Fiche de révision : Limites d'une suite

Limite d’une suite

Théorèmes :

• La limite d’une suite, si elle existe, est unique.
• Une suite n’a pas nécessairement de limite.

Limite finie

• Dire qu’un réel $l$ est limite d’une suite $u_n$ signifie que tout intervalle ouvert de centre $l$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

On écrit alors :

$\lim\limits${n \to +\infty} un=l

On dit que $u$nun​ est convergente de limite $l$ ou que $u$n converge vers $l$.

À retenir

$\lim\limits_{n \to +\infty}{1\over n} = 0$

$\lim\limits_{n \to +\infty} {1\over n^2}=0$

$\lim\limits_{n \to +\infty}{1\over n^3}=0$

$\lim\limits_{n \to +\infty}{1\over \sqrt n}=0$

Limite infinie

• Dire qu’une suite $u_n$ a pour limite $+\infty$ signifie que tout intervalle ouvert de la forme $]A\ ;+\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

On écrit alors :

$\lim\limits${n \to +\infty} un=+\infty

On dit que $u$nun​ est divergente ou que $u$n diverge vers $+\infty$.

• Dire qu’une suite $u_n$ a pour limite $-\infty$ signifie que tout intervalle ouvert de la forme $]-\infty\ ; A[$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

On écrit alors :

$\lim\limits${n \to -\infty} un = -\infty

On dit que $u$nun​ est divergente ou que $u$n diverge vers $-\infty$.

À retenir

Limites de suites de références :

$\lim\limits_{n \to +\infty}{n}=+\infty$

$\lim\limits_{n \to +\infty}{n^2}=+\infty$

$\lim\limits_{n \to +\infty}{n^3}=+\infty$

$\lim\limits_{n \to +\infty}{\sqrt n}=+\infty$

Limite et comparaison

Soient $(u$n)(un​) et $(v$n) deux suites.

Si pour tout entier naturel $n$ supérieur à un certain entier naturel $n_0$ :

• $u$n \leq vn et $\lim\limits${n \to +\infty}un=+\infty alors $\lim\limits${n \to +\infty} vn=+\infty
• $u$n \leq vn et $\lim\limits${n \to +\infty} vn=- \infty alors $\lim\limits${n \to +\infty} un=-\infty

Le théorème des gendarmes

On considère trois suites $(u$n)(un​), $(v$n), et $(w_n)$.

• Si pour tout entier naturel supérieur à un certain entier naturel $p$, $v$n \leq un \leq w_n
• et si les suites $(v$n)(vn​) et $(w$n) convergent vers la même limite $l$,
• alors la suite $(u_n)$ converge vers $l$.

Opérations sur les limites