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Programme Collège 5eCours MathématiquesCours : Le calcul littéral : égalités, démonstrations et équationsCours Le calcul littéral : égalités, démonstrations et équations
Introduction :
Dans le cours précédent, nous avons appris à utiliser et à transformer des expressions littérales.
Le calcul littéral permet également de vérifier si une égalité est vraie, de formuler puis de démontrer des propriétés générales, ou encore de résoudre des problèmes dans lesquels une valeur est inconnue.
Dans ce cours, nous apprendrons d’abord à tester une égalité. Nous verrons ensuite comment formuler une conjecture et démontrer une propriété à l’aide du calcul littéral, ou au contraire montrer qu’une propriété est fausse grâce à un contre-exemple. Enfin, nous utiliserons des lettres pour représenter des nombres inconnus et résoudre des équations simples.
Tester une égalité
Tester une égalité
Définition
Définition
Définition
Égalité :
Une égalité est une écriture constituée de deux expressions (ou membres) séparées par le signe « $=$ ».
- L’expression à gauche du signe » $=$ » est appelée membre de gauche, celle à droite est appelée membre de droite.
Exemple
$\underbrace{4+5}_{\text{membre de gauche}}=\underbrace{3\times3}_{\text{membre de droite}}$
À retenir
Une égalité où interviennent des expressions littérales peut être vraie pour certaines valeurs attribuées aux lettres et fausse pour d’autres.
Exemple
Considérons l’égalité : $5+x=8$.
- Elle est vraie pour $x=3$.
En effet : $5+3=8$. - Elle est fausse pour $x=4$.
En effet : $5+4=9$, et bien sûr, $9\neq 8$ !
Tester une égalité
Tester une égalité
À retenir
Méthode : Comment tester une égalité
Pour tester si une égalité est vraie pour des valeurs numériques attribuées aux lettres :
- on calcule, d’une part, la valeur du membre de gauche, en y remplaçant les lettres par leurs valeurs ;
- on calcule, d’autre part, la valeur du membre de droite, en y remplaçant les lettres par leurs valeurs ;
- on regarde si les deux résultats obtenus sont égaux ou non, et on conclut.
Exemple
Considérons l’égalité $5x-3=6+2x$.
- Testons-la pour $\green{x=3}$.
- Le membre de gauche donne :
$$5\green x-3=5\times \green 3-3=15-3=\boxed{12}$$
- Le membre de droite donne :
$$6+2\green x=6+2\times\green 3=6+6=\boxed{12}$$
- L’égalité est vraie pour $\green {x=3}$.
- Testons l’égalité maintenant pour $\red{x=4}$.
- Le membre de gauche donne :
$$5\red x-3=5\times \red 4-3=20-3=\boxed{17}$$
- Le membre de droite donne :
$$6+2\red x=6+2\times\red 4=6+8=\boxed{14}$$
- L’égalité est fausse pour $\red {x=4}$.
Conjecturer et démontrer une propriété
Conjecturer et démontrer une propriété
Formuler une conjecture
Formuler une conjecture
Définition
Conjecture :
Une conjecture est une propriété que l’on pense vraie à partir d’observations ou d’essais, mais qui n’a pas encore été démontrée.
Un tableur ou un programme informatique permet de tester rapidement une propriété sur de nombreuses valeurs.
Exemple
On souhaite étudier la somme de deux entiers consécutifs.
À l’aide d’un tableur, on peut choisir différentes valeurs de $n$, calculer l’entier suivant $n+1$, puis leur somme.
Les résultats obtenus sont tous impairs.
On peut alors formuler la conjecture suivante :
« La somme de deux entiers consécutifs est toujours impaire. »
Attention
Tester une propriété sur de nombreux exemples ne suffit pas à prouver qu’elle est toujours vraie.
Pour cela, il faut la démontrer.
Écrire certains nombres sous une forme générale
Écrire certains nombres sous une forme générale
Dans cette partie, nous allons nous servir des expressions littérales et de leurs réductions pour démontrer des propriétés sur la somme de deux ou trois entiers consécutifs.
Pour cela, nous allons commencer par donner ce qu’on appelle les formes générales des nombres pairs, impairs et multiples de $3$.
Nous savons qu’un nombre pair $P$ est un multiple de $2$. Autrement dit, le reste de la division euclidienne de $P$ par $2$ est nul.
- Ainsi, si on note $n$ le quotient (entier), on a :
On obtient donc : $\boxed{P=2n}$.
À retenir
Tout nombre pair peut s’écrire sous la forme littérale : $2n$, avec $n$ un entier.
- On dit que $2n$ est la forme générale des nombres pairs.
Nous savons aussi que tout nombre entier positif immédiatement supérieur à un nombre pair est un nombre impair. Or, pour trouver l’entier immédiatement supérieur à un nombre pair $P$, il suffit de lui ajouter $1$ : $P+1$, soit : $2n+1$, en remplaçant le nombre pair $P$ par sa forme générale.
À retenir
Tout nombre impair peut s’écrire sous la forme littérale : $2n+1$, avec $n$ un entier.
