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Limites d'une suite

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Limite d’une suite

Théorèmes :

  • La limite d’une suite, si elle existe, est unique.
  • Une suite n’a pas nécessairement de limite.

Limite finie

  • Dire qu’un réel ll est limite d’une suite unu_n signifie que tout intervalle ouvert de centre ll contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

On écrit alors :

limn+un=l\lim\limits{n \to +\infty} un=l

On dit que unun est convergente de limite ll ou que unun converge vers ll.

bannière à retenir

À retenir

limn+1n=0\lim\limits_{n \to +\infty}{1\over n} = 0

limn+1n2=0\lim\limits_{n \to +\infty} {1\over n^2}=0

limn+1n3=0 \lim\limits_{n \to +\infty}{1\over n^3}=0

limn+1n=0 \lim\limits_{n \to +\infty}{1\over \sqrt n}=0

Limite infinie

  • Dire qu’une suite unu_n a pour limite ++\infty signifie que tout intervalle ouvert de la forme ]A ;+[]A\ ;+\infty[ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

On écrit alors :

limn+un=+\lim\limits{n \to +\infty} un=+\infty

On dit que unun est divergente ou que unun diverge vers ++\infty.

  • Dire qu’une suite unu_n a pour limite -\infty signifie que tout intervalle ouvert de la forme ] ;A[]-\infty\ ; A[ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

On écrit alors :

limnun=\lim\limits{n \to -\infty} un = -\infty

On dit que unun est divergente ou que unun diverge vers -\infty.

bannière à retenir

À retenir

Limites de suites de références :

limn+n=+\lim\limits_{n \to +\infty}{n}=+\infty

limn+n2=+\lim\limits_{n \to +\infty}{n^2}=+\infty

limn+n3=+\lim\limits_{n \to +\infty}{n^3}=+\infty

limn+n=+\lim\limits_{n \to +\infty}{\sqrt n}=+\infty

Limite et comparaison

Soient (un)(un) et (vn)(vn) deux suites.

Si pour tout entier naturel nn supérieur à un certain entier naturel n0n_0 :

  • unvnun \leq vn et limn+un=+\lim\limits{n \to +\infty}un=+\infty alors limn+vn=+\lim\limits{n \to +\infty} vn=+\infty
  • unvnun \leq vn et limn+vn=\lim\limits{n \to +\infty} vn=- \infty alors limn+un=\lim\limits{n \to +\infty} un=-\infty

Le théorème des gendarmes

On considère trois suites (un)(un), (vn)(vn), et (wn)(w_n).

  • Si pour tout entier naturel supérieur à un certain entier naturel ppvnunwnvn \leq un \leq w_n
  • et si les suites (vn)(vn) et (wn)(wn) convergent vers la même limite ll,
  • alors la suite (un)(u_n) converge vers ll.

Opérations sur les limites