=0y=0.
  • On voit bien sur le graphique qu’il y a un seul point d’intersection entre les deux.

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Exemple

  • Résoudre l’équation x2=2x^2=2.
  • D’après la propriété précédente, l’équation x2=2x^2=2 admet deux solutions opposées 2-\sqrt{2} et 2\sqrt{2} : S=2 ;2S=\{-\sqrt{2}\ ;\sqrt{2}\}.
  • On trace la représentation graphique de la fonction carré, et la droite d’équation y=2y=2.
  • On voit bien sur le graphique qu’il y a deux points d’intersection entre les deux.

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Astuce

Pour résoudre une inéquation du type x22x^2\leq2 ou x22x^2\geq2, il suffit d’utiliser les mêmes représentations graphiques que précédemment.

Pour résoudre des inéquations du type x2<k, x2k, x2kx^2 k et x2kx^2 \geq k avec kRk \in \mathbb R

bannière à retenir

À retenir

Résolution d’inéquation du type x2kx^2 \leq k, avec kRk \in \mathbb R :

  • si k<0k < 0, l’inéquation x2kx^2 \leq k n’a pas de solution : S=S= \emptyset ;
  • si k=0k=0, l’inéquation x2kx^2 \leq k a une unique solution : S=0S=\{0\} ;
  • si k>0k > 0, l’inéquation x2kx^2 \leq k a pour solutions l’intervalle : S=[k ; k]S=[-\sqrt k\ ;\ \sqrt k].
  • Lorsqu’il s’agit d’une inégalité stricte (<<) l’ensemble des solutions SS sera un intervalle ouvert : c’est-à-dire les crochets seront « tournés » vers l’extérieur ; et pour k=0k=0 la solution sera l’ensemble vide : S=S= \emptyset.
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À retenir

Résolution d’inéquation du type x2kx^2 \geq k, avec kRk \in \mathbb R :

  • si k<0k < 0, l’inéquation x2kx^2 \geq k a pour solutions l’ensemble des réels : S=RS= \mathbb R ;
  • si k=0k=0, l’inéquation x2kx^2 \geq k a pour solutions l’ensemble des réels : S=RS= \mathbb R ;
  • si k>0k > 0, l’inéquation x2kx^2 \geq k a pour solutions l’intervalle : S=] ; k ][k ; +[S=]-\infty\ ;\ -\sqrt{k}\ ]\cup[\sqrt{k}\ ;\ +\infty[
  • Lorsqu’il s’agit d’une inégalité stricte (>>) l’ensemble des solutions SS sera un intervalle ouvert : c’est-à-dire les crochets seront « tournés » vers l’extérieur ; et pour k=0k=0 la solution sera l’ensemble : S=RS= \mathbb R^*.
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Exemple

  • Résoudre l’inéquation x22x^2\leq2.
  • On repère les abscisses des points de la courbe qui ont une ordonnée inférieure ou égale à 22 (c’est-à-dire qui sont en dessous de la droite y=2y=2).

S=[2 ; 2]S=[-\sqrt{2}\ ;\ \sqrt{2}]

  • De même, pour résoudre l’inéquation x22x^2\geq2 on s’intéresse aux abscisses des points de la courbe qui ont une ordonnée supérieure ou égale à 2 (c’est-à-dire qui sont au-dessus de la droite y=2y=2).

S=] ; 2 ][2 ; +[S=]-\infty\ ;\ -\sqrt{2}\ ]\cup[\sqrt{2}\ ;\ +\infty[

Conclusion :

La fonction carré est définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2f(x)=x^2. Sa représentation graphique est une parabole décroissante puis croissante ; analyser son équation ou sa courbe permet de résoudre des égalités de type x2=kx^2=k ou des inégalités de type x2<k, x2k, x2kx^2 k et x2kx^2 \geq k, avec kRk \in \mathbb R.