- On dit que $2n+1$ est la forme générale des nombres impairs.
Nous pouvons appliquer aux multiples de $3$ la même logique que celle utilisée pour les nombres pairs.
À retenir
Tout multiple de $3$ peut s’écrire sous la forme littérale : $3n$, avec $n$ un entier.
- On dit que $3n$ est la forme générale des multiples de $3$.
Exemple
Le petit tableau suivant donne les nombres pairs, impairs et multiples de $3$ correspondant à quelques valeurs de $n$.
$\small n$ |
$\small 0$ |
$\small 1$ |
$\small 2$ |
$\small 3$ |
$\small 4$ |
$\small 5$ |
$\small 29$ |
$\small 333$ |
$\small 1\,024$ |
Nombre pair : $\small 2n$ |
$\small 0$ |
$\small 2$ |
$\small 4$ |
$\small 6$ |
$\small 8$ |
$\small 10$ |
$\small 58$ |
$\small 666$ |
$\small 2\,048$ |
Nombre impair : $\small 2n+1$ |
$\small 1$ |
$\small 3$ |
$\small 5$ |
$\small 7$ |
$\small 9$ |
$\small 11$ |
$\small 59$ |
$\small 667$ |
$\small 2\,049$ |
Multiple de $3$ : $\small 3n$ |
$\small 0$ |
$\small 3$ |
$\small 6$ |
$\small 9$ |
$\small 12$ |
$\small 15$ |
$\small 87$ |
$\small 999$ |
$\small 3\,072$ |
Maintenant que nous connaissons les formes générales des nombres pairs et impairs, ainsi que celle des multiples de $3$, donnons deux propriétés, que nous démontrerons ensuite.
Propriété
- La somme de deux entiers consécutifs est toujours impaire.
- La somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de $3$.
Démontrer une propriété
Démontrer une propriété
Définition
Démonstration :
Une démonstration est un raisonnement qui permet d’établir qu’une propriété est vraie dans tous les cas considérés.
Démonstration
- Soit $\green n$ un entier quelconque. L’entier qui le suit immédiatement s’écrit alors : $\purple{n+1}$.
Réduisons leur somme :
$$\green n+\purple{n+1}=2n+1 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $n+n=2n$]}}}$$
Or, nous avons dit plus haut que $2n+1$, avec $n$ un entier, est la forme générale d’un nombre impair.
- La somme de deux entiers consécutifs est toujours impaire.
- Soit $\green n$ un entier quelconque. $\blue{n-1}$ est l’entier qui le précède immédiatement, et $\purple{n+1}$ l’entier qui le suit immédiatement.
Ce sont donc bien trois entiers consécutifs.
Dans une somme, nous pouvons grouper différemment les termes. Nous obtenons ainsi :
$$\begin{aligned} \blue{n-1}+\green n+\purple{n+1}&=(n+n+n)+(-1+1) \\ &=3n \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [on réduit l’expression]}}} \\ \end{aligned}$$
Or, $3n$, avec $n$ un entier, est la forme générale d’un multiple de $3$.
- La somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de $3$.
Utiliser un contre-exemple
Utiliser un contre-exemple
Toutes les propriétés que l’on peut imaginer ne sont pas vraies.
Pour montrer qu’une propriété générale est fausse, il suffit de trouver un cas dans lequel elle ne fonctionne pas.
Définition
Contre-exemple :
Un contre-exemple est un exemple particulier qui permet de montrer qu’une propriété générale est fausse.
Exemple
Considérons l’affirmation :
« La somme de deux carrés parfaits est toujours un carré parfait. »
Prenons les carrés de $3$ et de $5$ :
$3^2+5^2=9+25=34$
Or $34$ n’est pas un carré parfait.
Nous avons trouvé un contre-exemple.
La propriété est donc fausse.
Attention
Trouver plusieurs exemples pour lesquels une propriété est vraie ne suffit pas à démontrer qu’elle est toujours vraie.
En revanche, un seul contre-exemple suffit pour montrer qu’une propriété est fausse.
Résoudre des équations simples
Résoudre des équations simples
Inconnue et équation
Inconnue et équation
Jusqu’à présent, nous avons principalement utilisé des lettres comme variables, c’est-à-dire comme des nombres pouvant prendre différentes valeurs.
Dans une équation, une lettre peut avoir un autre rôle : elle représente une valeur que l’on cherche.
Définition
Inconnue :
Une inconnue est un nombre dont on cherche la valeur. Elle est représentée par une lettre, souvent $x$.
Définition
Équation :
Une équation est une égalité dans laquelle figure une ou plusieurs inconnues.
Résoudre une équation consiste à déterminer toutes les valeurs de l’inconnue qui rendent l’égalité vraie.
Ces valeurs sont appelées les solutions de l’équation.
Exemple
$5+x=8$ est une équation d’inconnue $x$.
Sa solution est $x=3$, car : $5+3=8$.
Remarque :
Il faut distinguer une identité, qui est vraie quelles que soient les valeurs attribuées aux lettres, d’une équation qui n’est vraie que pour certaines valeurs de l’inconnue.
