Proportionnalité et pourcentages

Introduction :

L’objectif de ce cours est de savoir reconnaître si une situation est de proportionnalité ou non, de savoir compléter un tableau de proportionnalité et de savoir appliquer un pourcentage à un nombre.
Dans un premier temps, nous apprendrons à reconnaître si une situation est de proportionnalité ou non. Dans un deuxième temps, nous apprendrons à compléter un tableau de proportionnalité et, dans un troisième temps, nous montrerons comment appliquer un pourcentage à un nombre.

Reconnaître une situation de proportionnalité

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Définition

Situation de proportionnalité :

Situation dans laquelle deux grandeurs sont proportionnelles.

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Définition

Grandeurs proportionnelles :

On dit que deux grandeurs sont proportionnelles lorsque l’on peut obtenir l’une à partir de l’autre en la multipliant par un nombre appelé « coefficient de proportionnalité ».

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Exemple

Un groupe d’adultes visite un musée pour lequel le tarif d’entrée est de $7$ € par personne.
Nous obtenons le tableau suivant :

tableau de proportionnalité

Nous avons les égalités suivantes :
$\frac{7}{1} = \frac{14}{2} = \frac{35}{5} = \frac{56}{8} = 7$

Dans ce tableau, on obtient le prix à payer (en €) en multipliant le nombre d’entrées par $7$.

  • Il s’agit donc d’un tableau de proportionnalité dont le coefficient de proportionnalité est $7$.

Le tableau suivant indique le prix de paquets de bonbons dans un supermarché.

tableau de proportionnalité

Ici, nous avons :
$\frac{2,50}{1} = \frac{5}{2} = \frac{7,50}{3} = 2,5$ et $\frac{9}{4} = 2,25 \neq 2,5$

  • Le tableau n’est donc pas un tableau de proportionnalité : il y a une réduction pour le quatrième paquet de bonbons acheté.

Une personne achète des tomates dans une épicerie : elles sont vendues $3$ € le kilogramme.
Nous obtenons le tableau suivant :

tableau de proportionnalité

Nous avons les égalités suivantes :
$\frac{1,50}{0,5} = \frac{3}{1} = \frac{3,60}{1,20} = \frac{4,50}{1,5} = 3$

Dans ce tableau, on obtient le prix à payer (en €) en multipliant la quantité achetée par $3$.

  • Il s’agit donc d’un tableau de proportionnalité dont le coefficient de proportionnalité est $3$.

Le tableau suivant indique l’aire d’un carré en fonction de la longueur de son côté.

tableau de proportionnalité

Nous avons :
$\frac{4}{2} = 2$ ; $\frac{9}{3} = 3$ ; $\frac{16}{4} = 4$ et $\frac{25}{5} = 5$

  • Les quotients ne sont pas égaux, le tableau n’est donc pas un tableau de proportionnalité.

Compléter un tableau de proportionnalité

MÉTHODE

  • Pour compléter un tableau de proportionnalité, on doit d’abord trouver son coefficient de proportionnalité : il s’agit de la valeur correspondant à « l’unité ».
  • On peut ensuite compléter le tableau de proportionnalité à l’aide de multiplications ou de divisions en utilisant le coefficient de proportionnalité.
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Exemple

On souhaite compléter le tableau de proportionnalité ci-dessous qui indique le montant payé pour un plein d’essence en fonction du nombre de litres d’essence achetés.

tableau de proportionnalité

Commençons par calculer le coefficient de proportionnalité de ce tableau : $\frac{42}{30} = 1,4$

Cette valeur est le prix au litre de l’essence : pour chaque litre d’essence acheté, on payera $1,40$ €.

On peut ensuite compléter le tableau.

  • Pour $10$ litres, on payera $10\times 1,4 = 14$ €.
  • Pour $20$ litres, on payera $20\times 1,4 = 28$ €.
  • Pour $40$ litres, on payera $40\times 1,4 = 56$ €.
  • Pour $50$ litres, on payera $50\times 1,4 = 70$ €.
  • Si l’on paye $84$ €, on obtiendra $\frac{84}{1,4} = 60$ litres d’essence.

On obtient donc le tableau de proportionnalité suivant.

tableau de proportionnalité

On souhaite compléter le tableau de proportionnalité ci-dessous qui indique le montant payé pour des kiwis dans une épicerie. Ils sont vendus $0,60$ € à l’unité.

tableau de proportionnalité

D’après l’énoncé, le coefficient de proportionnalité de ce tableau est $0,6$.

On peut maintenant compléter le tableau.

  • Pour acheter $1$ kiwi, on payera $0,60$ €.
  • Pour acheter $2$ kiwis, on payera $2\times 0,6 = 1,20$ €.
  • Pour acheter $5$ kiwis, on payera $5\times 0,6 = 3$ €.
  • Pour acheter $12$ kiwis, on payera $12\times 0,6 = 7,20$ €.
  • Pour $2,40$ €, on obtiendra $\frac{2,40}{0,6} = 4$ kiwis.
  • Pour $4,80$ €, on obtiendra $\frac{4,80}{0,6} = 8$ kiwis.

On obtient donc le tableau de proportionnalité suivant.

tableau de proportionnalité

Appliquer un pourcentage

Un pourcentage traduit une situation de proportionnalité.

Appliquer un pourcentage à un nombre revient à effectuer une multiplication : il s’agit de multiplier la fraction qui correspond au pourcentage par le nombre.

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Définition

Pourcentage :

Un pourcentage représente la proportion d’une quantité comparée à $100$. Il s’exprime sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est $100$.

$52\ \%$ se lit « cinquante-deux pour cent ».

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Exemple

Un réservoir de voiture de contenance $60\text{ L}$ est plein à $40\ \%$.
Calculons combien il contient de litres d’essence.

$100\ \%$ du réservoir correspondent à $60\text{ L}$.
Nous devons chercher ici à combien de litres correspondent $40\ \%$ du réservoir.

On peut représenter la situation à l’aide d’un tableau de proportionnalité.

tableau de proportionnalité

  • Le réservoir contient donc $\frac{40}{100} \times 60 = \frac{40\times 60}{100} = \frac{2~400}{100} = 24 \text{ L}$.

Un ordinateur portable a une autonomie de $150$ minutes. Sachant que sa batterie est pleine à $60\ \%$.
Calculons le temps qu’il reste avant que l’ordinateur ne s’éteigne.

  • Avant que l’ordinateur ne s’éteigne, il reste $\frac{60}{100} \times 150 = \frac{60\times 150}{100} = \frac{9~000}{100} = 90\text{ min}$.

Dans un collège de $500$ élèves, $25\ \%$ des élèves font du sport en club.
Calculons combien d’élèves de ce collège font du sport en club.

  • Le nombre d’élèves de ce collège qui font du sport en club est $\frac{25}{100} \times 500 = 25\times \frac{500}{100} = 25\times 5 = 125$.
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Astuce

Pourcentages particuliers

Calculer $10\ \%$ d’un nombre revient à le diviser par $10$.
Calculer $20\ \%$ d’un nombre revient à le diviser par $5$.
Calculer $25\ \%$ d’un nombre revient à le diviser par $4$.
Calculer $50\ \%$ d’un nombre revient à le diviser par $2$.

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons appris à reconnaître une situation de proportionnalité et à utiliser le coefficient de proportionnalité afin de compléter un tableau de proportionnalité.
Enfin, nous avons vu qu’un pourcentage traduisait une situation de proportionnalité et nous avons appris à appliquer un pourcentage à un nombre.