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Les fractions décimales

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Introduction :

Ce cours est un rappel sur la notion de fraction décimale, élément qui permet de définir un nombre décimal.

Nous commencerons par en redonner la définition, le vocabulaire puis ferons quelques remarques. Nous parlerons ensuite de la décomposition d’une fraction décimale avant de faire le lien avec les nombres décimaux.

Fraction décimale

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Rappel

Une fraction décimale est une fraction dont le numérateur est un nombre entier et le dénominateur est 1010, 100100, 1 0001\ 000, 10 00010\ 000

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Exemple

18310\frac{183}{10}, 15100\frac{15}{100} et 11 000\frac{1}{1\ 000} sont des fractions décimales.

97\frac 97 et 42,5100\frac{42,5}{100} ne sont pas des fractions décimales.

  • 110\frac{\blue 1}{\red {10}} se lit « un dixième » : cela représente 1\blue 1 part de l’unité partagée en 10\red {10} parts égales.
  • 1100\frac{\blue 1}{\red {100}} se lit « un centième : cela représente 1\blue 1 part de l’unité partagée en 100\red {100} parts égales.
  • 11 000\frac{\blue 1}{\red {1\ 000}} se lit « un millième » : cela représente 1\blue 1 part de l’unité partagée en 1 000\red {1\ 000} parts égales.
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À retenir

Un entier peut toujours s’écrire sous la forme d’une fraction décimale.

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Exemple

17=17010=1 700100=17 0001 000=17=\frac{170}{10}=\frac{1\ 700}{100}=\frac{17\ 000}{1\ 000}=…

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À retenir

Une fraction ne peut pas toujours s’écrire sous la forme d’une fraction décimale

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Exemple

14\frac 14 peut s’écrire 25100\frac{25}{100}

12\frac 12 peut s’écrire 510\frac{5}{10} ou 50100\frac{50}{100}

34\frac 34 peut s’écrire 75100\frac{75}{100}

En revanche, 13\frac 13 n’admet pas de forme décimale.

Les équivalences de 14\frac 14, 12\frac 12 et 34\frac 34 sont à retenir.

Décomposition d’une fraction décimale

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À retenir

Décomposer une fraction décimale, c’est l’écrire sous la forme d’une somme d’un nombre entier (le plus grand possible) et de fractions décimales inférieures à 11 (une en dixièmes + une en centièmes + une en millièmes…).

MÉTHODOLOGIE

Pour décomposer une fraction décimale :

  • on écrit d’abord son numérateur sous la forme d’une décomposition additive en commençant par le rang indiqué par le dénominateur :
  • si le dénominateur est 1010, la décomposition additive commencera au rang des dizaines ;
  • si le dénominateur est 100100, la décomposition additive commencera au rang des centaines ;
  • si le dénominateur est 1 0001\ 000, la décomposition additive commencera au rang des milliers ;
  • etc.
  • grâce à cette décomposition additive, on peut décomposer la fraction initiale en une somme de fractions décimales ;
  • on simplifie ces fractions décimales de manière à obtenir la décomposition attendue.
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Exemple

Décomposition de la fraction décimale 84 3271 000\frac{84\ 327}{1\ 000}

  • Le dénominateur de la fraction est 10001000. La décomposition additive du numérateur commencera au rang des milliers. Ainsi : 84 327=84 000+300+20+784\ 327 = 84\ 000 + 300 + 20 + 7
  • On peut alors écrire 84 3271000=84 000+300+20+71 000=84 0001 000+3001 000+201 000+71 000\frac{84\ 327}{1000}=\frac{84\ 000+300+20+7}{1\ 000}=\frac{84\ 000}{1\ 000}+\frac{300}{1\ 000}+\frac{20}{1\ 000}+\frac{7}{1\ 000}
  • En simplifiant, on obtient 84 3271 000=84+310+2100+71 000\frac{84\ 327}{1\ 000}=84+\frac{3}{10}+\frac{2}{100}+\frac{7}{1\ 000}
  • La décomposition de la fraction décimale 84 3271 000\frac{84\ 327}{1\ 000} est donc : 84+310+2100+71 00084+\frac{3}{10}+\frac{2}{100}+\frac{7}{1\ 000}

À travers ce type de décomposition, on entrevoit déjà le lien avec les nombres décimaux. C’est ce que nous allons établir maintenant.

