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Épreuve de Bernoulli et loi binomiale

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  • On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre $p$, toute expérience admettant deux issues exactement :
  • l’une appelée « succès » notée $S$, dont la probabilité est $p$ ;
  • l’autre appelée « échec » notée $\bar S$, dont la probabilité est $1-p$.
  • On considère une épreuve de Bernoulli où la probabilité du succès est $p.$ $X$ est la variable aléatoire qui prend la valeur $1$ en cas de succès et $0$ en cas d’échec. La loi de probabilité de $X$, présentée dans le tableau ci-contre, est appelée loi de Bernoulli de paramètre $p$.

 $x_i$ 0 1
 $p(X=x_i)$  $1-p$  $p$
  • On appelle schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$, avec $n$ entier naturel non nul et $p$ réel compris entre $0$ et $1$, toute expérience aléatoire consistant à répéter $n$ fois de façon indépendante une même épreuve de Bernoulli de paramètre $p$.

Une expérience suit un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$. $k$ est un entier tel que $0 \leq k \leq n$.

  • On appelle coefficient binomial le nombre de chemins conduisant à $k$ succès sur l’arbre représentant cette expérience.
    Ce nombre se note $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$ et se lit « $k$ parmi $n$ ».

Les propriétés des coefficients binomiaux :

$\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=1$ $\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}=1$ $\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix}=1$ $\begin{pmatrix}n\\1\end{pmatrix}=n$

  • On considère un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ (avec $n$ entier naturel non nul et $p$ un réel compris entre $0$ et $1$) et $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus dans ce schéma.
    On dit alors que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, que l’on note $B(n ;p)$.

La loi de la variable aléatoire $X$ est donnée, pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n$, par :

$$p(X=k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} p^k (1-p)^{n-k}$$

  • Soit une variable aléatoire $X$ qui suit une loi binomiale $B(n ;p)$.
    L’espérance de $X$ est égale à $n \times p$.
    Alors :

$$E(X)=np$$