Cours Multiples et diviseurs
Introduction
L’objectif de ce cours est de voir et d’utiliser les notions de multiples et diviseurs. Dans un premier temps, nous rappellerons la notion de division euclidienne d’un entier par un autre non nul, pour ensuite donner la définition des termes « multiple », « diviseur » et « divisible ».
Ensuite, nous rappellerons les critères de divisibilité par 2, 5 et 10, et les compléterons avec ceux par 3 et 9. Nous définirons aussi les nombres premiers.
Dans un dernier temps, nous donnerons des applications plus concrètes de ces notions à travers la recherche de multiples ou de diviseurs d’un nombre, notamment avec l’utilisation d’un tableur.
Multiples et diviseurs
Définitions
Rappel
Définition
Division euclidienne :
Pour $a$ et $b$ deux nombres entiers (avec $b$ différent de $0$), effectuer la division euclidienne de $a$ par $b$ revient à trouver deux nombres entiers $q$ et $r$ qui vérifient l’égalité $a = b \times q + r$ et que $0 \leq r < b$.
$\blue{a}$ est le dividende.
$\green{b}$ est le diviseur.
$\purple{q}$ est le quotient.
$\orange{r}$ est le reste.
Attention
Dans l’égalité $\blue{a} =\green{b} \times \purple{q} + \orange{r}$, il faut bien vérifier que $\orange{r} < \green{b}$.
Si ce n’est pas le cas, l’égalité ne sera pas celle d’une division euclidienne et il faudra chercher un quotient $\purple{q}$ (qui est le nombre de fois où $\green{b}$ est présent dans $\blue{a}$) plus grand, pour que le reste soit bien inférieur à $\green{b}$.
Définition
Termes multiple, diviseur et divisible :
Dans la division euclidienne d’un nombre entier $a$ par un nombre entier $b$ non nul, si le reste $r$ est nul, on a : $a = b \times q$.
On dit alors que : $a$ est un multiple de $b$ et de $q$. $b$ et $q$ sont des diviseurs de $a$. $a$ est divisible par $b$ et par $q$.
Exemple
$96 = 8 \times 12$ donc :
- $96$ est un multiple de $8$ et de $12$ ;
- $8$ et $12$ sont des diviseurs de $96$ ;
- $96$ est divisible par $8$ et par $12$.
Nous avons effectué ci-dessous la division euclidienne de $133$ par $7$ :
Le reste de cette division euclidienne est nul donc :
- $133$ est un multiple de $7$ et $19$ ;
- $7$ et $19$ sont des diviseurs de $133$ ;
- $133$ est divisible par $7$ et $19$.
Critères de divisibilité
Propriété
- Un nombre est divisible par 2 si et seulement si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
- Un nombre est divisible par 5 si et seulement si son chiffre des unités est 0 ou 5.
- Un nombre est divisible par 10 si et seulement si son chiffre des unités est 0.
Exemple
- 1 566 est divisible par 2 car son chiffre des unités est 6.
- 735 est divisible par 5 car son chiffre des unités est 5, mais il n’est pas divisible par 10.
Propriété
Un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemple
- $3 + 1 + 5 = 9$ qui est divisible par 3 et par 9, donc 315 est divisible par 3 et par 9.
- $2 + 0 + 4 = 6$ est divisible par 3 mais pas par 9, donc 204 est divisible par 3 mais pas par 9.
Nombres premiers
Nous pouvons remarquer qu’un nombre entier (strictement supérieur à $1$) admet au moins deux diviseurs : $1$ et lui-même. Et certains nombres n’en admettent pas d’autres : ces nombres remarquables sont appelés nombres premiers.
Définition
Nombre premier : Un nombre premier est un entier positif qui admet exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même.
À retenir
- $0$ n’est pas un nombre premier, car tous les nombres entiers non nuls sont des diviseurs de $0$.
- $1$ n’est pas non plus un nombre premier, car il n’admet qu’un seul diviseur.
- $2$ est un nombre premier, car il admet bien $2$ diviseurs exactement : $1$ et lui-même.
- C’est le seul nombre pair premier, puisque tout autre nombre pair admet par définition $2$ comme diviseur, en plus de $1$ et lui-même.
Exemple
- $13$ est un nombre premier, car il n’admet comme diviseurs que $1$ et $13$.
- $368$ n’est pas un nombre premier, car il est aussi divisible, par exemple, par $2$.
- $837$ n’est pas non plus un nombre premier, car il est aussi divisible, par exemple, par $3$ ($8+3+7=18$ est un multiple de $3$).
