Lois à densité : Résumé et révision - Mathématiques

Notion de loi à densité

Soit une fonction $f$ sur un intervalle $I=[a\ ;\, b]$ de $\mathbb R$ .
On dit que $f$ est une densité de probabilité, aussi appelée fonction de densité, sur $I$ , si :
$f$ est continue et positive sur $I$ ;
l’aire (en unité d’aire) du domaine compris entre l’axe des abscisses et la courbe représentative de $f$ sur l’intervalle $I$ est égale à $1$ ; autrement dit, l’intégrale de $f$ sur $I$ est égale à $1$ :

$\int_a^b f(x) \text dx=1$

Fonction de densité

L’intervalle $I$ peut être non borné, comme par exemple $[a\ ;\, +\infty[$ ( $a$ réel). Nous notons alors :

$\lim\limits$

Soit $f$ une densité de probabilité sur un intervalle $I=[a\ ;\, b]$ .
La variable aléatoire $X$ suit la loi de densité de probabilité $f$ sur $I$ si, pour tout intervalle $[c\ ;\, d]$ inclus dans $I$ , la probabilité que $X$ soit compris dans cet intervalle, autrement dit : $p(X\in [c\ ;\, d])$ , est égale à l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe représentative de $f$ et les droites d’équations $x=c$ et $x=d$ :

$\begin{aligned} p(X\in [c\ ;\, d])&=p(c\leq X \leq d) \ &=\int_{c}^{d} f(x) \text dx \end{aligned}$

Fonction de densité et probabilité

$p(c \leq X\leq d)= p(c < X\leq d)= p(c \leq X< d)= p(c < X< d)$

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi de densité $f$ sur $I=[a\ ;\, b]$ .
On appelle fonction de répartition de la variable $X$ la fonction $F$ , définie sur $\mathbb R$ par :

$F(x)=p(X\leq x)$

Elle est la primitive de $f$ sur l’intervalle $[a\ ;\, b]$ qui s’annule en $a$ et nous avons, pour tous $c$ et $d$ de $I$ tels que $c\leq d$ :

$\begin{aligned} p(c\leq X\leq d) &=p(X\leq d)-p(X\leq c) \ &=F(d)-F(c) \end{aligned}$

Espérance	$E(X)=\int$
Variance	$V(X)=\inta^b \big(x-E(X)\big)^2 f(x) \text{d}x$

Loi uniforme $U([a\ ;\,b])$ , avec $a$ et $b$ des réels tels que $a < b$
Fonction de densité $f$	$\begin{aligned} &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour tout $x\in [a\ ;\,b]$ :}}} \ &f(x)=\dfrac 1{b-a} \end{aligned}$
Fonction de répartition $F$	$\begin{aligned} &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour tout $x\in \mathbb R$ :}}} \ &\begin{cases} F(x) = 0 & \textcolor{#A9A9A9}{\text{si\ } x < a } \ F(x)=\dfrac{x-a}{b-a} & \textcolor{#A9A9A9}{\text{si\ }x\in [a\ ;\, b]} \ F(x)=1 & \textcolor{#A9A9A9}{\text{si\ }x > b} \end{cases} \end{aligned}$
Propriété	$\begin{aligned} &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour tous réels $c$ et $d$ de $[a\ ;\, b]$}}} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{tels que $ c \leq d$ :}}} \ &p(c\leq X\leq d)=\dfrac{d-c}{b-a} \end{aligned}$
Espérance	$E(X)=\dfrac{a+b}{2}$
Variance	$V(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}$
Écart-type	$\sigma(X)=\dfrac{b-a}{2 \sqrt{3}}$

Loi uniforme et probabilité

Loi exponentielle de paramètre $\lambda$ , avec $\lambda$ réel strictement positif
Fonction de densité $f$	$\begin{aligned} &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour tout $x\in [0\ ;\,+\infty[$ :}}} \ & f(x)=\lambda \text{e}^{-\lambda x} \end{aligned}$
Fonction de répartition $F$	$\begin{aligned} &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour tout $x\in \mathbb R$ :}}} \ &\begin{cases} F(x) = 0 & \textcolor{#A9A9A9}{\text{si\ } x < 0 } \ F(x)=1-\text{e}^{-\lambda x} & \textcolor{#A9A9A9}{\text{si\ }x\geq 0 } \end{cases} \end{aligned}$
Propriétés	$\begin{aligned} &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour tous réels $c$ et $d$ tels que $0\leq c < d$ :}}} \ &p(X\leq c)=1-\text{e}^{-\lambda c} \ &p(X\geq c)= \text{e}^{-\lambda c} \ &p(c\leq X \leq d)= \text{e}^{-\lambda c}-\text{e}^{-\lambda d} \end{aligned}$
Propriétés	$\begin{aligned} &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour tous réels positifs $x$ et $h$ :}}} \ & p_{X\geq x}(X\geq x+h)=p(X\geq h) \end{aligned}$
Espérance	$E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$
Variance	$V(X)=\dfrac{1}{\lambda^2}$
Écart-type	$\sigma(X)=\dfrac{1}{\lambda}$

Loi exponentielle et probabilité

Soit une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ sur $[0\ ;\, +\infty[$ .
On appelle demi-vie la durée $D$ telle que la probabilité que $X$ soit inférieur ou égal à $D$ est égale à la probabilité que $X$ soit supérieur ou égal à $D$ , soit :

$p(0\leq X\leq D)=p(X\geq D)=\dfrac 12$

$D=\dfrac{\ln{(2)}}{\lambda}$