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Passer d'une écriture décimale à une écriture fractionnaire

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Introduction :

Un nombre décimal admet plusieurs écritures. L'objectif de ce cours est d'apprendre à passer de l'une à l'autre des deux formes les plus élémentaires (nombre à virgule et fraction décimale) afin de pouvoir naviguer aisément entre toutes les écritures existantes.

Dans un premier temps, nous définirons la notion de nombre décimal. Nous énumèrerons ensuite ses différentes formes d'écritures. Enfin, nous apprendrons à passer de l'écriture décimale à l'écriture fractionnaire, puis de l'écriture fractionnaire à l'écriture décimale.

Les nombres décimaux

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Définition

Nombre décimal :

Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d'une fraction décimale, c'est-à-dire une fraction dont le numérateur est un nombre entier et le dénominateur est 1010, 100100, 10001000, 1000010000

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Rappel

Dans la fraction 14\dfrac 14 on appelle 11 le numérateur et 44 le dénominateur.

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Exemple

18310\dfrac{183}{10}, 15100\dfrac{15}{100} ou encore 11000\dfrac{1}{1000} sont des nombres décimaux.

Les différentes écritures des nombres décimaux

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À retenir

Tout nombre décimal peut s'écrire sous différentes formes : écriture fractionnaire, décimale, en lettres ou encore décompositions d'ordres divers.

Écriture fractionnaire

L'écriture fractionnaire, c'est l'écriture qui permet de définir un nombre décimal puisqu’un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction décimale : le numérateur est un entier et le dénominateur est 1010, 100100, 10001000, 1000010000

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Exemple

2875100\dfrac{2875}{100} est un nombre décimal écrit en écriture fractionnaire.

Écriture décimale

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À retenir

Un nombre décimal s'écrit à l'aide d'un nombre de chiffres fini et d'une virgule.

La partie située à gauche de la virgule est appelée partie entière, celle située à droite de la virgule est appelée partie décimale.

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Exemple

28,75\blue{28},\red{75} est le même nombre décimal que 2875100\frac{2875}{100} mais écrit en écriture décimale. 28\blue{28} est la partie entière et 75\red{75} est la partie décimale.

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À retenir

Un nombre entier est un nombre décimal car on peut lui ajouter un ou plusieurs zéros après la virgule sans que sa valeur ne change.

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Exemple

1717 peut s'écrire 17,017,0 ou 17,0017,00.

  • 1717 est un donc nombre décimal dont on ne fait pas apparaitre le(s) zéro(s) inutile(s).

Écriture en lettres

Un nombre décimal s'écrit en toutes lettres en spécifiant le rang des chiffres (unités, dixièmes, centièmes…).

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Exemple

Si on reprend le nombre précédent 28,7528,75, on peut l'écrire en toutes lettres : vingt-huit unités sept dixièmes et cinq centièmes.

Décompositions

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Définition

Décomposition :

Décomposer un nombre, c’est le transformer en une expression équivalente formée de composants plus simples.

Il existe plusieurs types de décompositions d'un nombre décimal.

  • Décomposition additive : somme des termes correspondants à chaque rang du nombre.
  • 20+8+0,7+0,0520 + 8 + 0,7 + 0,05 est la décomposition additive de 28,7528,75.
  • Décomposition canonique : somme des termes décomposés en nombre de paquets par rang.
  • 2×10+8×1+7×0,1+5×0,012 \times 10 + 8 \times 1 + 7 \times 0,1 + 5 \times 0,01 est la décomposition canonique de 28,7528,75.

On peut également écrire notre nombre décimal 28,7528,75 sous les formes suivantes :

  • somme d'un entier et d'un décimal inférieur à 11 : 28+0,7528 + 0,75
  • somme d'un entier et d'une fraction décimale inférieure à 11 : 28+7510028 + \dfrac{75}{100}
  • somme de fractions décimales : 2800100+70100+5100\dfrac{2800}{100}+\dfrac{70}{100}+\dfrac{5}{100}

Toutes ces formes d'écritures faisant appel à l'écriture décimale et/ou à l'écriture fractionnaire, il suffira de savoir passer de l'une à l'autre de ces deux écritures pour savoir naviguer entre toutes. C'est ce que nous allons voir maintenant.

