Exercices Fonction exponentielle : limites, courbe représentative et fonctions composées

On donne $f(x)=(ax+b)e^{-2x}$, où $a$ et $b$ sont deux réels qu’il s’agira de déterminer.
On sait que $f(-1)=0$, en déduire une relation entre $a$ et $b$.

On donne $f$ sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(a~x^2+b)e^x$.
On ne connaît ni $a$ ni $b$.
On suppose que $f(0)=3$, donner une équation vérifiée par a et b.

On pose pour tout réel $x$, $ch \; x=\frac{e^{-x}+e^x}{2}$ et $sh \;x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$.

Résoudre $ch \; x≥0$ et $sh~x≥0$.

Pour tout réel $x$, on pose $u(x)=-xe^x-1$.
Déterminer $u'(x)$.

Soit $f$ définie pour tout réel $x$ par : $f(x)=\frac{e^x}{1+e^x}$.

Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

Soit une fonction $f$ donnée, on note $f''$, appelée $f$ seconde, la dérivée de $f'$.
Ainsi, $f''$ est la dérivée de la dérivée de $f$.
Pour tout $x \in [-4 ;4]$ , on pose $f(x)=xe^{-x}+x^2-\dfrac{x^3}{6}$

Démontrer que $f''(x)=(x-2)(e^{-x}-1)$.