Exercices Fonction exponentielle : définition, propriétés et résolution de calcul

On pose, pour tout réel $x$ :

Résoudre $f(x)=0$

On demande de résoudre l’inéquation $e^{x^2} \leq e^x$.

Pour tout réel $x$, on pose $A(x)=\frac{e^{-x}+e^{-2x}}{e^x+e^{-3x}}$. Démontrer que l'on peut écrire $A(x)=\frac{1+e^x}{e^{-x}}=e^{3x}$

Montrer, sans dériver, que la fonction $x\mapsto e^x$ est croissante sur $\mathbb{R}$.

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ et vérifiant pour tous réels $a$, $b$ :

$f(a+b)=f(a)f(b)$.

On suppose que $f(0)=0$, montrer que $f$ est la fonction nulle.

On pose pour tout réel $x$ : $f(x)=\dfrac{1-e^x}{2+e^x}$

Prouver (sans calculatrice) que $f(-1)=\dfrac{e-1}{2e+1}$