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Limites d'une suite

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Introduction :

Étudier le comportement d’une suite conduit à déterminer la limite d’une suite lorsque nn tend vers l’infini, c’est-à-dire lorsque les termes de la suite deviennent de plus en plus grands.

Nous verrons deux cas : celui où la limite de la suite est finie et vaut une valeur que l’on notera « ll », et le cas où la limite est infinie. La suite tendra alors vers + ou - l’infini.

Limite d’une suite

Limite finie

On peut constater qu’à partir d’un certain rang, tous les termes de la suite sont dans l’intervalle ]l0,1 ;l+0,1[]l - 0, 1\ ; l + 0, 1[. Les termes de la suite s’accumulent autour d’une certaine valeur ll de cet intervalle. Ce phénomène traduit la notion de limite finie.

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Définition

Limite finie :

Dire qu’un réel ll est limite d’une suite (un)(u_n) signifie que tout intervalle ouvert de centre ll contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

On écrit alors limn+un=l\lim\limits{n \to +\infty} un = l

On dit que unun est convergente de limite ll (ou que unun converge vers ll).

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À retenir

Limites de suites de références :

limn+1n=0\lim\limits_{n \to +\infty} {1\over n} = 0

limn+1n2=0\lim\limits_{n \to +\infty} {1\over n^2} = 0

limn+1n3=0\lim\limits_{n \to +\infty} {1\over n^3} = 0

limn+1n=0\lim\limits_{n \to +\infty} {1\over \sqrt n} = 0

Limite infinie

On constate cette fois-ci que tous les termes de la suite, à partir de l’indice N1N1, appartiennent à l’intervalle ouvert ]A1,+[]A1,+\infty[ sur l’axe des ordonnées. Autrement dit, plus nn est grand, plus les termes unu_n arrivent à dépasser tout nombre AA.

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Définition

Limite en ++\infty :

Dire qu’une suite (un)(u_n) a pour limite ++\infty signifie que tout intervalle ouvert de la forme ]A; +∞[ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

On écrit : limn+un=+\lim\limits{n \to +\infty} un = +\infty

On dit alors que (un)(un) est divergente ou que (un)(un) diverge vers +∞.

limite moins infini-mathématiques-terminale-schoolmouv

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Définition

Limite en -\infty :

Dire qu’une suite (un)(u_n) a pour limite -∞ signifie que tout intervalle ouvert de la forme ] ;A[] - \infty\ ; A[ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

On écrit : limn+un=\lim\limits{n \to +\infty} un = - \infty

On dit alors que (un)(un) est divergente ou que (un)(un) diverge vers -∞.

bannière à retenir

À retenir

Limites de suites de références :

limn+n=+\lim\limits_{n \to +\infty} {n} = +\infty

limn+n2=+\lim\limits_{n \to +\infty} {n^2} = +\infty

limn+n3=+\lim\limits_{n \to +\infty} {n^3} = +\infty

limn+n=+\lim\limits_{n \to +\infty} {\sqrt n} = +\infty

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Théorème

La limite d’une suite, si elle existe, est unique.

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Attention

Une suite n’a pas nécessairement de limite. C’est le cas pour les suites alternées, c’est-à-dire qui alternent entre deux valeurs, ou pour celles dont les valeurs oscillent.

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Exemple

La suite (un)(un) définie par un=(1)nun=(-1)^n alterne entre les valeurs 1-1 et 11, tout dépend de la parité de l’entier nn.

  • si nn est pair, un=1u_n=1
  • sinon un=1u_n=-1
  • Cette suite n’a donc pas de limite.

À ce niveau, on peut déterminer la limite d’une suite en utilisant la définition de limite, mais il existe d’autres moyens plus efficaces pour déterminer la limite éventuelle d’une suite, comme la comparaison de deux suites entre elles ou le théorème des gendarmes.

