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Épreuve de Bernoulli et loi binomiale

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Introduction :

Ce cours est fortement en lien avec celui sur les probabilités et notamment avec la partie sur la répétition d’expériences identiques et indépendantes, tu peux donc, si besoin, revoir la vidéo correspondante.

Nous commencerons cette leçon avec les définitions d’une épreuve et d’un schéma de Bernoulli puis nous parlerons des coefficients binomiaux et du triangle de Pascal, enfin, nous terminerons par la définition et les propriétés de la loi binomiale.

Épreuve et schéma de Bernoulli

Épreuve de Bernoulli

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Définition

Épreuve de Bernoulli de paramètre pp :

On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre pp, toute expérience admettant deux issues exactement :

  • l’une appelée « succès » notée SS, dont la probabilité est pp ;
  • l’autre appelée « échec » notée Sˉ\bar S, dont la probabilité est 1p1-p.

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Exemple

On lance un dé cubique équilibré et on s’intéresse au succès « obtenir un 6 ». Alors la probabilité du succès est p(S)=16p(S)=\dfrac16 et la probabilité de l’échec est p(Sˉ)=56p(\bar S )=\dfrac56.

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Propriété

On considère une épreuve de Bernoulli de paramètre pp (pp est un réel compris entre 0 et 1. La variable aléatoire XX, prenant la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec, suit la loi donnée dans le tableau suivant et appelée loi de Bernoulli de paramètre pp.

xixi 0 1
p(X=xi)p(X=xi) 1p1-p pp
  • Son espérance est : E(X)=pE(X)=p
  • Sa variance est : V(X)=p(1p)V(X)=p(1-p)

Ces propriétés concernant l’espérance et la variance de la loi de Bernoulli se démontrent facilement à l’aide du cours sur les probabilités et des formules générales d’espérance et de variance.

Schéma de Bernoulli

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Définition

Schéma de Bernoulli de paramètres nn et pp :

On appelle schéma de Bernoulli de paramètres nn et pp, avec nn entier naturel non nul et pp réel compris entre 0 et 1, toute expérience aléatoire consistant à répéter nn fois de façon indépendante une même épreuve de Bernoulli de paramètre pp.

Un schéma de Bernoulli est souvent représenté par un arbre pondéré ; un résultat est une liste de nn issues SS ou Sˉ\bar S.

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Exemple

« On dispose d’une urne contenant 7 boules blanches et 3 boules noires. On tire au hasard trois fois de suite avec remise une boule dans cette urne et on s’intéresse au nombre de boules blanches obtenues. »

  • Un tirage représente une épreuve de Bernoulli de paramètre p=710p=\dfrac7{10} puisqu’à chaque tirage on a 7 chances sur 10 de tirer une boule blanche, le tirage s’effectuant avec remise.

  • En répétant 3 fois cette même épreuve de façon indépendante, on obtient donc un schéma de Bernoulli de paramètres n=3 et p=710n=3\text{ et }p=\dfrac{7}{10}.

Loi binomiale

Définition

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Définition

La loi binomiale :

On considère un schéma de Bernoulli constitué de nn épreuves où la probabilité du succès est pp. XX est la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus dans ce schéma.

La loi de probabilité de la variable aléatoire XX est appelée loi binomiale de paramètres nn et pp, que l’on note B(n ; p)B\big(n\ ;\ p\big).

Une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale B(n ; p)B\big(n\ ;\ p\big) prend des valeurs entières de 0 à n.

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Exemple

On dispose d’une urne contenant 7 boules blanches et 3 boules noires. On tire au hasard trois fois de suite avec remise une boule dans cette urne et on s’intéresse au nombre de boules blanches obtenues.

On peut appeler XX le nombre de succès (boules blanches obtenues) ; alors XX prend ses valeurs dans l’ensemble {0 ; 1 ; 2 ; 3}.

  • Comment calculer la probabilité qui correspond à l’événement X=nX=n  :

Sur l’arbre précédent, on peut voir qu’il n’y a qu’une seule ligne qui mène à X=nX=n car dans cet exemple, n=3n =3

  • L’événement (X=n)(X=n) est donc réalisé sur l’unique chemin comportant n succès : p(X=n)=pnp(X=n)=p^n
  • De même, l’événement (X=0)(X=0) est réalisé sur l’unique chemin comportant nn échecs, donc p(X=0)=(1p)np(X=0)=(1-p)^n
  • En s’aidant de l’arbre précédent, on peut calculer plus généralement les probabilités de la variable aléatoire XX.
  • L’événement (X=k)(X=k) est réalisé sur les chemins comportant kk succès et nkn-k échecs. Chacune des issues représentées par ces chemins a une probabilité égale à pk×(1p)nkp^k\times (1-p)^{n-k}.
  • Ainsi, p(X=k)p(X=k) étant la somme des probabilités des issues représentées par ces chemins, on a donc :
  • p(X=k)=(nombre de chemins aˋ k succeˋs)×pk×(1p)nkp(X=k)=(nombre\ de\ chemins\ à\ k\ succès)\times p^k \times (1-p)^{n-k}.
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Exemple

On lance un dé équilibré deux fois de suite. La variable aléatoire XX qui donne le nombre d’apparitions du chiffre 4 suit la loi binomiale B(2 ; 16)B\big(2\ ;\ \dfrac{1}{6}\big).

