La fonction carré

Fonction carré

  • Fonction carré :
  • La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ telle que $f(x)=x^2$ est appelée fonction carré.
  • Sa courbe représentative est une parabole.
  • L’origine du repère de coordonnées $(0\ ;\ 0)$ est le sommet de cette parabole.
  • Propriétés de la fonction carré :
  • La courbe représentative de la fonction carré est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
  • La fonction carré est décroissante sur l’intervalle $]-\infty\ ;\ 0]$ puis croissante sur $[0\ ;\ +\infty[$.
  • Le minimum de la fonction carré est $0$, c’est-à-dire que pour tout $x$ on a $x^2\geq0$.
  • Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.
  • On dit que la fonction carré conserve l’ordre sur $[0\ ;\ +\infty[$.
  • Si $0 < a < b$ alors $a^2 < b^2$ car la fonction carré est strictement croissante sur $[0\ ;\ +\infty[$.
  • Deux nombres négatifs sont rangés dans le sens inverse de leurs carrés.
  • On dit que la fonction carré inverse l’ordre sur $]-\infty\ ;\ 0]$.
  • Si $a < b < 0$ alors $a^2 > b^2$ car la fonction carré est strictement décroissante sur $]-\infty\ ;\ 0]$.

Résolution d’équations et inéquations à l’aide de la fonction carré

  • Résolution d’équation du type $x^2=k$, avec $k \in \mathbb R$ :
  • si $k < 0$, l’équation $x^2=k$ n’a pas de solution : $S= \emptyset$ ;
  • si $k=0$, l’équation $x^2=k$ a une unique solution : $S=\{0\}$ ;
  • si $k > 0$, l’équation $x^2=k$ a deux solutions opposées : $S=\{-\sqrt k\ ;\ \sqrt k\}$
  • Résolution d’inéquation du type $x^2 \leq k$, avec $k \in \mathbb R$ :
  • si $k < 0$, l’inéquation $x^2 \leq k$ n’a pas de solutions : $S= \varnothing$ ;
  • si $k=0$, l’inéquation $x^2 \leq k$ a une unique solution : $S= \lbrace 0 \rbrace$ ;
  • si $k > 0$, l’inéquation $x^2 \leq k$ a pour solutions l’intervalle : $S=[-\sqrt{k}\ ;\,\sqrt{k}]$
  • Lorsqu’il s’agit d’une inégalité stricte ($<$) l’ensemble des solutions $S$ sera un intervalle ouvert : c’est-à-dire les crochets seront « tournés » vers l’extérieur ; et pour $k=0$ la solution sera l’ensemble vide : $S= \varnothing$.
  • Résolution d’inéquation du type $x^2 \geq k$, avec $k \in \mathbb R$ :
  • si $k < 0$, l’inéquation $x^2 \geq k$ a pour solutions l’ensemble des réels : $S= \mathbb R$ ;
  • si $k=0$, l’inéquation $x^2 \geq k$ a pour solutions l’ensemble des réels : $S= \mathbb R$ ;
  • si $k > 0$, l’inéquation $x^2 \geq k$ a pour solutions l’intervalle : $S=]-\infty\ ;\ -\sqrt{k}\ ]\cup[\sqrt{k}\ ;\ +\infty[$
  • Lorsqu’il s’agit d’une inégalité stricte ($>$) l’ensemble des solutions $S$ sera un intervalle ouvert : c’est-à-dire les crochets seront « tournés » vers l’extérieur ; et pour $k=0$ la solution sera l’ensemble : $S= \mathbb R^*$.
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Astuce

Aidez-vous de la représentation graphique de la fonction carré et de la droite d’équation $y=k$ parrallèle à l’axe des abscisses pour résoudre des équations ou des inéquations.