Exercices Semaine 4 - Limites et continuité des fonctions

On donne ci-dessous la représentation graphique de deux fonctions $g$ et $h$ définies sur $\mathbb R$ :

La fonction $h$ est définie pour tout nombre réel $x$ par :

$$h(x)=2+2\text{e}^{-x} x-2 \text{e}^{-x}$$

Question 1

À l’aide du graphique, conjecturer les limites de la fonction $h$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
Donner l’équation de l’éventuelle asymptote de $h$ en $+\infty$.

Question 1 : Étude d’une fonction auxiliaire

On considère la fonction $g$ définie sur $[0\ ;\,+\infty[$ par :

$$g(x)=2x^3-3x^2-2x+\dfrac 32$$

• Calculer $g(0)$, $g\left(\frac 12\right)$ et $g\left(\frac 32\right)$.
• Déterminer le sens de variation de la fonction $g$ sur $[0\ ;\, +\infty[$, puis dresser son tableau de variation.
  On ne demande pas la valeur des extremums et on admet que :

$$\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=+\infty$$

• En déduire le signe de $g(x)$ sur $\left[0\ ;\, \frac 32\right]$.

Question 2

Soit $a$ et $b$ deux nombres réels et $f$ la fonction définie sur $[0\ ;\, +\infty[$ par :

$$f(x)=(ax+b)\text{e}^{-x^2}$$

$\mathscr C_f$ est sa courbe représentative dans le repère orthonormé $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$.

• Calculer la dérivée de la fonction $w:x\mapsto \text{e}^{-x^2}$ sur $[0\ ;\, +\infty[$.
• Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à $[0\ ;\, +\infty[$, on a :

$$f^{\prime}(x)= \text{e}^{-x^2} (-2ax^2-2bx+a)$$

• On sait que $\mathscr C_f$ coupe l’axe des ordonnées en $C\left(0\ ;\, \frac 32\right)$ et qu’en ce point la tangente $\mathcal T$ a pour équation $y=-x+\frac 32$.

Prouver que $a=-1$ et que $b=\dfrac 32$.

Question 3

Soit $x\in \left[0\ ;\, \dfrac 32\right]$.
On admet que, sur cet intervalle, $f(x)\geq 0$.

On construit le rectangle $MNPO$ tel que :

$$M\,(x\ ;\, 0)\quad N\big(x\ ;\, f(x)\big)\quad P\big(0\ ;\, f(x)\big)$$

• Exprimer l’aire du rectangle en fonction de $x$. On notera cette aire $A(x)$.
• Calculer $A^{\prime}(x)$ et montrer que $A^{\prime}(x)$ est du même signe que $g(x)$.
• Montrer que l’aire du rectangle $MNPO$ atteint un maximum $A_\text{max}$ que l’on déterminera.

Exercice cours C10 : Fonctions convexes Temps : 35 min Énoncé

Depuis 2015, des biologistes étudient une population d’oiseaux qui vivent sur une île. Ils ont modélisé le nombre de centaines d’individus par la fonction $f$, définie sur $\mathbb R^+$ par :

$$f:t\mapsto \dfrac {50}{2+98 \text{e}^{-0,1t}}$$

• Par exemple, $f(2,5)$ est la population, en centaines d’individus, dénombrée au bout de deux ans et demi, donc au milieu de l’année 2017.

On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb R^+$, et on note sa fonction dérivée et sa fonction dérivée seconde respectivement $f^{\prime}$ et $f^{\prime\prime}$.

Question 1

Calculer $f(0)$, puis la limite de $f(t)$ quand $t$ tend vers $+\infty$.

• Interpréter ces deux résultats dans le contexte de l’exercice.

Question 2

• Calculer $f^{\prime}(t)$ pour $t\in \mathbb R^+$.
• Dresser le tableau de variations de $f$.

Question 3

On donne la représentation graphique de la fonction $f^{\prime}$ dans un repère orthogonal :

Dans le contexte de l’exercice, $f^{\prime}(t)$ représente l’accroissement de la population d’oiseaux l’année $t$.
Avec la précision permise par le graphique, dire, en justifiant, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

• Affirmation A : Pour tout nombre positif $t$, $f^{\prime\prime}(t)\geq 0$.
• Affirmation B : L’accroissement des oiseaux diminuera entre 2040 et 2050.
• Affirmation C : L’accroissement des oiseaux sera maximal vers 2054.
• Affirmation D : La fonction $f$ est concave sur $\mathbb R^+$.

Question 4

On veut vérifier certaines réponses de la question 3 par le calcul.

• Pour cela, on admet que, pour $t\geq 0$ :

$$f^{\prime\prime}(t)=\dfrac{490\times \text{e}^{-0,1t}\times (-0,2+9,8\text{e}^{-0,1t})}{{(2+98\text{e}^{-0,1t})}^3}$$

• Montrer que :
• $f^{\prime\prime}(t)$ a le même signe que $-0,2+9,8 \text{e}^{-0,1t}$ ;
• puis que $-0,2+9,8 \text{e}^{-0,1t} \geq 0$ si et seulement si $\text{e}^{0,1t}\leq 49$.
• On admet que $\text{e}^{0,1t}\leq 49$ si et seulement si $0\leq t\leq t_0$, avec $t_0\approx 38,9$.
• Dresser le tableau de signes de $f^{\prime\prime}(t)$ et le tableau de variations de $f^{\prime}$.
  On ne demande pas les images de $0$ et $t_0$ par la fonction $f^{\prime}$, ni la limite de $f^{\prime}$ en $+\infty$.
• Vérifier les réponses obtenues à la question 3.
• La courbe représentant $f$ admet-elle des points d’inflexion ?

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb R$ par :

$$g(x)=\text{e}^{-x}-\dfrac 12$$

Question 1

Justifier que cette fonction est continue sur $\mathbb R$.

Question 2

• Prouver que :
• $\lim\limits_{x \to -\infty} g(x)=+\infty$ ;
• $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=-\frac 12$.
• Étudier les variations de $g$ et dresser son tableau de variations.

Question 3

Prouver que l’équation $g(x)=0$ admet une seule solution que l’on notera $x_0$.
À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement au centième de $x_0$.

Question 4

On considère à présent la fonction $f$, définie sur $[0\ ;\, +\infty[$ par :

$$f(x)=\dfrac 15 \text{e}^{-x}-\dfrac 1{10}+x$$

On admet que $f$ est continue et dérivable sur $[0\ ;\, +\infty[$.

• Calculer $f(0)$.
  À l’aide de la calculatrice, donner les valeurs approchées au centième de $f(0,5)$ et de $f(1)$.
• Soit $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$ sur $[0\ ;\, +\infty[$.
  On donne son tableau de variations :

La courbe représentant $f$ dans un repère orthogonal admet-elle une ou des tangentes parallèles à l’axe des abscisses ? Justifier votre réponse.

• Construire le tableau de variations de $f$ sur $[0\ ;\, +\infty[$.

Dans ce tableau, on fera apparaître les valeurs approchées des images $f(0,5)$ et $f(1)$. On ne demande pas la limite en $+\infty$.

Question 5

Soit $(u_n)$ la suite définie par :

$$\begin{cases} u_0=0,5 \\ \text{Pour tout entier naturel $n$ : } u_{n+1}=f(u_n) \end{cases}$$

• Démontrer par récurrence que la propriété $P_n:u_n\leq u_{n+1}\leq 1$ est vraie quel que soit l’entier naturel $n$.
  En déduire que la suite est convergente.
• Quelle est la limite de cette suite ?