Cours Puissances
Introduction
L’objectif de ce cours est de présenter les premières puissances connues, les carrés et les cubes d’un nombre, qui peuvent être présents dans des calculs numériques comme dans des expressions littérales.
Dans un premier temps, nous présenterons le carré et le cube d’un nombre, et montrerons qu’ils sont utilisés dans des formules d’aires et de volumes.
Enfin, dans un deuxième temps, nous travaillerons avec des expressions numériques et littérales qui contiennent des carrés et des cubes. Ce sera l’occasion de revoir les priorités opératoires lorsque l’on effectue un calcul numérique.
Notion de puissances
Carré d’un nombre
Définition
Le carré d’un nombre :
Le carré d’un nombre est le produit d’un nombre par lui-même.
Par exemple : $4^2 = 4\times 4 = 16$ et $0,9^2 = 0,9\times 0,9 = 0,81$.
Attention
Ne pas confondre $a^2$ et $2a$ !
$a^2=a \times a$ alors que $2a=2\times a$.
Par exemple, avec $a=\textcolor{#0086BF} 5$ :
$\textcolor{#0086BF}{5^{2}}=\textcolor{#0086BF}{5}\times\textcolor{#0086BF}{5}=25 \quad \orange{\neq} \quad 2\times\textcolor{#0086BF}{5}=10$
Nous retrouvons l’expression du carré d’un nombre dans des formules d’aires de figures usuelles : par exemple, le carré et le disque.
À retenir
L’aire d’un carré de côté $c$ est :
$$A = c \times c = c^2$$
Exemple
- Une aire de jeu pour enfants de forme carrée de côté $11~\mathrm{m}$ a pour aire :
$$A = 11\times 11 = 121~{\mathrm{m}}^2$$.
- Une surface boisée de forme carrée de côté $25~\mathrm{m}$ a pour aire :
$$A = 25\times 25 = 625~{\mathrm{m}}^2$$.
Attention
L’unité d’aire obtenue est l’unité de longueur commune à toutes les dimensions et exprimée « au carré » : des centimètres ($\text{cm}$) donneront des ${\mathrm{cm}}^2$, des mètres ($\text m$) des ${\mathrm{m}}^2$, etc.
À retenir
L’aire d’un disque de rayon $r$ est :
$A = \pi r\times r = \pi r^2$ (avec $\pi \approx 3,14$)
Exemple
Dans les exemples suivants, nous arrondirons $\pi$ à $3,14$.
- Une usine fabrique deux types d’assiettes en porcelaine rondes de rayon : $12~{\mathrm{cm}}$ et $15~{\mathrm{cm}}$. L’aire de chacune de ces deux assiettes est :
$$A_1 = \pi \times 12^2 = 144\pi \approx 452,16~{\mathrm{cm}}^2$$.
$$A_2 = \pi \times 15^2 = 225\pi \approx 706,5 ~{\mathrm{cm}}^2$$.
- Dans un parc en ville, un parterre de fleurs circulaire de rayon $3,5~{\mathrm{m}}$ a pour aire (au sol) :
$$A = \pi \times 3,5^2 = 12,25\pi \approx 38,465 ~{\mathrm{m}}^2$$.
Pour pouvoir effectuer certains calculs de tête, vous devez connaître quelques valeurs des carrés des premiers nombres entiers : par exemple de 0 jusqu’à 12.
Remarque :
Connaître la valeur de ces carrés de nombres peut être utile pour effectuer des calculs avec les nombres décimaux.
Par exemple, $$0,7^2 = 0,7\times 0,7 = 7\times 0,1\times 7 \times 0,1 = 49\times 0,01 = 0,49$$
Cube d’un nombre
Définition
Le cube d’un nombre :
Le cube d’un nombre est le produit d’un nombre par lui-même trois fois. Par exemple :
- $2^3 = 2\times 2\times 2 = 8$ ; $0,5^3 = 0,5\times 0,5\times 0,5 = 0,25\times 0,5 = 0,125$ ;
- $10^3 = 10\times 10\times 10 = 1~000$.
Attention
Ne pas confondre $a^3$ et $3a$ !
$a^3=a\times a\times a$ alors que $3a=3\times a$.
Par exemple, avec $a=\blue 5$ :
$\blue{5^3}=\blue{5}\times\blue{5}\times\blue{5}=125\quad \orange{\neq}\quad 3\times\blue{5}=15$
Nous retrouvons l’expression du cube d’un nombre dans des formules de volumes de figures usuelles : par exemple, le cube.
À retenir
Le cube est un pavé droit dont toutes les faces sont des carrés de côté $a$.
Le volume de ce cube de côté $a$ est : $$V = a\times a\times a = a^3$$
Exemple
Le volume d’un cube de côté $4\text{ m}$ est :
$$V = 4\times 4 \times 4 = 64~{\mathrm{m}}^3$$.
Attention
L’unité de volume obtenue est l’unité de longueur commune à toutes les dimensions et exprimée « au cube » : des centimètres ($\text{cm}$) donneront des ${\mathrm{cm}}^3$, des mètres ($\text m$) des ${\mathrm{m}}^3$, etc.