Fraction décimale et nombre décimal

La fraction décimale est l’élément qui définit un nombre décimal puisqu'un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale.

La fraction décimale est une forme d’écriture d’un nombre décimal parmi d’autres puisque tout nombre décimal peut s’écrire sous différentes formes : écriture fractionnaire, décimale, en lettres ou encore en décomposition.

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Propriété

Toute fraction décimale peut s’écrire en écriture décimale.

Cette propriété se démontre facilement à l’aide de la méthode de décomposition d’une fraction décimale.

Reprenons l’exemple de la fraction décimale 84 3271 000\frac{84\ 327}{1\ 000}

Sa décomposition a donné le résultat suivant : 84 3271 000=84Partie entieˋre+310+2100+71 000Partie deˊcimale\frac{84\ 327}{1\ 000}=\blue{\underbrace{84}\text{Partie entière}}+\red{\underbrace{\frac {3}{10} + \frac {2}{100} + \frac {7}{1\ 000}}\text{Partie décimale}}

On reconnait ici la décomposition d’un nombre décimal dont la partie entière est 8484 et la partie décimale est 33 dixièmes 22 centièmes et 77 millièmes. Son écriture décimale est 84,32784,327.

Ainsi, la fraction décimale 84 3271 000\frac{84\ 327}{1\ 000} peut s’écrire sous l’écriture décimale 84,32784,327.

  • On peut écrire 84 3271 000=84,327\frac{84\ 327}{1\ 000}= 84,327.

Ce résultat établit également la méthodologie pour passer de l’écriture fractionnaire d’un nombre décimal à son écriture décimale.

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Rappel

Pour passer de l'écriture fractionnaire d'un nombre à son écriture décimale :

  • le dénominateur de la fraction décimale détermine le rang du dernier chiffre du nombre à virgule recherché :
  • si le dénominateur est 1010, le rang du dernier chiffre sera celui des dixièmes (1er chiffre après la virgule) ;
  • si le dénominateur est 100100, le rang du dernier chiffre sera celui des centièmes (2e chiffre après la virgule) ;
  • si le dénominateur est 1 0001\ 000, le rang du dernier chiffre sera celui des millièmes (3e chiffre après la virgule) ;
  • etc.
  • Le nombre à virgule recherché est le numérateur de la fraction décimale auquel on rajoute une virgule de telle sorte que son dernier chiffre corresponde au rang déterminé à l'étape 1.
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Astuce

Autrement dit, on positionne une virgule à la fin du numérateur et on la décale vers la gauche d'autant de rangs qu'il y a de zéros au dénominateur.

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Exemple

Reprenons l’exemple de la fraction décimale et déterminons son écriture décimale.

  • Le dénominateur de la fraction décimale est 1 0001\ 000. Le rang du dernier chiffre du nombre à virgule recherché sera celui des millièmes.
  • Le numérateur de la fraction décimale est 84 32784\ 327. Le nombre à virgule recherché est donc le nombre 84 32784\ 327 auquel on rajoute une virgule de telle sorte que le chiffre 77 soit le 3e chiffre après la virgule.
  • On obtient bien le même résultat que précédemment : l’écriture décimale de 84 3271 000\frac{84\ 327}{1\ 000} est 84,32784,327.

Conclusion :

Ce qu’il faut retenir de ce cours, c’est que la fraction décimale est l’élément de définition d’un nombre décimal : si un nombre peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale, alors ce nombre est un nombre décimal. La méthode de décomposition d’une fraction décimale est également à retenir. Enfin, comprendre la relation de la fraction décimale au nombre décimal permet d’appréhender correctement les nombres décimaux et de savoir les manipuler avec aisance.