Cours Repérage sur une droite et dans le plan
Introduction
L’objectif de ce cours est de savoir repérer un nombre relatif sur une droite graduée et de savoir repérer un point dans un plan muni d’un repère orthogonal.
Dans un premier temps, nous apprendrons à repérer un nombre relatif sur une droite graduée, après l’avoir définie.
Dans un deuxième temps, nous verrons comment lire les coordonnées d’un point et placer un point de coordonnées données dans un plan muni d’un repère orthogonal, après l’avoir également défini.
Repérage sur une droite graduée
Repérer des nombres relatifs sur une droite graduée
Vous avez appris en sixième à repérer des nombres positifs (entiers, décimaux et fractionnaires) sur une demi-droite graduée.
Mais, avec les nombres relatifs vus en cinquième, nous allons maintenant apprendre à repérer ces nombres sur une droite graduée.
Définition
Droite graduée :
Une droite graduée est définie par :
- un sens ;
- une origine, souvent notée $O$, à laquelle est associé le nombre $0$ ;
- une unité de longueur, reportée régulièrement des deux côtés de l’origine.
Définition
Abscisse d’un point :
Sur une droite graduée, le nombre associé à un point est appelé abscisse de ce point.
Définition
Valeur absolue d’un nombre relatif :
La valeur absolue d’un nombre relatif est la distance entre l’origine et le point de la droite associé à ce nombre, c’est-à-dire la longueur du segment délimité par l’origine et ce point. Elle est aussi appelée distance à 0 de ce nombre.
Exemple
Le point $A$ a pour abscisse $-3,4$.
- On note : $A\,(-3,4)$.
- La valeur absolue de $-3,4$ est la distance $OA=3,4$.
Le point $B$ a pour abscisse $+3$.
- On note : $B\,(+3)$, ou, plus simplement, $B\,(3)$.
- La valeur absolue de $+3$ est la distance $OB=3$.
Remarque :
Lorsque des nombres relatifs sont placés sur une droite graduée, ils peuvent être classés ensuite par ordre croissant ou décroissant.
Rappel : cas particulier des nombres fractionnaires
- Lire une abscisse fractionnaire
Exemple
Sur cette droite graduée, nous pouvons remarquer que l’unité est divisée en 10 graduations.
Chaque graduation correspond donc à $\frac{1}{10}$.
- L’abscisse du point A est $\frac{7}{10}$. On note A ($\frac{7}{10})$.
- L’abscisse du point B est $-\frac{3}{10}$ car le point B est situé sur la troisième graduation avant 0 (exclus). On note B ($-\frac{3}{10})$.
- L’abscisse du point C est $-\frac{16}{10}$ car le point C est situé sur la seizième graduation avant 0 (exclus). On note C ($-\frac{16}{10}$).
- Placer une abscisse fractionnaire
Exemple
Nous voulons placer les points A ($-\frac{3}{5}$) et B ($\frac{6}{5}$) sur une droite graduée. Nous devons graduer la droite de $\frac{1}{5}$ en $\frac{1}{5}$, c'est-à-dire diviser chaque unité en 5 graduations de même longueur.
Sur cette droite graduée :
- Le point A ($-\frac{3}{5}$) est situé sur la troisième graduation avant 0 (exclus) ;
- Le point B ($\frac{6}{5}$) est situé sur la sixième graduation à partir de 0 (exclus).
Nous obtenons la droite graduée complétée suivante :
Repérage dans le plan
Repère orthogonal et coordonnées d’un point
Nous avons vu comment repérer un point sur une droite, mais nous pouvons aussi avoir besoin de repérer un point dans un plan, comme sur votre feuille de papier.
- Nous avons alors besoin d’un repère orthogonal.
Définition
Repère orthogonal :
Un repère orthogonal est formé par deux droites graduées perpendiculaires, dont les origines coïncident. Ces deux droites sont appelées :
- axe des abscisses ;
- axe des ordonnées.
Définition
Coordonnées d’un point dans un repère :
Dans un repère orthogonal du plan, un point $M$ est repéré par deux nombres relatifs :
- l’un qu’on lit sur l’axe des abscisses, appelé abscisse du point ;
- l’autre qu’on lit sur l’axe des ordonnées, appelé ordonnée du point.
- Ce couple de nombres relatifs est appelé les coordonnées du point.
On note : $M\,(\text{abscisse}\ ;\, \text{ordonnée})$, toujours dans cet ordre.
L’origine a pour coordonnées $(0\ ;\, 0)$.
Regardons maintenant comment on détermine les coordonnées d’un point dans un repère.
À retenir
Méthode : Comment lire les coordonnées d’un point
On considère un point $M$ placé dans un repère orthogonal.
- On trace la parallèle à l’axe des ordonnées qui passe par $M$, et on repère où elle coupe l’axe des abscisses.
- On obtient ainsi l’abscisse de $M$.
- On trace la parallèle à l’axe des abscisses qui passe par $M$, et on repère où elle coupe l’axe des ordonnées.
- On obtient ainsi l’ordonnée de $M$.
- Quand on notera les coordonnées du point, on pensera bien à mettre d’abord l’abscisse, puis l’ordonnée.
Exemple
On a placé les points $A$, $B$, $C$ et $D$ dans un repère orthogonal.
Pour déterminer leurs coordonnées, on suit la méthode indiquée ci-dessus :
On note bien l’abscisse en premier, et on obtient :
$$\textcolor{#4BA912}{A\,(-3\ ;\, 2)}\qquad \textcolor{#CC82B7}{B\,(-2\ ;\, -1)}\qquad \textcolor{#C08C0C}{C\,(4\ ;\, 3)}\qquad \textcolor{#0086BF}{D\,(1\ ;\, -2)}$$
Il est aussi souvent demandé de placer, dans un repère du plan, des points dont les coordonnées sont connues. Donnons là aussi une méthode.
À retenir
Méthode : Comment placer dans un repère un point de coordonnées données
On considère un point $M$ dont on connaît les coordonnées dans un repère orthogonal, que l’on souhaite placer.
- On n’oublie pas que le premier nombre noté est l’abscisse, et le second l’ordonnée.
- On repère son abscisse et le point associé sur l’axe des abscisses.
- On trace une droite parallèle à l’axe des ordonnées qui passe par ce point.
- On repère son ordonnée et le point associé sur l’axe des ordonnées.
- On trace une droite parallèle à l’axe des abscisses qui passe par ce point.
- Le point $M$ est le point d’intersection des deux droites tracées.
Exemple
On cherche à placer les points $A\,(-3\ ;\, 2)$ et $B\,(2\ ;\, -3)$.
On fait bien attention à l’ordre des coordonnées :
- $A$ a pour abscisse $-3$ et pour ordonnée $2$,
- tandis que $B$ a pour abscisse $2$ et pour ordonnée $-3$.
- L’ordre est primordial !
Conclusion
Dans ce cours, nous avons vu qu’une droite graduée était définie par la donnée d’une origine (point O) et d’une unité de longueur (OI avec I le point d’abscisse 1), par un sens et que nous pouvions la graduer à l’aide de nombres relatifs (entiers, décimaux ou éventuellement fractionnaires).
Ensuite, nous avons vu comment lire l’abscisse d’un point sur une droite graduée ou, aussi, placer un point d’abscisse donnée sur une droite graduée.
Enfin, de la même façon, dans un plan muni d’un repère orthogonal, nous avons appris à lire les deux coordonnées d’un point et à y placer un point dont les deux coordonnées sont données.
