Fiche de révision Puissances
Notion de puissances
Carré d'un nombre
- Le carré d'un nombre est le produit de ce nombre par lui-même : $a^2=a\times a$.
- Exemple : $4^2=4\times4=16$.
- Attention : ne pas confondre $a^2$ (produit) et $2a$ (double).
- Exemple : $5^2=25 \neq 2\times5=10$.
- Formules d'aires utilisant le carré :
- aire d'un carré de côté $c$ : $A=c\times c=c^2$ ;
- aire d'un disque de rayon $r$ : $A=\pi\times r\times r=\pi r^2$ (avec $\pi\approx3,14$).
- L'unité d'aire est l'unité de longueur « au carré » : cm → cm$^2$, m → m$^2$, etc.
- Connaître les carrés des nombres entiers de $0$ à $12$ facilite le calcul mental (y compris avec des décimaux, ex. $0,7^2=0,49$).
Cube d'un nombre
- Le cube d'un nombre est le produit de ce nombre par lui-même, trois fois : $a^3=a\times a\times a$.
- Exemple : $2^3=2\times2\times2=8$.
- Attention : ne pas confondre $a^3$ (produit) et $3a$ (triple).
- Exemple : $5^3=125 \neq 3\times5=15$.
- Formule de volume : volume d'un cube de côté $a$ : $V=a\times a\times a=a^3$.
- L'unité de volume est l'unité de longueur « au cube » : cm → cm$^3$, m → m$^3$, etc.
Exemples de calculs
- On peut aussi écrire un nombre sous forme de carré ou de cube quand c'est possible.
- Exemples : $25=5^2$ ; $64=8^2=4^3$ ; $27=3^3$.
- Remarque : certains nombres s'écrivent à la fois comme un carré et un cube (ex. $64=8^2=4^3$).
Expressions contenant des puissances simples
Dans le calcul numérique
- Priorités opératoires avec des puissances :
- calculs entre parenthèses ;
- puissances, puis multiplications et divisions ;
- additions et soustractions.
- Attention : $2\times5^2-4=46$ est différent de $(2\times5)^2-4=96$ : les parenthèses changent le résultat.
Dans le calcul littéral
- Les expressions littérales peuvent contenir des termes en $x^2$ ou $x^3$ (ex. $A=3x^2-5$).
- Pour calculer une expression pour une valeur de $x$ : respecter les mêmes priorités (parenthèses, puis puissances/multiplications/divisions, puis additions/soustractions).
- Égalité : écriture avec un membre de gauche et un membre de droite séparés par « $=$ ».
- Une égalité avec des lettres peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres.
- Méthode pour tester une égalité :
- calculer la valeur du membre de gauche en remplaçant les lettres ;
- calculer la valeur du membre de droite en remplaçant les lettres ;
- comparer les deux résultats et conclure (égalité vraie ou fausse).
- Exemple : pour $A=3x^2-5$, l'égalité $A=22$ est vraie pour $x=3$ mais fausse pour $x=5$.
