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La fonction carré

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Fonction carré

Définition

La fonction ff telle que f(x)=x2f(x)=x^2 est appelée fonction carré ; elle est définie sur R\mathbb R. Sa courbe représentative est une parabole.

L’origine du repère de coordonnées (0;0)(0 ; 0) est le sommet de cette parabole.

Propriétés

  • La courbe représentative de la fonction carré est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
  • La fonction carré est décroissante sur l’intervalle ];0]]-\infty ; 0] puis croissante sur [0;+[[0 ;+\infty[.
  • Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.
  • On dira que la fonction carré conserve l’ordre sur [0;+[[0 ; +\infty[.
  • Deux nombres négatifs sont rangés dans le sens inverse de leurs carrés.
  • On dira que la fonction carré inverse l’ordre sur ];0]]-\infty ; 0].

Résolution d’équations et inéquations à l’aide de la fonction carré

Propriété :

Soit un réel kk :

  • si k<0k < 0, l’équation x2=kx^2=k n’a pas de solution : S=S= \varnothing ;
  • si k=0k=0, l’équation x2=kx^2=k a une unique solution : S=0S={0} ;
  • si k>0k > 0, l’équation x2=kx^2=k a deux solutions opposées :

S=S={k;k-\sqrt k ; \sqrt k}

Fonctions polynômes du second degré

Définition et courbe représentative

Définition :

Soit a,ba,b et cc trois réels avec a0a \neq 0.

La fonction ff définie sur R\mathbb R par f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c est appelée fonction polynôme du second degré.

Propriété :

Soit ff une fonction polynôme du second degré telle que f(x)=ax2+bx+c.f(x)=ax^2+bx+c.

  • Si a>0a > 0, ff est d’abord décroissante puis croissante ; sa courbe représentative est la suivante :

Alt texte

  • Si a<0a < 0, ff est d’abord croissante puis décroissante ; sa courbe représentative est la suivante :

Alt texte

Différentes expressions algébriques

f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c est appelée forme développée de f(x)f(x).

f(x)=a(xα)2+βf(x)=a(x-α)^2+\beta est appelée forme canonique de f(x)f(x).

Avec α=b2a\alpha=\dfrac{-b}{2a} et β=f(α)\beta=f(\alpha)

En fonction du signe de aa, on obtient les tableaux suivants :

  • Si a>0a > 0 :

Alt texte

β\beta est alors le minimum.

  • Si a<0a < 0 :

Alt texte

β\beta est alors le maximum.