Raisonnement par récurrence : Résumé et révision - Mathématiques

Le raisonnement par récurrence

Pour démontrer par récurrence qu’une proposition $P$ est vraie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à un entier naturel $n$ 0 $n_{0}$ fixé, on procède en trois étapes.
Avant de commencer, on note $P_n$ la proposition que l’on va démontrer.
Initialisation
On vérifie que $P$ est vraie, c’est-à-dire que la proposition est vraie pour le premier indice $n_0$ .
On dit qu’on a initialisé la récurrence.
Hérédité
On suppose que, pour un entier naturel quelconque $k \geq n$ , $P$ k $P_{k}$ est vraie.
Sous cette hypothèse (dite de récurrence), on démontre que la proposition $P_{k+1}$ est vraie.
On a ainsi prouvé que l’hypothèse de récurrence « $P_n$ vraie » est héréditaire.
Conclusion
Lorsque les deux premières étapes ont été réalisées, on peut conclure.
Par récurrence, la proposition $P$ est vraie pour tout entier naturel $n \geq n$ 0 $n \geq n_{0}$ .

On considère la suite $(u$ définie par $u$ 0 = 1 $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u$ .

Montrons par récurrence que tous les termes de la suite $(u_n)$ sont strictement positifs et que la suite est croissante.

$\begin{aligned} u$

On a bien : $0 < 1 < \sqrt 2$ , donc : $0 < u$ .

La proposition $P_0$ est vraie.
Hérédité
Supposons la proposition $P$ vraie pour un certain entier naturel $k$ , c’est-à-dire : $0 < u$ k\leq u_{k+1} $0 < u_{k} \leq u_{k + 1}$
Montrons que la proposition $P$ est vraie, c’est-à-dire que $0 < u$ {k+1}\leq u_{k+2} $0 < u_{k + 1} \leq u_{k + 2}$ .

Hypothèse de récurrence :	$0 < u$
On ajoute $1$ aux inégalités :	$1 < u$
Comme la fonction racine carrée est strictement croissante sur l’intervalle $[0\ ; +\,\infty[$ , elle ne change pas le sens des inégalités, et on obtient :	$\sqrt1<\sqrt {u$
Soit :	$0 < 1 < u$

Par récurrence, la proposition $P_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$ .

La suite $(u_n)$ est croissante et à termes strictement positifs pour tout entier naturel $n$ .