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Modélisation d’un mouvement

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Vitesse et accélération

  • Vecteur vitesse
  • La vitesse instantanée d’un système est égale à la dérivée, par-rapport au temps, de son vecteur position. Elle est définie à tout instant tt de l’étude du mouvement du système : v(t)=dOMdt(t)\vec{v}(t)=\dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt}(t)
  • Vecteur accélération
  • L’accélération instantanée d’un système est égale à la dérivée, par-rapport au temps, de son vecteur vitesse instantanée. Elle est définie à tout instant tt de l’étude du mouvement du système : a(t)=dvdt(t)\vec{a}(t)=\dfrac{d\vec{v}}{dt}(t)
  • Expressions dans un repère cartésien

Vecteur position Vecteur vitesse instantanée Vecteur accélération instantanée
(x(t)y(t))\begin{pmatrix} x(t) \ y(t) \end{pmatrix} (vx(t)=dxdt=x˙vy(t)=dydt=y˙)\begin{pmatrix} v{x}(t) = \dfrac{dx}{dt} = \dot{x} \ \ v{y}(t) =\dfrac{dy}{dt} = \dot{y} \end{pmatrix} (ax(t)=dvxdt=x¨ay(t)=dvydt=y¨) \begin{pmatrix} a{x}(t) = \dfrac{dv{x}}{dt} = \ddot{x} \ \ a{y}(t) = \dfrac{dv{y}}{dt} = \ddot{y} \end{pmatrix}

Mouvements rectilignes

  • Un système en mouvement rectiligne uniforme est caractérisé par :
  • un vecteur vitesse constant ;
  • un vecteur accélération égal au vecteur nul.
  • Un système en mouvement rectiligne uniformément accéléré ne subit aucun changement de trajectoire, il est caractérisé par :
  • une valeur de sa vitesse qui varie toujours dans le même sens, et augmente uniformément au cours du temps ;
  • un vecteur accélération constant et parallèle à la trajectoire.

Mouvements circulaires

  • Un système en mouvement circulaire uniforme est caractérisé par :
  • une trajectoire circulaire :
  • une vitesse dont la valeur est constante ;
  • un vecteur accélération perpendiculaire à son vecteur vitesse, et de norme constante.
  • Repère de Frenet
  • Le repère de Frenet n’est pas fixe, car il « suit » le mouvement.
  • Le centre du repère du Frenet est le point matériel représentant le système étudié. Les deux vecteurs unitaires définissant ses axes sont :
  • le vecteur tangent T\vec{T}, parallèle à la vitesse et de même sens ;
  • le vecteur normal N\vec{N}, perpendiculaire à T\vec{T} et dirigé vers le centre de courbure de la trajectoire, au point considéré.

Alt texte

  • Le système étudié suit une trajectoire circulaire de rayon RR. Dans le repère de Frenet, ses vecteurs vitesse et accélération s’écrivent :

v=vT\vec{v} = || \vec{v} || \cdot \vec{T} a=dvdtT+v2RN\vec{a} = \frac{dv}{dt} \vec{T} + \frac{v^2}{R} \vec{N}