Passer d'une écriture décimale à une écriture fractionnaire

MÉTHODOLOGIE

Pour passer de l'écriture décimale d'un nombre à son écriture fractionnaire :

  • on prend comme numérateur de la fraction décimale le nombre à virgule auquel on enlève la virgule (on garde uniquement les chiffres) ;
  • pour déterminer le dénominateur, on repère le rang du dernier chiffre du nombre à virgule :
  • s'il s'agit du rang des dixièmes, le dénominateur sera 1010 ;
  • s'il s'agit du rang des centièmes, le dénominateur sera 100100 ;
  • s'il s'agit du rang des millièmes, le dénominateur sera 10001000 ;
  • etc.
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Exemple

On souhaite écrire le nombre décimal 68,74268, 742 en écriture fractionnaire.

  • On prend comme numérateur de la fraction décimale le nombre à virgule auquel on enlève la virgule (on garde uniquement les chiffres), ici 6874268742.
  • Pour déterminer le dénominateur, on repère le rang du dernier chiffre du nombre à virgule. Ici, le rang du dernier chiffre de 68,74268,74\red{2} est celui des millièmes (3e chiffre après la virgule). Le dénominateur de la fraction décimale sera donc 10001000.
  • L'écriture fractionnaire de 68,74268,742 est donc 687421000\dfrac{68742}{1000}.

Passer d'une écriture fractionnaire à une écriture décimale

MÉTHODOLOGIE

Pour passer de l'écriture fractionnaire d'un nombre à son écriture décimale :

  • le dénominateur de la fraction décimale détermine le rang du dernier chiffre du nombre à virgule recherché :
  • si le dénominateur est 1010, le rang du dernier chiffre sera celui des dixièmes (1er chiffre après la virgule) ;
  • si le dénominateur est 100100, le rang du dernier chiffre sera celui des centièmes (2e chiffre après la virgule) ;
  • si le dénominateur est 10001000, le rang du dernier chiffre sera celui des millièmes (3e chiffre après la virgule) ;
  • etc.
  • Le nombre à virgule recherché est le numérateur de la fraction décimale auquel on rajoute une virgule de telle sorte que son dernier chiffre corresponde au rang déterminé à l'étape 1.
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Astuce

Autrement dit, on positionne une virgule à la fin du numérateur et on la décale vers la gauche d'autant de rangs qu'il y a de zéros au dénominateur.

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Exemple

On souhaite écrire la fraction décimale 47100\dfrac{47}{100} en écriture décimale.

  • Le dénominateur de la fraction décimale détermine le rang du dernier chiffre du nombre à virgule recherché. Ici, le dénominateur de la fraction décimale est 100100. Le rang du dernier chiffre du nombre à virgule recherché sera donc celui des centièmes.
  • Le nombre à virgule recherché est le numérateur de la fraction décimale auquel on rajoute une virgule de telle sorte que son dernier chiffre corresponde au rang déterminé à l'étape 1. Ici, le numérateur de la fraction décimale est 4747. Le nombre à virgule recherché est donc le nombre 4747 auquel on rajoute une virgule de telle sorte que le chiffre 77 soit le 2e chiffre après la virgule (rang des centièmes).
  • L'écriture décimale de 47100\dfrac{47}{100} est donc 0,470,47.

Conclusion :

Ce qu'il faut retenir de ce cours c'est qu'il existe de nombreuses façons d'écrire un nombre décimal dont les plus élémentaires sont l'écriture fractionnaire et l'écriture décimale. C'est pourquoi il faut être à l'aise avec ces deux formes d'écritures et savoir passer de l'une à l'autre sans problème, ce qui permettra également de passer aux autres formes d'écritures de type décompositions.