Astuce
Pour montrer qu’un nombre n’est pas premier, il suffit de lui trouver un diviseur différent de $1$ et de lui-même.
À retenir
Il est important de connaître le début de la liste des nombres premiers. Nous donnons ici ceux qui sont inférieurs à $30$ :
$2$ |
$3$ |
$5$ |
$7$ |
$11$ |
$13$ |
$17$ |
$19$ |
$23$ |
$29$ |
Applications
Recherche de multiples et de diviseurs
Illustrons sur des exemples ces notions de divisibilité, de multiple et de diviseur.
Exemple
Parmi les entiers $52$, $131$ et $260$, lesquels sont des multiples de $13$ ?
On peut effectuer la division euclidienne des trois nombres par $13$ et voir si le reste est nul.
- S’il l’est, alors le nombre est un multiple de $13$. Sinon, ce n’est pas un multiple de $13$.
Mais on peut le faire « de tête ». Nous détaillons ci-dessous les opérations, mais elles sont faisables sans écritures.
- On calcule rapidement que $13\times 2=26$, puis que $26\times 2=52$. Donc :
$$52=26\times 2=(13\times 2)\times 2=13\times (2\times 2)=13\times 4$$
- $52$ est un multiple de $13$ (et aussi de $4$).
- Ensuite, on sait que : $13\times 10=130$.
On voit ainsi que le reste sera égal à $1$ : $131=13\times 10+1$. - $131$ n’est pas un multiple de $13$.
- Enfin, on vient de le voir : $13\times 10=130$, et on calcule aussi facilement : $130\times 2=260$. D’où :
$$260=130\times 2=(13\times 10)\times 2=13\times (10\times 2)=13\times 20$$
- $260$ est un multiple de $13$ (et aussi de $20$).
- En conclusion, on peut dire que $52$ et $260$ sont des multiples de $13$, mais pas $131$.
Dans certains exercices, résoudre le problème reviendra à trouver tous les diviseurs d’un nombre.
À retenir
Méthode : Comment dresser la liste des diviseurs d’un nombre entier
On considère un nombre entier $a > 1$.
- On sait déjà que $1$ et $a$ sont des diviseurs de $a$. On les met dans la liste.
- On teste alors la divisibilité de $a$ par $2$, puis $3$, $4$, etc., par ordre croissant, en se servant des tables de multiplication, des critères de divisibilité, en trouvant des astuces de calcul mental, ou en posant la division euclidienne si besoin.
- Lorsque $b$ divise $a$, le quotient $q$ de $a$ par $b$ divise aussi $a$. On ajoute $b$ et $q$ à la liste des diviseurs.
- On continue jusqu’à ce qu’on retrouve, par symétrie, les mêmes diviseurs (ou qu’on atteigne $a$).
Pour bien comprendre cette méthode, appliquons-la sur un exemple.
Exemple
Nous souhaitons dresser la liste complète des diviseurs de $24$.
- $\green 1$ et $\green {24}$ sont des diviseurs de $24$.
- $24$ a $4$ pour chiffre des unités, il est donc divisible par $2$, avec : $24=2\times 12$.
$\green 2$ et $\green {12}$ sont des diviseurs de $24$. - $2+4=6$ est divisible par $3$, donc $24$ est divisible par $3$, avec : $24=3\times 8$.
$\green 3$ et $\green 8$ sont des diviseurs de $24$. - $24$ fait partie de la table de $4$, il est donc divisible par $4$, avec : $24=4\times 6$.
$\green 4$ et $\green 6$ sont des diviseurs de $24$. - $24$ n’est pas divisible par $5$.
- Nous arrivons à $6$, dont nous avons déjà dit que c’est un diviseur de $24$.
Nous arrêtons. - Nous pouvons maintenant donner la liste complète des diviseurs de $24$, que nous rangeons par ordre croissant :
$$1\ ;\, 2\ ;\, 3\ ;\, 4\ ;\, 6\ ;\, 8\ ;\, 12\ ;\, 24$$
Résolvons maintenant un problème, assez typique de ce que vous rencontrerez.
Exemple
Un garçon de café doit répartir $24$ croissants et $36$ pains au chocolat dans des corbeilles. Chaque corbeille doit avoir le même contenu, et il ne doit rester ni croissants ni pains au chocolat après la répartition. Quelles sont les répartitions possibles ?
- Tout d’abord, il s’agit de bien comprendre l’énoncé.
D’une part, le garçon de café a $24$ croissants, et il ne doit pas en rester après la répartition dans les corbeilles. Il faut donc que le nombre de corbeilles soit un diviseur de $24$.
