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Marianne

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Calculer une quatrième proportionnelle

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Introduction :

Dans ce cours, nous allons introduire la notion de quatrième proportionnelle.
Nous reverrons d’abord ce qu’est une situation de proportionnalité en rappelant la définition de grandeurs proportionnelles. Nous reverrons ensuite comment caractériser et reconnaitre ces situations à travers un tableau de proportionnalité. Nous introduirons ensuite la notion de quatrième proportionnelle quand il s’agira de compléter un tableau de proportionnalité.

Situation de proportionnalité

Grandeurs proportionnelles

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Définition

Grandeur :

Une grandeur est une caractéristique qui se mesure ou se calcule : une quantité, un prix, une masse, une durée, une longueur…

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Définition

Situation de proportionnalité :

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l’une sont obtenues en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre non nul, appelé coefficient de proportionnalité.
On dit qu’il y a situation de proportionnalité.

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Exemple

  • Le prix d’un pack de lait est proportionnel au prix d’une bouteille de lait : si une bouteille de lait coûte 0,650,65 €, alors un pack de 66 bouteilles de lait coûte 6×0,656\times 0,65 € soit 3,93,9 €.
  • Le prix d’un plein d’essence est proportionnel au volume acheté.
  • L’âge d’une personne n’est pas proportionnel à sa masse : si une personne de 2020 ans pèse 5555 kilos, à 20×320 \times 3 soit 6060 ans, elle ne pèsera pas 55×355 \times 3 soit 165165 kilos !

Caractériser et reconnaître une situation de proportionnalité

Une situation de proportionnalité est généralement caractérisée par un tableau de proportionnalité.

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Définition

Tableau de proportionnalité :

Un tableau de proportionnalité caractérise une situation de proportionnalité. Il contient les valeurs de deux grandeurs proportionnelles.

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Propriété

Dans un tableau de proportionnalité, on obtient les nombres d’une ligne en multipliant les nombres de l’autre ligne par le coefficient de proportionnalité.

MÉTHODOLOGIE

Pour reconnaître une situation de proportionnalité, il suffira de vérifier que son tableau caractéristique est bien un tableau de proportionnalité, c'est-à-dire que tous les quotients des valeurs d’une ligne par les valeurs de l’autre ligne sont égaux.

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Exemple

Les deux tableaux ci-dessous caractérisent-ils une situation de proportionnalité ?

Tableau 1

44 1212 1414
88 2020 2828

Calculons les quotients des valeurs de la 2e ligne par celles de la 1re :
84=2\frac 84 = 2 ; 2012=1,666\frac{20}{12} = 1,666… ; 2814=2\frac{28}{14} = 2.

Tous les quotients ne sont pas égaux.

  • Le tableau 1 n’est donc pas un tableau de proportionnalité.
    Il ne caractérise pas une situation de proportionnalité.

Tableau 2

1010 1212 2525 4545
33 3,63,6 7,57,5 13,513,5

Calculons les quotients des valeurs de la 2e ligne par celles de la 1re :
310=0,3\frac{3}{10} = 0,3 ; 3,612=0,3\frac{3,6}{12} =0,3 ; 7,525=0,3\frac{7,5}{25} = 0,3 ; 13,545=0,3\frac{13,5}{45} = 0,3.

Tous les quotients sont égaux.

  • Le tableau 2 est un tableau de proportionnalité.
    Il caractérise une situation de proportionnalité.

Compléter un tableau de proportionnalité

Pour résoudre un problème de proportionnalité, on demandera généralement de compléter un tableau de proportionnalité, c'est-à-dire de trouver une (ou plusieurs) valeur(s) manquante(s) du tableau.
On parlera de quatrième proportionnelle.

Quatrième proportionnelle

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Définition

Quatrième proportionnelle :

Une quatrième proportionnelle est un nombre manquant dans un tableau de proportionnalité.

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À retenir

Compléter un tableau de proportionnalité consistera donc à calculer une ou plusieurs quatrième(s) proportionnelle(s).

