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La fonction carré

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Fonction carré

  • Fonction carré :
  • La fonction ff définie sur R\mathbb{R} telle que f(x)=x2f(x)=x^2 est appelée fonction carré.
  • Sa courbe représentative est une parabole.
  • L’origine du repère de coordonnées (0 ; 0)(0\ ;\ 0) est le sommet de cette parabole.
  • Propriétés de la fonction carré :
  • La courbe représentative de la fonction carré est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
  • La fonction carré est décroissante sur l’intervalle ] ; 0]]-\infty\ ;\ 0] puis croissante sur [0 ;+[[0\ ;\ +\infty[.
  • Le minimum de la fonction carré est 00, c’est-à-dire que pour tout xx on a x20x^2\geq0.
  • Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.
  • On dit que la fonction carré conserve l’ordre sur [0 ; +[[0\ ;\ +\infty[.
  • Si 0<a<b0 < a < b alors a2<b2a^2 < b^2 car la fonction carré est strictement croissante sur [0 ; +[[0\ ;\ +\infty[.
  • Deux nombres négatifs sont rangés dans le sens inverse de leurs carrés.
  • On dit que la fonction carré inverse l’ordre sur ] ; 0]]-\infty\ ;\ 0].
  • Si a<b<0a < b < 0 alors a2>b2a^2 > b^2 car la fonction carré est strictement décroissante sur ] ; 0]]-\infty\ ;\ 0].

Résolution d’équations et inéquations à l’aide de la fonction carré

  • Résolution d’équation du type x2=kx^2=k, avec kRk \in \mathbb R :
  • si k<0k < 0, l’équation x2=kx^2=k n’a pas de solution : S=S= \emptyset ;
  • si k=0k=0, l’équation x2=kx^2=k a une unique solution : S=0S=\{0\} ;
  • si k>0k > 0, l’équation x2=kx^2=k a deux solutions opposées : S=k ; kS=\{-\sqrt k\ ;\ \sqrt k\}
  • Résolution d’inéquation du type x2kx^2 \leq k, avec kRk \in \mathbb R :
  • si k<0k < 0, l’inéquation x2kx^2 \geq k a pour solutions l’ensemble des réels : S=RS= \mathbb R ;
  • si k=0k=0, l’inéquation x2kx^2 \geq k a pour solutions l’ensemble des réels : S=RS= \mathbb R ;
  • si k>0k > 0, l’inéquation x2kx^2 \geq k a pour solutions l’intervalle : S=] ; k ][k ; +[S=]-\infty\ ;\ -\sqrt{k}\ ]\cup[\sqrt{k}\ ;\ +\infty[
  • Lorsqu’il s’agit d’une inégalité stricte (>>) l’ensemble des solutions SS sera un intervalle ouvert : c’est-à-dire les crochets seront « tournés » vers l’extérieur ; et pour k=0k=0 la solution sera l’ensemble : S=RS= \mathbb R^*.
  • Résolution d’inéquation du type x2kx^2 \geq k, avec kRk \in \mathbb R :
  • si k<0k < 0, l’inéquation x2kx^2 \geq k a pour solutions l’ensemble des réels : S=RS= \mathbb R ;
  • si k=0k=0, l’inéquation x2kx^2 \geq k a pour solutions l’ensemble des réels : S=RS= \mathbb R ;
  • si k>0k > 0, l’inéquation x2kx^2 \geq k a pour solutions l’intervalle : S=] ; k ][k ; +[S=]-\infty\ ;\ -\sqrt{k}\ ]\cup[\sqrt{k}\ ;\ +\infty[
  • Lorsqu’il s’agit d’une inégalité stricte (>>) l’ensemble des solutions SS sera un intervalle ouvert : c’est-à-dire les crochets seront « tournés » vers l’extérieur ; et pour k=0k=0 la solution sera l’ensemble : S=RS= \mathbb R^*.
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Astuce

Aidez-vous de la représentation graphique de la fonction carré et de la droite d’équation y=ky=k parrallèle à l’axe des abscisses pour résoudre des équations ou des inéquations.