Exemples de calculs
Après avoir calculé le carré ou le cube de nombres, inversement, nous pouvons avoir besoin d’exprimer des nombres sous la forme d’un carré ou d’un cube, lorsque c’est possible.
Exemple
$25 = 5^2$ ; $64 = 8^2$ ; $100 = 10^2$ ; $3~600 = 60^2$ pour transformer des secondes en heures.
$27 = 3\times 3 \times 3 = 3^3$ ; $64 = 4\times 4 \times 4 = 4^3$ ; $125 = 5\times 5 \times 5 = 5^3$.
Remarque :
Nous pouvons remarquer que des nombres peuvent s’écrire sous la forme d’un carré et aussi d’un cube. Par exemple, $64 = 8^2 = 4^3$
Expressions contenant des puissances simples
Dans le calcul numérique
Nous pouvons avoir à calculer des expressions numériques contenant des carrés ou aussi des cubes de nombres. Comparons les deux calculs suivants, dont les expressions sont assez proches.
Remarque :
Les calculs entre parenthèses sont effectués en priorité. On calcule ensuite les puissances, puis les multiplications et les divisions, et enfin les additions et les soustractions.
Exemple
$\begin{aligned} A &= 2\times 5^2 - 4\\ A &= 2\times 5\times 5 - 4\\ A &= 2\times 25 - 4\\ A &= 50 - 4\\ A &= 46 \end{aligned}$ |
$\begin{aligned} B &= (2\times 5)^2 - 4\\ B &= 10^2 - 4\\ B &= 100 - 4\\ B &= 96 \end{aligned}$ |
Dans le calcul littéral
Des expressions littérales peuvent contenir des termes en $x^2$ ou $x^3$.
Par exemple, $A = 3x^2 - 5$, $B = (3x)^2 - 5$ ou $C = 2x^3 + 3$.
Calculons la valeur de ces 3 expressions pour $x = 2$, en faisant bien attention aux priorités opératoires :
- Les calculs entre parenthèses ;
- Les multiplications et les divisions, avec notamment les puissances ;
- Les additions et les soustractions.
$\begin{aligned} A &= 3\times 2^2 - 5\\ A &= 3\times 4 - 5\\ A &= 12 - 5\\ A &= 7 \end{aligned}$ |
$\begin{aligned} B &= (3\times 2)^2 - 5\\ B &= 6^2 - 5\\ B &= 36 - 5\\ B &= 31 \end{aligned}$ |
$\begin{aligned} C &= 2\times 2^3 + 3\\ C &= 2\times 8 + 3\\ C &= 16 + 3\\ C &= 19 \end{aligned}$ |
Nous pouvons aussi avoir à tester des égalités entre des expressions littérales, pour une certaine valeur de $x$.
Définition
Égalité :
Une égalité est une écriture constituée de deux expressions (ou membres) séparées par le signe « $=$ ».
- L’expression à gauche du signe « $=$ » est appelée membre de gauche, celle à droite est appelée membre de droite.
Exemple
$$\underbrace{4+5}_{\text{membre de gauche}}=\underbrace{3\times3}_{\text{membre de droite}}$$
À retenir
Une égalité où interviennent des expressions littérales peut être vraie pour certaines valeurs attribuées aux lettres et fausse pour d’autres.
À retenir
Méthode : Comment tester une égalité
Pour tester si une égalité est vraie pour une valeur numérique attribuée à une lettre :
- on calcule, d’une part, la valeur du membre de gauche, en y remplaçant les lettres par leur valeur ;
- Si c’est aussi une expression littérale, on calcule d’autre part la valeur du membre de droite, en y remplaçant les lettres par leur valeur ;
- on regarde si les deux résultats obtenus sont égaux ou non, et on conclut.
Testons l’égalité $A = 3x^2 - 5 = 22$ avec $x = 3$ et $x = 5$.
Pour $x = 3$, $A = 3\times 3^2 - 5 = 3\times 9 - 5 = 27 - 5 = 22$. L’égalité est vraie.
Pour $x = 5$, $A = 3\times 5^2 - 5 = 3\times 25 - 5 = 75 - 5 = 70$. L’égalité n’est pas vraie.
Conclusion
Dans cette leçon, nous avons vu les premières puissances connues :
- Le carré du nombre $a$ est le produit de $a$ par lui-même, c’est-à-dire $a^2 = a\times a$ ;
- Le cube du nombre $a$ est le produit de $a$ par lui-même, deux fois de suite, c’est-à-dire $a^3 = a\times a\times a$.
Nous avons ensuite revu les formules d’aires et de volumes où ces puissances interviennent :
- L’aire d’un carré de côté $c$ est $A = c \times c = c^2$ ;
- L’aire d’un disque de rayon $r$ est $A = \pi r\times r = \pi r^2$ (avec $\pi \approx 3,14$) ;
- Le volume d’un cube de côté $a$ est $V = a\times a\times a = a^3$.
Enfin, nous avons vu des expressions numériques et littérales contenant des puissances et avons rappelé les priorités opératoires pour effectuer des calculs avec ce type de termes :
- Les calculs entre parenthèses.
- Les multiplications et les divisions, avec notamment les puissances.
- Les additions et les soustractions.