Par exemple, grâce à la distributivité :
$$2(x+5)=2x+10$$
est vraie pour toute valeur de $x$.
En revanche :
$$5+x=8$$
n’est vraie que pour $x=3$.
Modéliser un problème par une équation
Modéliser un problème par une équation
Une équation peut permettre de traduire un problème dans lequel une quantité est inconnue.
Exemple
Un cinéma propose des places à $7\ \text{euros}$ l’unité.
Un groupe paie au total $42\ \text{euros}$.
Combien de places le groupe a-t-il achetées ?
On note $x$ le nombre de places achetées.
Une place coûte $7\ \text{euros}$, donc $x$ places coûtent :
$$7x$$
Comme le groupe a payé $42\ \text{euros}$, on obtient l’équation :
$$7x=42$$
Résoudre le problème revient donc à résoudre cette équation.
Exemple
Lina possède une certaine somme d’argent. On lui donne ensuite $6\ \text{euros}$ et elle possède alors $15\ \text{euros}$.
On note $x$ la somme qu’elle possédait au départ.
La situation se traduit par :
$$x+6=15$$
Méthode de résolution
Méthode de résolution
Nous allons apprendre à résoudre différentes équations simples en utilisant les propriétés de l’égalité et les opérations inverses.
Pour cela, nous avons besoin de quelques propriétés sur les égalités et les opérations.
Propriété
- Une égalité reste vraie si on ajoute, ou soustrait, un même nombre aux deux membres de l’égalité.
$a$, $b$ et $c$ désignent trois nombres relatifs.
- Si $a=b$, alors :
$$\begin{aligned} a\green{+c}&=b\green{+c} \\ a\green{-c}&=b\green{-c} \end{aligned}$$
- Une égalité reste vraie si on multiplie, ou divise, les deux membres de l’égalité par un même nombre non nul.
$a$, $b$ et $c$ désignent trois nombres relatifs, et $c$ est différent de $0$.
- Si $a=b$, alors :
$$\begin{aligned} a\green{\times c}&=b\green{\times c} \\ \green{\dfrac {\textcolor{#585858} a}c}&=\green{\dfrac {\textcolor{#585858} b}c} \end{aligned}$$
Propriété
- $a$ et $b$ sont des nombres relatifs donnés.
L’équation $x+a=b$, d’inconnue $x$, admet pour unique solution $x=b-a$. - On fait « passer » $+\,a$ d’un membre à l’autre, et on change son signe.
- $a$ et $b$ sont des nombres relatifs donnés, avec $a$ non nul.
L’équation $ax=b$, d’inconnue $x$, admet pour unique solution $x=\dfrac ba$. - On divise par $a$ qui est différent de $0$ les deux membres de l’équation pour obtenir la solution.
Exemple
Résolvons l’équation :
$$5x=12,5$$
Ici, l’inconnue $x$ est multipliée par $5$.
Pour isoler $x$, on divise les deux membres de l’équation par $5$.
Nous obtenons :
$$x=\dfrac{12,5}{5}=2,5$$
La solution de cette équation est donc :
$$\boxed{x=2,5}$$
Nous pouvons illustrer cette opération de la façon suivante.
Exemple
Résolvons l’équation :
$$\dfrac{x}{4}=6,2$$
Ici, l’inconnue $x$ est divisée par $4$.
Pour isoler $x$, on multiplie les deux membres de l’équation par $4$.
Nous obtenons :
$$x=4\times 6,2=24,8$$
La solution de cette équation est donc :
$$\boxed{x=24,8}$$
Nous pouvons illustrer cette opération de la façon suivante.
Exemple
Résolvons l’équation :
$$x+6,5=15$$
Ici, on ajoute $6,5$ à l’inconnue $x$.
Pour isoler $x$, on soustrait $6,5$ aux deux membres de l’équation.
Nous obtenons :
$$x=15-6,5=8,5$$
La solution de cette équation est donc :
$$\boxed{x=8,5}$$
Nous pouvons illustrer cette opération des deux façons suivantes.
Exemple
Résolvons l’équation :
$$24-x=7,6$$
Ici, l’inconnue n’apparaît pas seule dans le membre de gauche.
On commence donc par ajouter $x$ aux deux membres de l’équation.
Nous obtenons :
$$24=x+7,6$$
Puis, pour isoler $x$, on soustrait $7,6$ aux deux membres.
Nous obtenons :
$$x=24-7,6=16,4$$
La solution de cette équation est donc :
$$\boxed{x=16,4}$$
Nous pouvons illustrer cette opération de la façon suivante.
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons appris à tester une égalité et à distinguer une égalité vraie d’une égalité fausse pour une valeur donnée.
Nous avons également vu comment observer plusieurs cas pour formuler une conjecture, puis utiliser le calcul littéral pour démontrer une propriété générale. À l’inverse, nous avons vu qu’un contre-exemple permet de montrer qu’une propriété est fausse.
Enfin, nous avons donné à la lettre le rôle d’inconnue. Nous avons appris à traduire des problèmes par des équations simples et à les résoudre en utilisant les propriétés de l’égalité et les opérations inverses.
