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Notations scientifiques

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Introduction :

L’objectif de ce cours est d’apprivoiser la notation scientifique d’un nombre et d’en comprendre l’intérêt mathématique.

Nous apprendrons à écrire et à manipuler cette notation particulière. Puis, après une définition et un rappel des règles de calculs sur les puissances de $10$, nous verrons comment effectuer des opérations simples comme la multiplication et la division.

Définition

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Définition

Notation scientifique :

Une valeur est exprimée en notation scientifique lorsqu’elle s’écrit sous la forme $a\times 10^n$ où :

  • $a$ est un nombre décimal dont la valeur est supérieure ou égale à $1$ et inférieure à $10$, soit $1\leq a<10$ ;
  • et $n$ est un entier relatif.
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Exemple

Nombres exprimés en notation scientifique Nombres non exprimés en notation scientifique
$9,06 \times 10^{15}$ $10 \times 10^6$

Car $10$ n’est pas strictement inférieur à $10$

$3,7 \times 10^{-5}$ $3,00$

Car il n’y a pas de puissance de $10$

$2,00 \times 10^5$ $0,956 \times 10^4$

Car $0,956$ n’est pas supérieur ou égal à $1$

$5\times 10^0$ $15,6 \times 10^{-9}$

Car $15,6$ n’est pas strictement inférieur à $10$

Applications

Pour comprendre l’intérêt de la notation scientifique, on peut prendre des exemples concrets.

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Exemple

Écriture décimale Écriture scientifique
Masse d’un électron en gramme $0,000\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000\ 910\ 94$ $9,1094 \times 10^{-28}$
Taille de l’univers en kilomètre $780\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000$ $7,8 \times 10^{23}$
  • La notation scientifique permet d’exprimer plus clairement, plus facilement, de très grandes ou de très petites valeurs. Elle est ainsi très utilisée par les scientifiques, en microbiologie, physique ou encore astronomie.
    Elle permet de comparer facilement différentes valeurs entre elles.
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Exemple

De par l’utilisation des puissances de 10, la notation scientifique permet également d’obtenir rapidement l’ordre de grandeur d’une valeur.

Nombre Puissance de $10$ Préfixe de l’unité Symbole
$1\ 000\ 000\ 000$ $10^9$ giga $\text {G}$
$1\ 000\ 000$ $10^6$ méga $\text {M}$
$1\ 000$ $10^3$ kilo $\text {k}$
$100$ $10^2$ hecto $\text {h}$
$10$ $10^1$ déca $\text {da}$
$0,1$ $10^{-1}$ déci $\text {d}$
$0,01$ $10^{-2}$ centi $\text {c}$
$0,001$ $10^{-3}$ milli $\text {m}$
$0,000\ 001$ $10^{-6}$ micro $\mu \text {m}$
$0,000\ 000\ 001$ $10^{-9}$ nano $\text{n}$

Écriture d’un nombre en notation scientifique

Méthodologie

La notation scientifique conserve tous les chiffres significatifs du nombre pour respecter la précision de la valeur.

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Définition

Chiffres significatifs :

Les chiffres significatifs d’un nombre sont les chiffres écrits en partant de la gauche à partir du premier chiffre différent de zéro.

Pour écrire un nombre en notation scientifique, il faut :

  • d’abord mettre en évidence la partie décimale comprise entre $1$ et $10$ ;
  • puis faire apparaitre une puissance de dix pour respecter la valeur du nombre.

La puissance de $10$ sera strictement positive si le résultat est supérieur ou égal à $10$.

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Exemple

$$10,03=1,003 \times 10^1$$

  • Il faut multiplier $1,003$ par $10$ (soit $10^1$) pour obtenir $10,03$.

$$4860 = 4,860 \times 10^3$$

  • Il faut multiplier $4,860$ par $1000$ (soit $10^3$) pour obtenir $4860$.
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Attention

Il faut veiller à conserver le dernier zéro pour respecter le nombre de chiffres significatifs.

La puissance de $10$ sera strictement négative si le résultat est inférieur à $1$.

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Exemple

$$0,35 =3,5 \times 10^{-1}$$

  • Il faut diviser $3,5$ par $10$, soit le multiplier par $0,1$ (soit $10^{-1}$) pour obtenir $0,35$.

$$0,001=1 \times 10^{-3}$$

  • Il faut diviser $1$ par $1000$, soit le multiplier par $0,001$ (soit $10^{-3}$) pour obtenir $0,001$.

La puissance de $10$ sera égale à zéro si le résultat est compris entre $1$ inclus et $10$ exclu.

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Exemple

$$7,450 = 7,450 \times 10^0$$

  • $10^0$ est égal à $1$.

Si le nombre inclut déjà une puissance de dix, il faut d’abord s’intéresser au nombre décimal, l’écrire en notation scientifique puis simplifier la valeur de la puissance.

