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Épreuve de Bernoulli et loi binomiale

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  • On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre pp, toute expérience admettant deux issues exactement :
  • l’une appelée « succès » notée SS, dont la probabilité est pp ;
  • l’autre appelée « échec » notée Sˉ\bar S, dont la probabilité est 1p1-p.
  • On considère une épreuve de Bernoulli où la probabilité du succès est p.p. XX est la variable aléatoire qui prend la valeur 11 en cas de succès et 00 en cas d’échec. La loi de probabilité de XX, présentée dans le tableau ci-contre, est appelée loi de Bernoulli de paramètre pp.

 xixi 0 1
 p(X=xi)p(X=xi)  1p1-p  pp
  • On appelle schéma de Bernoulli de paramètres nn et pp, avec nn entier naturel non nul et pp réel compris entre 00 et 11, toute expérience aléatoire consistant à répéter nn fois de façon indépendante une même épreuve de Bernoulli de paramètre pp.

Une expérience suit un schéma de Bernoulli de paramètres nn et pp. kk est un entier tel que 0kn0 \leq k \leq n.

  • On appelle coefficient binomial le nombre de chemins conduisant à kk succès sur l’arbre représentant cette expérience.
    Ce nombre se note (n\k)\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} et se lit « kk parmi nn ».

Les propriétés des coefficients binomiaux :

(0\0)=1\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=1 (n\0)=1\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}=1 (n\n)=1\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix}=1 (n\1)=n\begin{pmatrix}n\\1\end{pmatrix}=n

  • On considère un schéma de Bernoulli de paramètres nn et pp (avec nn entier naturel non nul et pp un réel compris entre 00 et 11) et XX la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus dans ce schéma.
    On dit alors que XX suit la loi binomiale de paramètres nn et pp, que l’on note B(n;p)B(n ;p).

La loi de la variable aléatoire XX est donnée, pour tout entier kk compris entre 00 et nn, par :

p(X=k)=(n\k)pk(1p)nkp(X=k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} p^k (1-p)^{n-k}

  • Soit une variable aléatoire XX qui suit une loi binomiale B(n;p)B(n ;p).
    L’espérance de XX est égale à n×pn \times p.
    Alors :

E(X)=npE(X)=np