Fiche de révision Multiples et diviseurs

Multiples et diviseurs

Définitions

• Division euclidienne : pour $a$ et $b$ deux entiers ($b\neq 0$), on cherche $q$ et $r$ tels que $a=b\times q+r$ avec $0\leq r<b$.
• $a$ est le dividende, $b$ le diviseur, $q$ le quotient, $r$ le reste.
• Attention : il faut toujours vérifier que $r<b$, sinon il faut augmenter le quotient $q$.
• Si le reste $r$ est nul, alors $a=b\times q$ :
• $a$ est un multiple de $b$ et de $q$ ;
• $b$ et $q$ sont des diviseurs de $a$ ;
• $a$ est divisible par $b$ et par $q$.
• Exemple : $96=8\times12$ → $96$ est multiple de $8$ et $12$ ; $8$ et $12$ sont diviseurs de $96$ ; $96$ est divisible par $8$ et $12$.

Critères de divisibilité

• Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$.
• Un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est $0$ ou $5$.
• Un nombre est divisible par 10 si son chiffre des unités est $0$.
• Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par $3$.
• Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par $9$.

Nombres premiers

• Un nombre premier est un entier positif qui admet exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même.
• $0$ n'est pas premier (tous les entiers non nuls le divisent).
• $1$ n'est pas premier (un seul diviseur).
• $2$ est premier, et c'est le seul nombre pair premier.
• Astuce : pour montrer qu'un nombre n'est pas premier, il suffit de trouver un diviseur différent de $1$ et de lui-même.
• Liste des nombres premiers inférieurs à $30$ : $$2\ ;\ 3\ ;\ 5\ ;\ 7\ ;\ 11\ ;\ 13\ ;\ 17\ ;\ 19\ ;\ 23\ ;\ 29$$

Applications

Recherche de multiples et de diviseurs

• Pour savoir si un nombre est multiple d'un autre : effectuer la division euclidienne (ou calcul mental) et vérifier si le reste est nul.
• Méthode pour lister les diviseurs d'un nombre $a>1$ :
• $1$ et $a$ sont toujours diviseurs de $a$ : on les note.
• on teste la divisibilité par $2$, $3$, $4$… dans l'ordre croissant (tables de multiplication, critères de divisibilité, division euclidienne si besoin) ;
• quand $b$ divise $a$ avec quotient $q$, alors $b$ et $q$ sont diviseurs de $a$ ;
• on s'arrête quand on retrouve un diviseur déjà trouvé (symétrie).
• Exemple : diviseurs de $24$ → $1\ ;\,2\ ;\,3\ ;\,4\ ;\,6\ ;\,8\ ;\,12\ ;\,24$.
• Type de problème classique : répartition en parts égales sans reste → chercher les diviseurs communs de plusieurs nombres.
• Exemple : pour répartir $24$ croissants et $36$ pains au chocolat, le nombre de corbeilles possible doit être un diviseur commun de $24$ et $36$ → $1\ ;\,2\ ;\,3\ ;\,4\ ;\,6\ ;\,12$.

Arithmétique et tableur

• Un tableur permet de tester un programme de calcul sur plusieurs valeurs pour conjecturer un résultat général.
• On peut ensuite démontrer la conjecture en calculant littéralement avec un nombre $n$ quelconque.
• Exemple : pour $n+2$, puis $\times4$, puis $-8$ : on obtient $4\times(n+2)-8=4n$, soit le quadruple du nombre de départ.