Exercices Limites de fonctions

$f$ et $g$ sont deux fonctions définies sur $]0;+\infty[$
Supposons que $\lim\limits_{x \to +\infty}{g(x)}=2$
Supposons aussi que pour tout réel $x$, $f(x)<g(x)$.
Peut-on dire à partir de ces informations que $\lim\limits_{x \to +\infty}{f(x)}<2$ ?

Soit $f$ la fonction sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \left\lbrace \begin{aligned} &x : &si :: x\leqslant 0 \\ &\dfrac{x}{1+x} : &si :: x > 0\end{aligned}\right .$

Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$, et indiquer si la courbe $C_f$ admet ou non des asymptotes horizontales.

On pose, pour tout réel $x$ différent de $-2$ :

$f(x)=\dfrac{2x-1}{x+2}$

Montrer que $f$ peut aussi s'écrire :

$f(x)=2 - \dfrac{5}{x+2}$