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Exemple

1010 1212 2525 3838 4545
33 3,63,6 7,57,5 ?\text ? 13,513,5

Le tableau ci-dessus étant un tableau de proportionnalité, la valeur ?\text ? est une quatrième proportionnelle.

Calculer une quatrième proportionnelle

Il existe plusieurs méthodes pour calculer une quatrième proportionnelle.

Pour illustrer chacune d’elles, prenons l’exemple suivant.

À la période de Noël, pour chaque sapin vendu, une grande surface reverse une somme fixe à une association caritative.
La somme totale reversée est donc proportionnelle au nombre de sapins vendus.
Voici le tableau de proportionnalité que l’on demande de compléter :

tableau de proportionnalité mathématiques cinquième

Remarque
Pour chaque colonne « complète » du tableau, les quotients de la valeur de la 2e ligne par celle de la 1re sont bien tous égaux :
225150=570380=630420=1,5\frac{225}{150} = \frac{570}{380} = \frac{630}{420} = 1,5

Ce tableau caractérise donc bien une situation de proportionnalité.
Son coefficient est 1,51,5.

  • Il s’agit donc bien de calculer les deux quatrièmes proportionnelles xx et yy.

MÉTHODOLOGIE

Pour calculer une quatrième proportionnelle, on peut :

  • utiliser le passage à l’unité

Pour 150150 sapins vendus, le magasin reverse 225225 €. La situation étant une situation de proportionnalité, on peut affirmer que pour 11 sapin vendu, le magasin reverse 225÷150225 \div 150 € soit 1,51,5 €.
Donc :

  • pour 230230 sapins vendus, le magasin reverse 230×1,5230\times 1,5 € soit 345345 € d’où x=345x= 345 ;
  • pour yy sapins vendus, le magasin reverse 315315 € donc y×1,5=315y \times 1,5= 315 d’où y=315÷1,5=210y = 315 \div 1,5 = 210.
  • utiliser le coefficient de proportionnalité

Le coefficient de proportionnalité a été calculé plus haut : il est égal à 1,51,5 d’où le tableau suivant :

tableau de proportionnalité mathématiques cinquième

Ainsi :

  • la valeur xx est telle que 230×1,5=x230\times 1,5 = x donc x=345x= 345 ;
  • la valeur yy est telle que y×1,5=315y\times 1,5=315 donc y=315÷1,5=210y=315\div 1,5=210.
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Astuce

Le coefficient de proportionnalité permet bien de retrouver la valeur à l’unité : pour 11 sapin vendu, le magasin reverse 1×1,51 \times1,5 € soit 1,51,5 €.

  • utiliser l’additivité

Si des valeurs s’additionnent (ou se soustraient) pour en donner une 3e, alors les valeurs correspondantes s’additionnent (ou se soustraient) également.

tableau de proportionnalité mathématiques cinquième

Ici, on reconnaît que 150+230=380150 + 230 = 380 donc 225+x=570225 + x = 570 d’où x=570225=345x = 570 - 225 = 345.

  • utiliser le coefficient de linéarité

Si deux valeurs sont liées par un coefficient nn (c'est-à-dire si une valeur est égale à une autre multipliée par nn), alors les valeurs correspondantes sont liées par le même coefficient nn.

tableau de proportionnalité mathématiques cinquième

Ici on reconnaît que 315×2=630315 \times 2 = 630 donc y×2=420y \times 2 = 420 d’où y=420÷2=210y = 420 \div 2 = 210.

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À retenir

La méthode de calcul la plus appropriée sera à déterminer en fonction de la situation, des données (relations plus ou moins évidente à reconnaître entre valeurs) et/ou des consignes particulières de résolution.

Conclusion :

Ce cours est très important pour la résolution de problèmes de proportionnalité en 5e.
Nous y avons introduit la notion de quatrièmes proportionnelles et appris différentes méthodes pour les calculer afin de compléter un tableau de proportionnalité.