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Épreuve de Bernoulli et loi binomiale

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Introduction :

Ce cours est fortement en lien avec celui sur les probabilités et notamment avec la partie sur la répétition d’expériences identiques et indépendantes, tu peux donc, si besoin, revoir la vidéo correspondante.

Nous commencerons cette leçon avec les définitions d’une épreuve et d’un schéma de Bernoulli puis nous parlerons des coefficients binomiaux et du triangle de Pascal, enfin, nous terminerons par la définition et les propriétés de la loi binomiale.

Épreuve et schéma de Bernoulli

Épreuve de Bernoulli

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Définition

Épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ :

On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre $p$, toute expérience admettant deux issues exactement :

  • l’une appelée « succès » notée $S$, dont la probabilité est $p$ ;
  • l’autre appelée « échec » notée $\bar S$, dont la probabilité est $1-p$.

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Exemple

On lance un dé cubique équilibré et on s’intéresse au succès « obtenir un 6 ». Alors la probabilité du succès est $p(S)=\dfrac16$ et la probabilité de l’échec est $p(\bar S )=\dfrac56$.

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Propriété

On considère une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ ($p$ est un réel compris entre 0 et 1. La variable aléatoire $X$, prenant la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec, suit la loi donnée dans le tableau suivant et appelée loi de Bernoulli de paramètre $p$.

$x_i$ 0 1
$p(X=x_i)$ $1-p$ $p$

Ces propriétés concernant l’espérance et la variance de la loi de Bernoulli se démontrent facilement à l’aide du cours sur les probabilités et des formules générales d’espérance et de variance.

Schéma de Bernoulli

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Définition

Schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ :

On appelle schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$, avec $n$ entier naturel non nul et $p$ réel compris entre 0 et 1, toute expérience aléatoire consistant à répéter $n$ fois de façon indépendante une même épreuve de Bernoulli de paramètre $p$.

Un schéma de Bernoulli est souvent représenté par un arbre pondéré ; un résultat est une liste de $n$ issues $S$ ou $\bar S$.

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Exemple

« On dispose d’une urne contenant 7 boules blanches et 3 boules noires. On tire au hasard trois fois de suite avec remise une boule dans cette urne et on s’intéresse au nombre de boules blanches obtenues. »

  • Un tirage représente une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=\dfrac7{10}$ puisqu’à chaque tirage on a 7 chances sur 10 de tirer une boule blanche, le tirage s’effectuant avec remise.

  • En répétant 3 fois cette même épreuve de façon indépendante, on obtient donc un schéma de Bernoulli de paramètres $n=3\text{ et }p=\dfrac{7}{10}$.

Loi binomiale

Définition

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Définition

La loi binomiale :

On considère un schéma de Bernoulli constitué de $n$ épreuves où la probabilité du succès est $p$. $X$ est la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus dans ce schéma.

La loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ est appelée loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, que l’on note $B\big(n\ ;\ p\big)$.

Une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale $B\big(n\ ;\ p\big)$ prend des valeurs entières de 0 à n.

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Exemple

On dispose d’une urne contenant 7 boules blanches et 3 boules noires. On tire au hasard trois fois de suite avec remise une boule dans cette urne et on s’intéresse au nombre de boules blanches obtenues.

On peut appeler $X$ le nombre de succès (boules blanches obtenues) ; alors $X$ prend ses valeurs dans l’ensemble {0 ; 1 ; 2 ; 3}.

  • Comment calculer la probabilité qui correspond à l’événement $X=n$  :

Sur l’arbre précédent, on peut voir qu’il n’y a qu’une seule ligne qui mène à $X=n$ car dans cet exemple, $n =3$

  • L’événement $(X=n)$ est donc réalisé sur l’unique chemin comportant n succès : $p(X=n)=p^n$
  • De même, l’événement $(X=0)$ est réalisé sur l’unique chemin comportant $n$ échecs, donc $p(X=0)=(1-p)^n$
  • En s’aidant de l’arbre précédent, on peut calculer plus généralement les probabilités de la variable aléatoire $X$.
  • L’événement $(X=k)$ est réalisé sur les chemins comportant $k$ succès et $n-k$ échecs. Chacune des issues représentées par ces chemins a une probabilité égale à $p^k\times (1-p)^{n-k}$.
  • Ainsi, $p(X=k)$ étant la somme des probabilités des issues représentées par ces chemins, on a donc :
  • $p(X=k)=(nombre\ de\ chemins\ à\ k\ succès)\times p^k \times (1-p)^{n-k}$.
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Exemple

On lance un dé équilibré deux fois de suite. La variable aléatoire $X$ qui donne le nombre d’apparitions du chiffre 4 suit la loi binomiale $B\big(2\ ;\ \dfrac{1}{6}\big)$.

