Lois à densité
Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2024. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des dates du bac 2024 ou des coefficients des matières … 💪
Notion de loi à densité
Notion de loi à densité
- Soit une fonction $f$ sur un intervalle $I=[a\ ;\, b]$ de $\mathbb R$.
- On dit que $f$ est une densité de probabilité, aussi appelée fonction de densité, sur $I$, si :
- $f$ est continue et positive sur $I$ ;
- l’aire (en unité d’aire) du domaine compris entre l’axe des abscisses et la courbe représentative de $f$ sur l’intervalle $I$ est égale à $1$ ; autrement dit, l’intégrale de $f$ sur $I$ est égale à $1$ :
$$\int_a^b f(x) \text dx=1$$
Fonction de densité
- L’intervalle $I$ peut être non borné, comme par exemple $[a\ ;\, +\infty[$ ($a$ réel). Nous notons alors :
$$\lim\limits_{b \to +\infty} \int_{a}^{b} f(x) \text d x=1$$
- Soit $f$ une densité de probabilité sur un intervalle $I=[a\ ;\, b]$.
- La variable aléatoire $X$ suit la loi de densité de probabilité $f$ sur $I$ si, pour tout intervalle $[c\ ;\, d]$ inclus dans $I$, la probabilité que $X$ soit compris dans cet intervalle, autrement dit : $p(X\in [c\ ;\, d])$, est égale à l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe représentative de $f$ et les droites d’équations $x=c$ et $x=d$ :
$$\begin{aligned} p(X\in [c\ ;\, d])&=p(c\leq X \leq d) \\ &=\int_{c}^{d} f(x) \text dx \end{aligned}$$
Fonction de densité et probabilité
- Nous avons aussi :
$$p(c \leq X\leq d)= p(c < X\leq d)= p(c \leq X< d)= p(c < X< d)$$
- Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi de densité $f$ sur $I=[a\ ;\, b]$.
- On appelle fonction de répartition de la variable $X$ la fonction $F$, définie sur $\mathbb R$ par :
$$F(x)=p(X\leq x)$$
- Elle est la primitive de $f$ sur l’intervalle $[a\ ;\, b]$ qui s’annule en $a$ et nous avons, pour tous $c$ et $d$ de $I$ tels que $c\leq d$ :
$$\begin{aligned} p(c\leq X\leq d) &=p(X\leq d)-p(X\leq c) \\ &=F(d)-F(c) \end{aligned}$$
- Ses indicateurs sont donnés par les formules :
| Espérance | $$E(X)=\int_a^b x f(x) \text{d}x$$ |
| Variance | $$V(X)=\int_a^b \big(x-E(X)\big)^2 f(x) \text{d}x$$ |
Loi uniforme sur un intervalle $[a\ ;\, b]$
Loi uniforme sur un intervalle $[a\ ;\, b]$
| Loi uniforme $U([a\ ;\,b])$, avec $a$ et $b$ des réels tels que $a < b$ | |
| Fonction de densité $f$ | $$\begin{aligned} &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour tout $x\in [a\ ;\,b]$ :}}} \\ &f(x)=\dfrac 1{b-a} \end{aligned}$$ |
| Fonction de répartition $F$ | $$\begin{aligned} &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour tout $x\in \mathbb R$ :}}} \\ &\begin{cases} F(x) = 0 & \textcolor{#A9A9A9}{\text{si\ } x < a } \\ F(x)=\dfrac{x-a}{b-a} & \textcolor{#A9A9A9}{\text{si\ }x\in [a\ ;\, b]} \\ F(x)=1 & \textcolor{#A9A9A9}{\text{si\ }x > b} \end{cases} \end{aligned}$$ |
| Propriété | $$\begin{aligned} &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour tous réels $c$ et $d$ de $[a\ ;\, b]$}}} \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{tels que $ c \leq d$ :}}} \\ &p(c\leq X\leq d)=\dfrac{d-c}{b-a} \end{aligned}$$ |
| Espérance | $$E(X)=\dfrac{a+b}{2}$$ |
| Variance | $$V(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}$$ |
| Écart-type | $$\sigma(X)=\dfrac{b-a}{2 \sqrt{3}}$$ |
Loi uniforme et probabilité
Loi exponentielle
Loi exponentielle
| Loi exponentielle de paramètre $\lambda$, avec $\lambda$ réel strictement positif | |
| Fonction de densité $f$ | $$\begin{aligned} &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour tout $x\in [0\ ;\,+\infty[$ :}}} \\ & f(x)=\lambda \text{e}^{-\lambda x} \end{aligned}$$ |
| Fonction de répartition $F$ | $$\begin{aligned} &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour tout $x\in \mathbb R$ :}}} \\ &\begin{cases} F(x) = 0 & \textcolor{#A9A9A9}{\text{si\ } x < 0 } \\ F(x)=1-\text{e}^{-\lambda x} & \textcolor{#A9A9A9}{\text{si\ }x\geq 0 } \end{cases} \end{aligned}$$ |
| Propriétés | $$\begin{aligned} &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour tous réels $c$ et $d$ tels que $0\leq c < d$ :}}} \\ &p(X\leq c)=1-\text{e}^{-\lambda c} \\ &p(X\geq c)= \text{e}^{-\lambda c} \\ &p(c\leq X \leq d)= \text{e}^{-\lambda c}-\text{e}^{-\lambda d} \end{aligned}$$ |
| $$\begin{aligned} &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour tous réels positifs $x$ et $h$ :}}} \\ & p_{X\geq x}(X\geq x+h)=p(X\geq h) \end{aligned}$$ | |
| Espérance | $$E(X)=\dfrac{1}{\lambda} $$ |
| Variance | $$V(X)=\dfrac{1}{\lambda^2}$$ |
| Écart-type | $$\sigma(X)=\dfrac{1}{\lambda}$$ |
Loi exponentielle et probabilité
- Soit une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ sur $[0\ ;\, +\infty[$.
- On appelle demi-vie la durée $D$ telle que la probabilité que $X$ soit inférieur ou égal à $D$ est égale à la probabilité que $X$ soit supérieur ou égal à $D$, soit :
$$p(0\leq X\leq D)=p(X\geq D)=\dfrac 12$$
- Et nous avons :
$$ D=\dfrac{\ln{(2)}}{\lambda}$$