Fiche de révision Le calcul littéral : égalités, démonstrations et équations

Tester une égalité

• Une égalité est constituée de deux expressions (membres) séparées par « $=$ » : membre de gauche et membre de droite.
• Une égalité avec des lettres peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres.
• Méthode :
• on calcule la valeur du membre de gauche (en remplaçant les lettres par leurs valeurs) ;
• on calcule la valeur du membre de droite ;
• on compare les deux résultats et on conclut.

Conjecturer et démontrer une propriété

• Une conjecture est une propriété que l'on pense vraie à partir d'observations, mais qui n'est pas encore démontrée.

Attention

Tester une propriété sur plusieurs exemples ne suffit pas à la démontrer.

Formes générales (avec $n$ un entier)

• Nombre pair : $2n$
• Nombre impair : $2n+1$
• Multiple de 3 : $3n$

Propriétés démontrées

• La somme de deux entiers consécutifs est toujours impaire : $n+(n+1)=2n+1$.

• La somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3 : $(n-1)+n+(n+1)=3n$.

• Une démonstration est un raisonnement qui établit qu'une propriété est vraie dans tous les cas.

Contre-exemple

• Un contre-exemple est un exemple particulier qui montre qu'une propriété générale est fausse.

Attention

Plusieurs exemples vérifiant une propriété ne la démontrent pas ; un seul contre-exemple suffit pour la réfuter.

Résoudre des équations simples

• Une inconnue est un nombre dont on cherche la valeur, représentée par une lettre (souvent $x$).
• Une équation est une égalité contenant une ou plusieurs inconnues. La résoudre, c'est trouver toutes les valeurs (les solutions) qui la rendent vraie.
• Une équation peut traduire un problème concret (modélisation).

Propriétés des égalités

• On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres :
• si $a=b$, alors $a+c=b+c$ et $a-c=b-c$.
• On peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul :
• si $a=b$, alors $a\times c=b\times c$ et $\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{c}$ (avec $c\neq 0$).

Résolutions types

• $x+a=b \Rightarrow x=b-a$ (on change le signe en changeant de membre).
• $ax=b \Rightarrow x=\dfrac{b}{a}$ (avec $a\neq 0$, on divise les deux membres par $a$).
• $\dfrac{x}{a}=b \Rightarrow x=a\times b$ (on multiplie les deux membres par $a$).
• $a-x=b$ : on ajoute $x$ aux deux membres pour isoler l'inconnue, puis on soustrait pour finir.