Exercices Épreuve de Bernoulli et loi binomiale

Un automobiliste se rend d'un point $A$ à un point $B$. Il lui faut normalement $15$ minutes. Mais il y a $4$ feux tricolores non synchronisés sur son parcours. On ne tient pas compte des feux orange dans cet exercice, ainsi :

• un feu vert ne fait pas perdre de temps à l'automobiliste ;
• pour chaque feu rouge, on considère que l'automobiliste perd 1 minute.

Les feux ont tous le même fonctionnement : ils passent $15$ secondes au vert et $45$ secondes au rouge.

Calculer la probabilité que l'automobiliste ne rencontre aucun feu rouge. Quel temps met-il alors ?

On donnera la réponse sous forme de fraction.

Sur un flipper, au démarrage il y a une chance sur deux que la balle vienne taper le gong multicolore. Sur $10$ parties, si le joueur tire tape $9$ fois le gong, il empoche $500$ points.
Le joueur fait $10$ parties indépendantes les unes des autres. Soit $G$ la variable aléatoire indiquant le nombre de gongs obtenus.

Calculer $p(G=9)$.

Un contrôleur a une chance sur $20$ de passer dans le métro que prend Jim chaque matin. Les contrôles sont indépendants les uns des autres.
Un trajet coûte $4$ €. L'amende coûte $a=100$ €.
Jim décide de prendre chaque matin son métro sans payer, et ce pendant 30 jours.

Calculer la probabilité qu'il soit contrôlé 2 fois au moins.
On arrondira les résultats à $10^{-4}$.