Savoir-faire : Savoir étudier une fonction comportant un logarithme népérien de la forme ln(u)

Dérivabilité de $\ln{(u)}$ :

Dans cette partie, on appelle $u$ une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$.

$\ln{(u)}$ n’est définie que lorsque $u$ est strictement positive.

La propriété suivante donne la formule permettant de calculer la dérivée d’une fonction de la forme $\ln{(u)}$ :

$\ln'{(u)}=\dfrac{u'}{u}$

A l’aide d’un exemple nous allons montrer comment étudier une fonction comportant un logarithme népérien de la forme $\ln{(u)}$

Étude de la fonction $f:x\to \ln{(2x+6)}$ sur $I=\rbrack -3 ;+\infty\lbrack$

Calcul de la dérivée $f$

$f'(x)=\dfrac{(2x+6)'}{2x+6}=\dfrac{2}{2x+6}=\dfrac{1}{x+3}$

Etudier le signe de la dérivée 

Le numérateur étant toujours positif, on résout l’inéquation suivante :

$f'(x)\geq0<=>x+3\geq0<=>x\geq-3$, donc $f'$ est positive sur $I=\rbrack -3\ ;+\infty\lbrack$.

Lien avec les variations de la fonction

Pour faire le lien avec les variations de la fonction, on sait que lorsque la dérivée est négative alors la fonction est décroissante et lorsque la dérivée est positive alors la fonction est croissante.

$f$ est donc croissante sur $I$.

Calculer les limites aux bornes de l’ensemble de définition ainsi que le calcul des éventuels extremums

• En $x=-3$ : $\lim\limits_{\stackrel{x \to -3}{x>-3}}(2x+6)=0$ , or $\lim\limits_{\stackrel{x \to 0}{x>0}}\ln{(x)}=-\infty$
• Par composition, on a donc : $\lim\limits_{\stackrel{x \to -3}{x>-3}}f(x)=-\infty$
• En $+\infty :$ $\lim\limits_{x \to +\infty}(2x+6)=+\infty$ or $\lim\limits_{x \to +\infty}\ln{(x)}=+\infty$
• Par composition, on a ainsi : $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$

On peut donc construire le tableau de variations de $f:$