Voici l’arbre des probabilités traduisant cette expérience aléatoire :

  • $p(X=2)=(\dfrac{1}{6})^2=\dfrac{1}{36}$ ;
  • $p(X=0)=(\dfrac{5}{6})^2=\dfrac{25}{36}$ ;
  • il y a 2 chemins avec exactement 1 succès donc $p(X=1)=2\times \dfrac{1}{6}\times\dfrac{5}{6}=\dfrac{10}{36}$.
  • On a ainsi établi la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$

k 0 1 2
$p(X=k)$ $\dfrac{25}{36}$ $\dfrac{10}{36}$ $\dfrac{1}{36}$

Espérance d’une loi binomiale

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Propriété

Soit une variable aléatoire $X$ qui suit une loi binomiale $B\big(n\ ;\ p\big)$ L’espérance de $X$ est égale à $n\times p$.

Alors : $E(X)=np$

Dans l’exemple vu juste avant, l’espérance de la variable aléatoire $X$ est : $E(X)=n\times p=2\times \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}$

Cela signifie qu’en moyenne, en lançant deux fois de suite ce dé un grand nombre de fois, le chiffre 4 apparaîtra une fois sur trois.

Coefficients binomiaux

Définition

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Définition

Coefficient binomial :

Une expérience suit un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$.

$k$ est un entier tel que $0≤k≤n$.

On appelle coefficient binomial le nombre de chemins conduisant à $k$ succès sur l’arbre représentant cette expérience.

Ce nombre se note $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$ et se lit « $k$ parmi $n$ ».

  • Par convention, on pose $\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=1$.

On peut obtenir ces nombres très facilement à l’aide de la calculatrice :

Avec une Ti

Avec une casio

  • Entrer le nombre n choisi ;
  • MATH ;
  • PRB ;
  • Choix n°3 : « nCr » ou « Combinaison » selon la langue utilisée par la calculatrice ;
  • Entrer ;
  • Entrer le nombre k choisi ;
  • ENTRER
  • Entrer le nombre n choisi ;
  • OPTN ;
  • PROB ;
  • nCr
  • Entrer le nombre k choisi ;
  • EXE
  • bannière propriete

    Propriété

    Une expérience suit un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$.

    $k$ est un entier tel que $0≤k≤n$.

    On a les résultats suivants :

    $\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}=1$

    $\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix}=1$

    $\begin{pmatrix}n\\1\end{pmatrix}=n$

    $\begin{pmatrix}n\\n-k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$

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    Exemple

    On dispose d’une urne contenant 7 boules blanches et 3 boules noires. On tire au hasard trois fois de suite avec remise une boule dans cette urne et on s’intéresse au nombre de boules blanches obtenues.

    On peut appeler $X$ le nombre de succès (boules blanches obtenues) ; alors $X$ prend ses valeurs dans l’ensemble {0 ; 1 ; 2 ; 3}

    • Il y a 1 chemin comportant exactement 0 succès, donc $\begin{pmatrix} 3\\ 0 \end{pmatrix} =1$
    • Il y a 3 chemins comportant exactement 1 succès, donc $\begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix} =3$
    • De manière analogue, on trouve $\begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix} =3$ et $\begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix} =1$

    Lien avec la loi binomiale

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    Propriété

    $X$ est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $B\big(n\;;\; p\big)$.

    Pour tout nombre naturel $k$ tel que $0\leq k\leq n$ on a :

    $p(X=k)=\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}p^k (1-p)^{n-k}$

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    Exemple

    On lance 3 fois un dé équilibré à six faces et on considère comme un succès d’obtenir un 6.

    En nommant $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de succès, $X$ suit une loi binomiale $B\big(3\ ;\ \dfrac{1}{6}\big)$

    • On peut calculer par exemple $p(X=1)$ :

    $\begin{aligned} p(X=1)&=\begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}\times(\dfrac{1}{6})^1\times(1-\dfrac{1}{6})^{3-1}\\&=\begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}\times(\dfrac{1}{6})^1\times(\dfrac{5}{6})^2\\&=3\times\dfrac{1}6\times\dfrac{25}{36}\\&=\dfrac{25}{72}\end{aligned}$

    • La probabilité d’obtenir exactement un 6 en trois lancers est de $\dfrac{25}{72}$
    • L’espérance de la variable aléatoire $X$ est $E(X)=np=3\times\dfrac{1}6=\dfrac{1}2$