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Lois à densité

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Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2022. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des épreuves ou des coefficients des matières … 💪

Notion de loi à densité

  • Soit une fonction ff sur un intervalle I=[a ;b]I=[a\ ;\, b] de R\mathbb R.
  • On dit que ff est une densité de probabilité, aussi appelée fonction de densité, sur II, si :
  • ff est continue et positive sur II ;
  • l’aire (en unité d’aire) du domaine compris entre l’axe des abscisses et la courbe représentative de ff sur l’intervalle II est égale à 11 ; autrement dit, l’intégrale de ff sur II est égale à 11 :

abf(x)dx=1\int_a^b f(x) \text dx=1

Fonction de densité Fonction de densité

  • L’intervalle II peut être non borné, comme par exemple [a ;+[[a\ ;\, +\infty[ (aa réel). Nous notons alors :

limb+abf(x)dx=1\lim\limits{b \to +\infty} \int{a}^{b} f(x) \text d x=1

  • Soit ff une densité de probabilité sur un intervalle I=[a ;b]I=[a\ ;\, b].
  • La variable aléatoire XX suit la loi de densité de probabilité ff sur II si, pour tout intervalle [c ;d][c\ ;\, d] inclus dans II, la probabilité que XX soit compris dans cet intervalle, autrement dit : p(X[c ;d])p(X\in [c\ ;\, d]), est égale à l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe représentative de ff et les droites d’équations x=cx=c et x=dx=d :

p(X[c ;d])=p(cXd)=cdf(x)dx\begin{aligned} p(X\in [c\ ;\, d])&=p(c\leq X \leq d) \ &=\int_{c}^{d} f(x) \text dx \end{aligned}

Fonction de densité et probabilité Fonction de densité et probabilité

  • Nous avons aussi :

p(cXd)=p(c<Xd)=p(cX<d)=p(c<X<d)p(c \leq X\leq d)= p(c < X\leq d)= p(c \leq X< d)= p(c < X< d)

  • Soit XX une variable aléatoire qui suit la loi de densité ff sur I=[a ;b]I=[a\ ;\, b].
  • On appelle fonction de répartition de la variable XX la fonction FF, définie sur R\mathbb R par :

F(x)=p(Xx)F(x)=p(X\leq x)

  • Elle est la primitive de ff sur l’intervalle [a ;b][a\ ;\, b] qui s’annule en aa et nous avons, pour tous cc et dd de II tels que cdc\leq d :

p(cXd)=p(Xd)p(Xc)=F(d)F(c)\begin{aligned} p(c\leq X\leq d) &=p(X\leq d)-p(X\leq c) \ &=F(d)-F(c) \end{aligned}

  • Ses indicateurs sont donnés par les formules :

Espérance E(X)=abxf(x)dxE(X)=\inta^b x f(x) \text{d}x
Variance V(X)=ab(xE(X))2f(x)dxV(X)=\inta^b \big(x-E(X)\big)^2 f(x) \text{d}x

Loi uniforme sur un intervalle [a ;b][a\ ;\, b]

Loi uniforme U([a ;b])U([a\ ;\,b]), avec aa et bb des réels tels que a<ba < b
Fonction de densité ff Pour tout x[a ;b] :f(x)=1ba\begin{aligned} &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour tout $x\in [a\ ;\,b]$ :}}} \ &f(x)=\dfrac 1{b-a} \end{aligned}
Fonction de répartition FF Pour tout xR :{F(x)=0si x<aF(x)=xabasi x[a ;b]F(x)=1si x>b\begin{aligned} &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour tout $x\in \mathbb R$ :}}} \ &\begin{cases} F(x) = 0 & \textcolor{#A9A9A9}{\text{si\ } x < a } \ F(x)=\dfrac{x-a}{b-a} & \textcolor{#A9A9A9}{\text{si\ }x\in [a\ ;\, b]} \ F(x)=1 & \textcolor{#A9A9A9}{\text{si\ }x > b} \end{cases} \end{aligned}
Propriété Pour tous reˊels c et d de [a ;b]tels que cd :p(cXd)=dcba\begin{aligned} &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour tous réels $c$ et $d$ de $[a\ ;\, b]$}}} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{tels que $ c \leq d$ :}}} \ &p(c\leq X\leq d)=\dfrac{d-c}{b-a} \end{aligned}
Espérance E(X)=a+b2E(X)=\dfrac{a+b}{2}
Variance V(X)=(ba)212V(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}
Écart-type σ(X)=ba23\sigma(X)=\dfrac{b-a}{2 \sqrt{3}}

Loi uniforme et probabilité Loi uniforme et probabilité

Loi exponentielle

Loi exponentielle de paramètre λ\lambda, avec λ\lambda réel strictement positif
Fonction de densité ff Pour tout x[0 ;+[ :f(x)=λeλx\begin{aligned} &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour tout $x\in [0\ ;\,+\infty[$ :}}} \ & f(x)=\lambda \text{e}^{-\lambda x} \end{aligned}
Fonction de répartition FF Pour tout xR :{F(x)=0si x<0F(x)=1eλxsi x0\begin{aligned} &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour tout $x\in \mathbb R$ :}}} \ &\begin{cases} F(x) = 0 & \textcolor{#A9A9A9}{\text{si\ } x < 0 } \ F(x)=1-\text{e}^{-\lambda x} & \textcolor{#A9A9A9}{\text{si\ }x\geq 0 } \end{cases} \end{aligned}
Propriétés Pour tous reˊels c et d tels que 0c<d :p(Xc)=1eλcp(Xc)=eλcp(cXd)=eλceλd\begin{aligned} &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour tous réels $c$ et $d$ tels que $0\leq c < d$ :}}} \ &p(X\leq c)=1-\text{e}^{-\lambda c} \ &p(X\geq c)= \text{e}^{-\lambda c} \ &p(c\leq X \leq d)= \text{e}^{-\lambda c}-\text{e}^{-\lambda d} \end{aligned}
Pour tous reˊels positifs x et h :pXx(Xx+h)=p(Xh)\begin{aligned} &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour tous réels positifs $x$ et $h$ :}}} \ & p_{X\geq x}(X\geq x+h)=p(X\geq h) \end{aligned}
Espérance E(X)=1λE(X)=\dfrac{1}{\lambda}
Variance V(X)=1λ2V(X)=\dfrac{1}{\lambda^2}
Écart-type σ(X)=1λ\sigma(X)=\dfrac{1}{\lambda}

Loi exponentielle et probabilité Loi exponentielle et probabilité

  • Soit une variable aléatoire XX qui suit une loi exponentielle de paramètre λ\lambda sur [0 ;+[[0\ ;\, +\infty[.
  • On appelle demi-vie la durée DD telle que la probabilité que XX soit inférieur ou égal à DD est égale à la probabilité que XX soit supérieur ou égal à DD, soit :

p(0XD)=p(XD)=12p(0\leq X\leq D)=p(X\geq D)=\dfrac 12

  • Et nous avons :

D=ln(2)λ D=\dfrac{\ln{(2)}}{\lambda}