Exercices La forme de la Terre

À la fin du XVIII^e siècle, deux scientifiques, Delambre et Méchain, sont chargés de déterminer la distance entre Dunkerque, dans le Nord de la France, et Barcelone, en Espagne, afin de poser les bases de la définition du mètre. À cette époque, il existe un trop grand nombre d’unités métriques différentes, qu’il convient d’uniformiser.
Sur la même méthode, on se propose de déterminer la distance, à vol d’oiseau, qui sépare le Sacré-Cœur et la tour Montparnasse, tous deux situés à Paris, et celle séparant le Sacré-Cœur et la tour Eiffel.

Expliquez en quelques lignes la méthode mise en œuvre par Delambre et Méchain pour déterminer la distance séparant Dunkerque et Barcelone.

L’une des premières mesures du rayon de la Terre a été réalisée dans l’Antiquité par le savant grec Ératosthène. Le jour du solstice d’été (jour le plus long de l’année), il avait remarqué que le Soleil se reflétait parfaitement dans l’eau contenue par un puis de la ville de Syène en Égypte.
Il s’avait également que le Soleil étant très loin de la Terre, les rayons qui proviennent de celui-ci sont parallèles entre eux. C’est ainsi que, le même jour à Alexandrie, il décida de se servir de l’ombre portée de l’obélisque de cette ville pour déterminer l’angle entre Alexandrie, le centre de la Terre et Syène (angle qui correspond de nos jours à une différence de latitude).

Sachant que l’Obélisque d’Alexandrie a une hauteur H = 21 m et que son ombre portée mesurée par Ératosthène mesure L = 2,65 m, déterminez l’angle $\alpha$ formé entre l’obélisque et le rayon du Soleil passant au sommet de celui-ci.

Du fait de la courbure de la Terre, les distances parcourues à la surface de la celle-ci sont des portions d’arc de cercle.
On étudie dans cet exercice la distance qu’un avion doit parcourir pour aller de Paris à la ville de Québec, située au Canada.
Les deux villes sont presque situées sur le même parallèle, dont on prendra pour latitude moyenne $\alpha=+47,84\degree$.
Paris a pour longitude $\theta_P=+2,33\degree$ et celle de Québec est $\theta_Q=-71,21\degree$.
On rappelle que le rayon de la Terre est $R_T=6,37\times 10^3\,\text{km}$.

Par rapport à quoi sont mesurées les latitudes et les longitudes ?
Expliquez les signes ($+$ ou $-$) des valeurs des latitudes et des longitudes des deux villes.