Cours : Calculer une moyenne et une moyenne pondérée

Dans cette série statistique :

• la population étudiée est une classe de 5^e ;
• le caractère étudié est le nombre d'heures de sport effectuées ;
• c'est un caractère quantitatif ;
• les valeurs possibles du caractère sont toutes les valeurs comprises entre $0$ et $5$ heures.
• les données sont toutes les réponses recueillies.
• l'effectif total est le nombre d'élèves interrogés, soit $25$.

Par exemple, l'effectif de la valeur « $2$ » est $5$.

• « $2$ » apparaît $5$ fois dans la liste, donc $5$ élèves font $2$ heures de sport par semaine.

Sa fréquence est : $\dfrac{\text{Effectif de la valeur “2”}}{\text{Effectif total}}=\dfrac{5}{25}=0,2=20\ \%$

• $20\ \%$ des élèves de cette classe font $2$ heures de sport par semaine.

Si nous effectuons les mêmes calculs pour toutes les valeurs de la série, nous obtenons les résultats que nous pouvons regrouper dans le tableau ci-dessous :

Ici, le calcul de la moyenne donne :

$\begin{aligned}\small \text{M}&=\tiny \frac{2 + 4 + 0 + 0,5 + 1,5 + 2 + 2,5 + 3 + 2,5 + 0 + 0,75 + 4 + 5 + 3 + 1,5 + 1 + 2 + 3,5 + 1,5 + 1 + 2,5 + 3,5 + 2 + 2,5 + 2}{25}\ \small \text{M}&\small=\frac{53,75}{25}\ \small \text{M}&\small=2,15\end{aligned}$

• Ce qui signifie qu'en moyenne, un élève de cette classe de 5^e fait $2,15$ heures de sport par semaine.

Ici :

• la valeur $\red 0$ est pondérée par $\purple 2$ (autrement dit, la valeur $\red 0$ apparaît $\purple 2$ fois),
• la valeur $\blue {1,5}$ est pondérée par $\purple 3$ (autrement dit, la valeur $\blue {1,5}$ apparaît $\purple 3$ fois),
• la valeur $\green 4$ est pondérée par $\purple 2$ (autrement dit, la valeur $\green 4$ apparaît $\purple 2$ fois)…

Les valeurs pondérées correspondantes sont donc respectivement :

• $\red{0}\purple{\times2}$
• $\blue{1,5}\purple{\times3}$
• $\green 4\purple{\times2}$.

On fait de même pour toutes les valeurs.
Ainsi, le calcul de la moyenne pondérée donne :

$\begin{aligned}\small\text{M}&=\tiny\frac{0\times2+0,5\times1+0,75\times1+1\times2+1,5\times3+2\times5+2,5\times4+3\times2+3,5\times2+4\times2+5\times1}{25}\ \small\text{M}&\small=\dfrac{0,5+0,75+2+4,5+10+10+6+7+8+5}{25}\ \small\text{M}&\small=\dfrac{53,75}{25}\ \small\text{M}&\small=2,15\end{aligned}$

• Nous obtenons bien évidemment la même valeur que celle obtenue pour la moyenne : $2,15$.

Si on regroupe les données de notre étude par classes d'intervalle $1$, voici le tableau des effectifs (les fréquences n'intervenant pas dans le calcul des moyennes) que nous obtenons :

En prenant pour valeurs le centre de chaque intervalle, notre tableau des effectifs devient :

Le calcul de la moyenne des classes centrées est alors un calcul de moyenne pondérée qui donne :

$\begin{aligned}\small\text{M}&=\small\frac{0,5\times 4+1,5\times 5+2,5\times 9+3,5\times 4+4,5\times 3}{25}\ \small\text{M}&= \frac{2+7,5+22,5+14+13,5}{25}\ \small\text{M}&= \frac{59,5}{25}\ \small\text{M}&=2,38\end{aligned}$

• La moyenne des classes centrées est donc égale à $2,38$ heures de sport par semaine.