Limite et comparaison

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Théorème

Soient (un)(un) et (vn)(vn) deux suites. Si pour tout entier naturel nn supérieur à un certain entier naturel n0n_0 :

  • unvnun \leq vn et limn+un=+\lim\limits{n \to +\infty} un = +\infty alors limn+vn=+\lim\limits{n \to +\infty} vn = +\infty
  • unvnun \leq vn et limn+vn=\lim\limits{n \to +\infty} vn = - \infty alors limn+un=\lim\limits{n \to +\infty} un = -\infty

Le théorème des gendarmes

Ce théorème permet de trouver la limite d’une suite dans le cas particulier où la suite est encadrée par deux autres suites.

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Théorème

On considère trois suites (un)(un), (vn)(vn), et (wn)(w_n).

Si pour tout entier naturel supérieur à un certain entier naturel pp, vnunwnvn \leq un \leq wn et si les suites (vn)(vn) et (wn)(wn) convergent vers la même limite ll, alors la suite (un)(un) converge vers ll.

Les suites (un)(un), (vn)(vn) et (wn)(wn) avec vnunwnvn \leq un \leq wn sont représentées ci-dessous.

Les suites (vn)(vn) et (wnwn) convergent vers le réel ll. On voit que c’est aussi le cas de la suite (un)(u_n) :

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Exemple

Déterminer, si elle existe, la limite de la suite (un)(un) définie par : un=n+(1)nnun={ {n+(-1)^n} \over n} pour tout n1n \geq 1.

Pour utiliser le théorème des gendarmes, il faut encadrer la suite (un)(u_n). Pour cela on doit écrire des inégalités.

  • Pour tout n1n \geq 1, 1(1)n1-1 \leq (-1)^n\leq1
  • On ajoute nn à chaque membre : n1n+(1)nn+1\quad n-1 \leq n + (-1)^n \leq n+1
  • On divise tout par nn car n>0n > 0 : n1nn+(1)nnn+1n{n-1 \over n} \leq {n + (-1)^n \over n } \leq {n+1 \over n}
  • Ce qui équivaut à : 11nun1+1n1-{1 \over n} \leq u_n \leq {1+ {1 \over n}}
  • Or limn+1n=0\lim\limits{n \to +\infty} {1\over n} = 0donc limn+(11n)=limn+(1+1n)=1\lim\limits{n \to +\infty} {\left(1-{1\over n}\right)} = \lim\limits_{n \to +\infty} {\left(1+{1\over n}\right)} =1
  • Donc d’après le théorème des gendarmes limn+un=1\lim\limits{n \to +\infty} un = 1

Opérations sur les limites

Lorsque deux suites (un)(un) et (vn)(vn) ont des limites connues, on peut en général en déduire la limite :

  • de la suite somme (un+vn)(un+vn) : la limite correspond à la somme des limites de (un)(un) et (vn)(vn) ;
  • de la suite produit (un×vn)(un \times vn) : la limite correspond au produit des limites de (un)(un) et (vn)(vn) ;
  • et de la suite quotient (unvn)({un \over vn}) : la limite correspond au quotient des limites de (un)(un) et (vn)(vn).

On retrouve ci-dessous les tableaux des règles opératoires. Une case contenant FI (forme indéterminée) correspond à un cas où il n’y a pas de règle générale.

Somme de deux suites

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Exemple

Déterminer la limite de n+5 -n+5

La limite de n-n est -\infty et la limite de 5 est 5.

  • Donc, par addition des limites :
    limn+n+5=\lim\limits_{n \to +\infty} {-n+5} = - \infty

Produit de deux suites

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Exemple

Calculer la limite de un=n×(1n+5)u_n = {-n \times \Big( {{1\over { \sqrt n}} +5 }}\Big)

On a limn+n=\lim\limits{n \to +\infty} -n= -\infty et limn+1n+5=5\lim\limits{n \to +\infty} {{1\over \sqrt n}+5} = 5 car limn+1n=0\lim\limits_{n \to +\infty} {1\over \sqrt n} = 0

