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Introduction :
Lorsque le caractère étudié lors d'une enquête ou d'une série de mesures est quantitatif, différentes caractéristiques permettent d'avoir une vue d'ensemble de la série statistique pour interpréter des résultats ou pour comparer des séries entre elles. La moyenne est une de ces caractéristiques.
Nous commencerons ce cours par un rappel du vocabulaire des statistiques avant d'introduire l'exemple qui nous servira durant tout le cours. Nous définirons ensuite la moyenne d'une série statistique, puis nous aborderons également de la notion de valeurs et de moyenne pondérées.
Vocabulaire
La listes des données collectées lors d'une enquête ou d'une série de mesures est appelée série de données statistique.
Étudier une série statistique, c'est étudier un caractère dans une population :
Nous avons demandé à élèves de 5e le temps qu'ils consacrent à la pratique du sport (hors heures obligatoires du collège) par semaine.
Voici les réponses obtenues en nombre d'heures : |
Dans cette série statistique :
Par exemple, l'effectif de la valeur « » est .
Sa fréquence est :
Si nous effectuons les mêmes calculs pour toutes les valeurs de la série, nous obtenons les résultats que nous pouvons regrouper dans le tableau ci-dessous :
Ces rappels étant faits, nous pouvons maintenant introduire les notions de moyenne et de moyenne pondérée d'une série statistique.
Moyenne et moyenne pondérée
Lorsque le caractère étudié lors d'une enquête ou d'une série de mesures est quantitatif, la moyenne est une des caractéristiques (indicateurs) de la série.
Moyenne
Moyenne :
La moyenne d'une série statistique est égale à la somme de toutes les données de cette série divisée par l'effectif total.
Nous avons demandé à élèves de 5e le temps qu'ils consacrent à la pratique du sport (hors heures obligatoires du collège) par semaine.
Voici les réponses obtenues en nombre d'heures : |
Ici, le calcul de la moyenne donne :
Moyenne pondérée
Les données recueillies peuvent être nombreuses, et en faire la somme est un travail long qui peut être source d'erreur.
Lorsque des valeurs apparaissent plusieurs fois, il est plus simple d'additionner les produits de chaque valeur par son effectif.
Valeur pondérée :
Une valeur pondérée par son effectif est le produit de cette valeur par son effectif.
Moyenne pondérée :
La moyenne pondérée d'une série statistique est égale à la somme des valeurs pondérées par leur effectif respectif divisée par l'effectif total.
Nous avons demandé à élèves de 5e le temps qu'ils consacrent à la pratique du sport (hors heures obligatoires du collège) par semaine.
Voici les réponses obtenues en nombre d'heures : |
Ici :
Les valeurs pondérées correspondantes sont donc respectivement :
On fait de même pour toutes les valeurs.
Ainsi, le calcul de la moyenne pondérée donne :
Moyenne des classes centrées
Lorsque les données sont regroupées par classe, une méthode d'estimation de la moyenne consiste à calculer la moyenne pondérée des valeurs prises par le centre de chaque intervalle.
Nous avons demandé à élèves de 5e le temps qu'ils consacrent à la pratique du sport (hors heures obligatoires du collège) par semaine.
Voici les réponses obtenues en nombre d'heures : |
Si on regroupe les données de notre étude par classes d'intervalle , voici le tableau des effectifs (les fréquences n'intervenant pas dans le calcul des moyennes) que nous obtenons :
= Nombre d’heures de sport par semaine |
Total | |||||
Effectifs |
En prenant pour valeurs le centre de chaque intervalle, notre tableau des effectifs devient :
= Nombre d’heures de sport par semaine |
Total | |||||
Effectifs |
Le calcul de la moyenne des classes centrées est alors un calcul de moyenne pondérée qui donne :
La moyenne exacte calculée plus haut est égale à heures de sport par semaine.
Ainsi, l'écart entre la moyenne estimée et la moyenne exacte est de soit heure, soit moins d' d’heure ( heure étant exactement égal à d’heure).
L'estimation de la moyenne par la méthode des classes centrées est plutôt fiable.
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons introduit une nouvelle notion de la statistique : la moyenne. Elle prend ici un sens purement mathématique et rigoureux, mais c'est une notion que nous utilisons dans la vie de tous les jours (« en moyenne », « généralement », « ma moyenne est de… ») et qui nous permet de situer, de positionner un élément par rapport à un ensemble (une note par rapport à la moyenne de la classe) ou un ensemble par rapport à un autre (la moyenne d'une classe par rapport à celle d'une autre classe), de donner un ordre d'idée d'une valeur ou d'avoir une vue globale sur un sujet.