Voici l’arbre des probabilités traduisant cette expérience aléatoire :

  • p(X=2)=(16)2=136p(X=2)=(\dfrac{1}{6})^2=\dfrac{1}{36} ;
  • p(X=0)=(56)2=2536p(X=0)=(\dfrac{5}{6})^2=\dfrac{25}{36} ;
  • il y a 2 chemins avec exactement 1 succès donc p(X=1)=2×16×56=1036p(X=1)=2\times \dfrac{1}{6}\times\dfrac{5}{6}=\dfrac{10}{36}.
  • On a ainsi établi la loi de probabilité de la variable aléatoire XX

k 0 1 2
p(X=k)p(X=k) 2536\dfrac{25}{36} 1036\dfrac{10}{36} 136\dfrac{1}{36}

Espérance d’une loi binomiale

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Propriété

Soit une variable aléatoire XX qui suit une loi binomiale B(n ; p)B\big(n\ ;\ p\big) L’espérance de XX est égale à n×pn\times p.

Alors : E(X)=npE(X)=np

Dans l’exemple vu juste avant, l’espérance de la variable aléatoire XX est : E(X)=n×p=2×16=13E(X)=n\times p=2\times \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}

Cela signifie qu’en moyenne, en lançant deux fois de suite ce dé un grand nombre de fois, le chiffre 4 apparaîtra une fois sur trois.

Coefficients binomiaux

Définition

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Définition

Coefficient binomial :

Une expérience suit un schéma de Bernoulli de paramètres nn et pp.

kk est un entier tel que 0kn0≤k≤n.

On appelle coefficient binomial le nombre de chemins conduisant à kk succès sur l’arbre représentant cette expérience.

Ce nombre se note (n\k)\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} et se lit « kk parmi nn ».

  • Par convention, on pose (0\0)=1\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=1.

On peut obtenir ces nombres très facilement à l’aide de la calculatrice :

Avec une Ti

Avec une casio

  • Entrer le nombre n choisi ;
  • MATH ;
  • PRB ;
  • Choix n°3 : « nCr » ou « Combinaison » selon la langue utilisée par la calculatrice ;
  • Entrer ;
  • Entrer le nombre k choisi ;
  • ENTRER
  • Entrer le nombre n choisi ;
  • OPTN ;
  • PROB ;
  • nCr
  • Entrer le nombre k choisi ;
  • EXE
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    Propriété

    Une expérience suit un schéma de Bernoulli de paramètres nn et pp.

    kk est un entier tel que 0kn0≤k≤n.

    On a les résultats suivants :

    (n\0)=1\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}=1

    (n\n)=1\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix}=1

    (n\1)=n\begin{pmatrix}n\\1\end{pmatrix}=n

    (n\nk)=(n\k)\begin{pmatrix}n\\n-k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}

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    Exemple

    On dispose d’une urne contenant 7 boules blanches et 3 boules noires. On tire au hasard trois fois de suite avec remise une boule dans cette urne et on s’intéresse au nombre de boules blanches obtenues.

    On peut appeler XX le nombre de succès (boules blanches obtenues) ; alors XX prend ses valeurs dans l’ensemble {0 ; 1 ; 2 ; 3}

    • Il y a 1 chemin comportant exactement 0 succès, donc (3 0)=1\begin{pmatrix} 3\\ 0 \end{pmatrix} =1
    • Il y a 3 chemins comportant exactement 1 succès, donc (3 1)=3\begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix} =3
    • De manière analogue, on trouve (3 2)=3\begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix} =3 et (3 3)=1\begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix} =1

    Lien avec la loi binomiale

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    Propriété

    XX est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n  ;  p)B\big(n\;;\; p\big).

    Pour tout nombre naturel kk tel que 0kn0\leq k\leq n on a :

    p(X=k)=(nk)pk(1p)nkp(X=k)=\begin{pmatrix} n\ k \end{pmatrix}p^k (1-p)^{n-k}

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    Exemple

    On lance 3 fois un dé équilibré à six faces et on considère comme un succès d’obtenir un 6.

    En nommant XX la variable aléatoire donnant le nombre de succès, XX suit une loi binomiale B(3 ; 16)B\big(3\ ;\ \dfrac{1}{6}\big)

    • On peut calculer par exemple p(X=1)p(X=1) :

    p(X=1)=(3 1)×(16)1×(116)31&=(3 1)×(16)1×(56)2&=3×16×2536&=2572\begin{aligned} p(X=1)&=\begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}\times(\dfrac{1}{6})^1\times(1-\dfrac{1}{6})^{3-1}\\&=\begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}\times(\dfrac{1}{6})^1\times(\dfrac{5}{6})^2\\&=3\times\dfrac{1}6\times\dfrac{25}{36}\\&=\dfrac{25}{72}\end{aligned}

    • La probabilité d’obtenir exactement un 6 en trois lancers est de 2572\dfrac{25}{72}
    • L’espérance de la variable aléatoire XX est E(X)=np=3×16=12E(X)=np=3\times\dfrac{1}6=\dfrac{1}2