  • Donc par produit : limn+n×(1n+5)=\lim\limits_{n \to +\infty} {-n \times \Big({1\over \sqrt n}+5}\Big)= - \infty

Quotient de deux suites

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Exemple

Calculer la limite de un=23n+5u_n = { {2\over 3n+5 }}

On a limn+2=2\lim\limits{n \to +\infty} 2= 2 et limn+(3n+5)=+\lim\limits{n \to +\infty} \big({3n+5}\big) = +\infty

  • Donc par produit : limn+23n+5=0\lim\limits_{n \to +\infty} { {2\over 3n+5 } }= 0

Formes indéterminées

Les cas des formes indéterminées nécessite une étude particulière. Pour les mémoriser, on les note « \infty - \infty », « 0×0 \times \infty », « \infty \over \infty » et « 000\over0 », mais ces écritures ne doivent pas être utilisées dans une rédaction.

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Astuce

Le principe est toujours le même pour « lever » une indétermination :

  • il faut changer l’écriture de la suite en factorisant pour la plupart du temps par le terme de plus haut degré.
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Exemple

un=3n2n5u_n = 3n^2-n-5

On a limn+3n2=+\lim\limits{n \to +\infty} {3n^2} = +\infty et limn+(n5)=\lim\limits{n \to +\infty} {(-n- 5)} = -\infty.

Il s’agit donc d’une forme indéterminée \infty - \infty.

  • On factorise par le terme de plus haut degré, c’est-à-dire n2n^2 :

un=n2(31n5n2)u_n = n^2 \Big(3-{1\over n} -{5\over n^2} \Big)

  • On calcule les limites des termes :

limn+n2=+\lim\limits_{n \to +\infty} {n^2} = +\infty

limn+31n5n2=3\lim\limits{n \to +\infty} 3- {1\over n} -{5\over n^2 }= 3 car limn+1n=limn+5n2=0\lim\limits{n \to +\infty} {1\over n} = \lim\limits_{n \to +\infty} {5\over n^2} =0

  • Donc par produit limn+un=+\lim\limits{n \to +\infty} un= +\infty
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Exemple

un=3n+52n+7u_n = {3n+5 \over {-2n+7}}

On a limn+(3n+5)=+\lim\limits{n \to +\infty} ({3n+5}) = +\infty et limn+(2n+7)=\lim\limits{n \to +\infty} ({- 2n+7}) = -\infty.

Il s’agit d’une forme indéterminée \infty \over \infty.

  • On factorise le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré, c’est-à-dire nn : un=n(3+5n)n(2+7n)=3+5n2+7nu_n = {n(3+{5\over n} ) \over {n(- 2+{7\over n })}} = {3+{5\over n} \over {-2+{7\over n }}}
  • On calcule les limites du numérateur et du dénominateur : limn+(3+5n)=3\lim\limits{n \to +\infty} \Big(3+{5\over n }\Big)= 3etlimn+(2+7n)=2\lim\limits{n \to +\infty} \Big(-2+{7\over n }\Big)= -2carlimn+5n=limn+7n=0\lim\limits{n \to +\infty} {5\over n} = \lim\limits{n \to +\infty} {7\over n} =0
  • Donc par quotient limn+un=32\lim\limits{n \to +\infty} un= -{3 \over 2}
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Astuce

D’une manière générale, lorsque l’on veut déterminer la limite d’un polynôme ou d’un quotient de polynômes, on peut « sauter » l’étape de la factorisation et garder le terme de plus haut degré.

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Exemple

Par exemple limn+nn=limn+n=+\lim\limits{n \to +\infty} {n- \sqrt n} = \lim\limits{n \to +\infty} {n} = +\infty car nn est le terme de plus haut degré.

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Exemple

De même, limn+2n2+1n2+n=limn+2n2n2=2\lim\limits{n \to +\infty} { {2n^2+1\over n^2+n } }= \lim\limits{n \to +\infty} { {2n^2\over n^2 }} = 2