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Exemple

$\begin{aligned}\begin {aligned} 256,2 \times 10^5 &= 2,562\times 10^2 \times 10^5 \\&=2,562 \times 10^{2+5} \\&=2,562 \times 10^7 \end{aligned}\end{aligned}$

Ce dernier exemple montre que pour manipuler des notations scientifiques, il faut savoir maitriser les calculs faisant intervenir des puissances. Nous allons donc poursuivre par un rappel des propriétés à connaître.

Rappel

Propriétés Exemples
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs, alors : $10^a \times 10^b=10^{a+b}$ $10^5 \times 10^3=10^{5+3}=10^8$

$10^{-7} \times 10^5=10^{-7+5}=10^{-2}$

$\dfrac{10^a}{10^b}=10^{a-b}$ $\dfrac{10^8}{10^3}=10^{8-3}=10^5$

$\dfrac{10^5}{10^{-2}}=10^{5-(-2)}=10^7$

$(10^a)^b=10^{a\times b}$ $(10^5)^3=10^{5\times 3}=10^{15}$

$(10^{-2})^3=10^{(-2) \times 3}=10^{-6}$

Multiplication et division entre notations scientifiques

Multiplication

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À retenir

Pour multiplier des nombres en notation scientifique, il suffit de regrouper les parties décimales entre elles et les puissances de dix entre elles puis de les calculer séparément.

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Attention

Le produit de deux notations scientifiques n’est pas forcément une notation scientifique.
Il faudra veiller à rédiger correctement le résultat.

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Exemple

$\begin{aligned}\begin {aligned}2,5 \times 10^3 \times 4,0 \times 10^6 \times 3,0 \times 10^{-2} &= 2,5\times 4,0\times 3,0\times 10^3\times 10^6\times 10^{-2} \\&=30 \times 10^{3+6-2} \\&=30 \times 10^7\end{aligned}\end{aligned}$

  • $30 \times 10^7$ n’est pas une notation scientifique. Il faut donc continuer.

$\begin{aligned}\begin {aligned}2,5 \times 10^3 \times 4,0 \times 10^6 \times 3,0 \times 10^{-2} &=3,0\times 10^1 \times 10^7 \\&=3,0 \times 10^{1+7}\\&=3,0 \times 10^8\end{aligned}\end{aligned}$

bannière à retenir

À retenir

Le résultat ne doit pas comporter plus de chiffres significatifs que la donnée la moins précise.
Il peut être nécessaire d’arrondir.

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Exemple

$7,02 \times 10^{-2} \times 6,8 \times 10^{-3}=7,02 \times 6,8 \times 10^{-2} \times 10^{-3}$

  • La donnée la moins précise ($6,8$) ne compte que deux chiffres significatifs. Le résultat ne peut en compter davantage.
    Or $7,02 \times 6,8=47,736$
    Il faut donc arrondir le résultat à $48$ avant de passer à une notation scientifique.

$\begin{aligned}\begin {aligned} 7,02 \times 10^{-2} \times 6,8 \times 10^{-3}&=48 \times 10^{-2-3} \\&=48 \times 10^{-5} \\&=4,8 \times 10^1 \times 10^{-5}\\ &=4,8 \times 10^{1+(-5)} \\ &=4,8 \times 10^{-4} \end {aligned}\end{aligned}$

La notation utilisée par la calculatrice lorsque le résultat d’un calcul est très grand ou très petit n’est pas forcément la notation scientifique.
C’est une valeur approchée qui dépend de sa capacité d’affichage.

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Exemple

Effectuons le calcul suivant à la calculatrice : $687254 \times 862471$

  • La calculatrice affiche le résultat $5,927366446 \times 10^{11}$

Or, si le résultat est demandé sous forme de notation scientifique, la réponse correcte sera $5,92737 \times 10^{11}$ avec seulement $6$ chiffres significatifs comme les données de départ.

Division

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À retenir

Pour diviser des nombres en notation scientifique, il suffit de regrouper les parties décimales entre elles et les puissances de dix entre elles en deux fractions distinctes, puis de les calculer séparément.

Comme pour la multiplication, le résultat ne doit pas comporter plus de chiffres significatifs que la donnée la moins précise.

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Exemple

$\small\begin{aligned}\begin {aligned} (7,5 \times 10^7 \times 2,0 \times 10^{-2}) \div (3,0 \times 10^3) &= (7,5 \times 2,0 \times 10^7 \times 10^{-2}) \div (3,0 \times 10^3) \\ &= \dfrac{7,5 \times 2,0}{3,0} \times \dfrac{10^7 \times 10^{-2}}{10^3} \\&= \dfrac{15}{3,0} \times \dfrac{10^5}{10^3} \\&=5,0 \times 10^2 \end{aligned}\end{aligned}$

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Attention

Il faut penser au nombre de chiffres significatifs tout au long du calcul.