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Notations scientifiques

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Définition

  • Une valeur est exprimée en notation scientifique lorsqu’elle s’écrit sous la forme $a\times 10^n$ où :
  • $a$ est un nombre décimal dont la valeur est supérieure ou égale à $1$ et inférieure à $10$, soit $1\leq a<10$ ;
  • et $n$ est un entier relatif.

Écriture d’un nombre en notation scientifique

  • La notation scientifique conserve tous les chiffres significatifs du nombre pour respecter la précision de la valeur.
  • Les chiffres significatifs d’un nombre sont les chiffres écrits en partant de la gauche à partir du premier chiffre différent de zéro.
  • Pour écrire un nombre en notation scientifique, il faut :
  • d’abord mettre en évidence la partie décimale comprise entre $1$ et $10$ ;
  • puis faire apparaitre une puissance de dix pour respecter la valeur du nombre.
  • La puissance sera strictement positive si le résultat est supérieur ou égal à $10$.
  • La puissance sera strictement négative si le résultat est inférieur à $1$.
  • La puissance sera égale à zéro si le résultat est compris entre $1$ inclus et $10$ exclu.
  • Si le nombre inclut déjà une puissance de dix, il faut d’abord s’intéresser au nombre décimal, l’écrire en notation scientifique puis simplifier la valeur de la puissance.

Propriétés Exemples
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs, alors : $10^a \times 10^b=10^{a+b}$ $10^5 \times 10^3=10^{5+3}=10^8$

$10^{-7} \times 10^5=10^{-7+5}=10^{-2}$

$\dfrac{10^a}{10^b}=10^{a-b}$ $\dfrac{10^8}{10^3}=10^{8-3}=10^5$

$\dfrac{10^5}{10^{-2}}=10^{5-(-2)}=10^7$

$(10^a)^b=10^{a\times b}$ $(10^5)^3=10^{5\times 3}=10^{15}$

$(10^{-2})^3=10^{(-2) \times 3}=10^{-6}$

Multiplication et division entre notations scientifiques

  • Pour multiplier des nombres en notation scientifique, il suffit de regrouper les parties décimales entre elles et les puissances de dix entre elles puis de les calculer séparément.
  • Le produit de deux notations scientifiques n’est pas forcément une notation scientifique.
  • Le résultat ne doit pas comporter plus de chiffres significatifs que la donnée la moins précise.
    Il peut être nécessaire d’arrondir.
  • La notation utilisée par la calculatrice lorsque le résultat d’un calcul est très grand ou très petit n’est pas forcément la notation scientifique.
  • C’est une valeur approchée qui dépend de sa capacité d’affichage.
  • Pour diviser des nombres en notation scientifique, il suffit de regrouper les parties décimales entre elles et les puissances de dix entre elles en deux fractions distinctes, puis de les calculer séparément.
  • Comme pour la multiplication, le résultat ne doit pas comporter plus de chiffres significatifs que la donnée la moins précise.