D’autre part, il a $36$ pains au chocolat. Comme pour les croissants, pour qu’il ne reste pas de pains au chocolat à la fin, il faut que le nombre de corbeilles soit un diviseur de $36$.
- Il s’agit donc de lister tous les diviseurs de $24$, puis de $36$, et de ne garder que ceux qu’ils ont en commun. Nous obtiendrons ainsi les nombres de corbeilles possibles et, par suite, les répartitions possibles de croissants et pains au chocolat.
- Nous avons trouvé les diviseurs de $24$ dans l’exemple précédent :
$$1\ ;\, 2\ ;\, 3\ ;\, 4\ ;\, 6\ ;\, 8\ ;\, 12\ ;\, 24$$
- Déterminons maintenant l’ensemble des diviseurs de $36$, en utilisant la méthode utilisée pour $24$.
- $\green 1$ et $\green {36}$ sont des diviseurs de $36$.
- $36$ a $6$ pour chiffre des unités, il est donc divisible par $2$, avec : $36=2\times 18$.
$\green 2$ et $\green {18}$ sont des diviseurs de $36$. - $3+6=9$ est divisible par $3$, donc $36$ est divisible par $3$, avec : $36=3\times 12$.
$\green 3$ et $\green {12}$ sont des diviseurs de $36$. - $36$ fait partie de la table de $4$, il est donc divisible par $4$, avec : $36=4\times 9$.
$\green 4$ et $\green 9$ sont des diviseurs de $36$. - $36$ n’est pas divisible par $5$.
- $36$ fait partie de la table de $6$, il est donc divisible par $6$, avec : $36=6\times 6$.
$\green 6$ est un diviseur de $36$. - On sait que, par symétrie, on a trouvé l’ensemble des diviseurs de $36$ :
$$1\ ;\, 2\ ;\, 3\ ;\, 4\ ;\, 6\ ;\, 9\ ;\, \, 12\ ;\, 18\ ;\, 36$$
- Identifions maintenant les diviseurs communs :
$$\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{Diviseurs de $24$\ :\ }} &\purple 1\ ;\, \purple 2\ ;\, \purple 3\ ;\, \purple 4\ ;\, \purple 6\ ;\, 8\ ;\, \purple {12}\ ;\, 24 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Diviseurs de $36$\ :\ }} &\purple 1\ ;\, \purple 2\ ;\, \purple 3\ ;\, \purple 4\ ;\, \purple 6\ ;\, 9\ ;\, \purple {12}\ ;\, 18\ ;\, 36 \end{aligned}$$
- Les nombres de corbeilles possibles sont donc : $1\ ;\, 2\ ;\, 3\ ;\, 4\ ;\, 6\ ;\,12$.
- Nous pouvons maintenant donner les répartitions possibles, c’est-à-dire le nombre de croissants et de pains au chocolat par corbeille en fonction du nombre de corbeilles.
- Ce sera tout simplement égal aux quotients de $24$ et $36$ par le nombre de corbeilles considéré. Nous les avons indiqués lors de la recherche des diviseurs, nous mettons les résultats dans un tableau.
Nombre de corbeilles |
$1$ |
$2$ |
$3$ |
$4$ |
$6$ |
$12$ |
Nombre de croissants |
$24$ |
$12$ |
$8$ |
$6$ |
$4$ |
$2$ |
Nombre de pains au chocolat |
$36$ |
$18$ |
$12$ |
$9$ |
$6$ |
$3$ |
Arithmétique et tableur
On considère le programme de calcul ci-dessous.
Avec un tableur, on teste les nombres entiers de 1 à 10 avec ce programme de calcul pour essayer d’établir une conjecture. On obtient la feuille de calcul suivante.
D’après cette feuille de calcul, le résultat semble être le quadruple du nombre de départ.
Montrons-le.
En notant $n$ le nombre de départ, on a successivement : $n + 2$ ; $4\times (n+2)$ ; $4\times (n+2) - 8 = 4\times n + 4\times 2 - 8 = 4\times n + 8 - 8 = 4\times n$.
- Le résultat est donc bien le quadruple du nombre de départ.
Conclusion
Dans cette leçon, nous avons revu les notions de diviseurs et de multiples qui découlent de la division euclidienne d’un entier par un autre non nul. Nous avons aussi complété les critères de divisibilité que nous connaissions, avec ceux par 3 et 9. Nous avons aussi défini un cas particulier de la divisibilité que sont les nombres premiers, des entiers positifs qui n’ont pas d’autres diviseurs que 1 et eux même.
