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Second degré

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Introduction :

Les fonctions polynômes du second degré sont vues pour la première fois en seconde. La première partie de ce cours permet de revoir la définition d’une fonction polynôme de degré 22 ainsi que sa forme canonique et ses variations.

La deuxième partie de cette fiche concerne la résolution d’équations et d’inéquations du second degré. La troisième partie enfin porte sur le signe du trinôme et résolution d’une inéquation du second degré

Fonction polynôme du second degré

Définition

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Définition

Fonction polynôme du second degré :

  • Une fonction polynôme de degré 22 est une fonction définie sur R\mathbb{R} dont l’expression algébrique peut être mise sous la forme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a0a \ne0.
  • Les réels a, ba,\ b et cc sont appelés coefficients de la fonction polynôme.
  • L’expression ax2+bx+cax^2+bx+c est la forme développée de f(x)f(x), appelée aussi trinôme du second degré.
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Exemple

  • La fonction f(x)=2x2+3x+1f(x)=-2x^2+3x +1 est un polynôme du second degré. Elle est définie sur R\mathbb{R}. Ses coefficients sont a=2a=- 2 ; b=3b=3 et c=1c=1
  • La fonction g(x)=(x1)(2x+3)g(x)=(x-1)(2x+3) est également un polynôme du second degré mais elle est plus difficile à repérer car elle n’est pas sous sa forme développée.

En utilisant la double distributivité, on transforme :

g(x)=(x1)(2x+3)=2x2+3x2x3g(x)=2x2+x3\begin{aligned} g(x)&=(x-1)(2x+3) \ &=2x^2+3x-2x-3 \ g(x)&=2x^2+x-3 \end{aligned}

Les coefficients sont donc a=2a=2 ; b=1b=1 et c=3c=-3

Forme canonique

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Propriété

Toute fonction polynôme de degré 22 (de forme développée ax2+bx+cax^2+bx+c ) admet une écriture de la forme a(xα)2+βa(x-\alpha)^2+\beta α=b2a\alpha=-\dfrac{b} {2a} et β=f(α)\beta=f (\alpha). Cette écriture est la forme canonique de la fonction polynôme.

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Exemple

f(x)=2x2+4x3f(x)=2x^2+4x-3

α=b2a=42×2=44=1\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{4}{2\times 2}=-\dfrac{4}{4}=-1

β=f(α)=f(1)=2×(1)2+4×(1)3=243=5\begin{aligned}\beta=f (\alpha)&=f(-1)\&=2\times (-1)^2+4\times (-1)-3\&=2-4-3\&=-5\end{aligned}

f(x)=2(x(1))2+(5)=2(x+1)25\begin{aligned}f(x)&= 2(x-(- 1))^2 + (-5)\&= 2(x + 1)^2-5\end{aligned}

  • La forme canonique est donc : f(x)=2(x+1)25f(x) = 2(x + 1)^2-5

Variations d’un polynôme du second degré

Soit ff une fonction polynôme de degré 22, définie sur R\mathbb {R}, par f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a0a\ne0 :

  • Si a>0a>0, ff est strictement décroissante sur ]  α]]-\infty\;\alpha] puis strictement croissante sur [α  +[[\alpha\;+\infty [

ff admet un minimum β\beta, atteint en x=αx=\alpha.

La courbe représentative de ff est une parabole de sommet SS de coordonnées (α  β)(\alpha\;\beta) et avec les branches tournées vers le haut.

  • Si a<0a<0, ff est strictement croissante sur ]  α]]-\infty\;\alpha] puis strictement décroissante sur [α  +[[\alpha\;+\infty [.

ff admet un maximum β\beta , atteint en x=αx=\alpha

La courbe représentative de ff est une parabole de sommet SS de coordonnées (α  β)(\alpha\;\beta) et avec les branches tournées vers le bas.

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Astuce

Pour trouver le minimum et le maximum d’une fonction on peut appliquer un algorithme sur une calculatrice (casio ou TI).

Équation du second degré

Résolution d’une équation du second degré

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Définition

Équation du second degré :

  • Une équation du second degré, d’inconnue xx, est une équation qui peut s’écrire sous la forme ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0aa, bb et cc sont des nombres réels donnés, avec a0a\neq 0.
  • Une solution de cette équation est appelée racine du trinôme ax2+bx+cax^2+bx+c.
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Propriété

Pour résoudre une équation du type ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0, on calcule tout d’abord le discriminant Δ\Delta du trinôme ax2+bx+cax^2+bx+c .

Δ=b24ac\Delta=b^2-4ac

  • Si Δ>0\Delta>0, alors l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 admet deux solutions distinctes :
    x1=bΔ2ax1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}} {2a} et x2=b+Δ2ax2=\dfrac{-b+\sqrt {\Delta}}{2a}
  • Si Δ=0\Delta=0, alors l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 admet une unique solution :
    x0=b2ax_0=-\dfrac{b}{2a}
  • Si Δ<0\Delta<0, alors l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 n’a pas de solution.

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Exemple

  • Résoudre l’équation 5x29x+2=0-5x^2-9x+2=0

Δ=b24ac=(9)24×(5)×2=81+40Δ=121\begin{aligned}\Delta&=b^2-4ac\&=(-9)^2-4\times(-5)\times2\&=81+40\ \Delta&=121 \end {aligned}

Comme Δ\Delta est strictement positif, l’équation admet deux solutions distinctes :

  • x1=bΔ2a=91212×(5)=91110=210=15\begin{aligned}x_1=\dfrac{-b-\sqrt{}\Delta}{2a}&=\dfrac{9-\sqrt{121}}{2\times(-5)}\&=\dfrac{9-11}{-10}\&=\dfrac{-2}{-10}\&=\dfrac{1}{5}\end{aligned}
  • x2=b+Δ2a=9+1212×(5)=9+1110=2010=2\begin{aligned}x_2=\dfrac{-b+\sqrt{}\Delta}{2a}&=\dfrac{9+\sqrt{121}}{2\times(-5)}\&=\dfrac{9+11}{-10} \&=\dfrac{20}{-10}\&=-2\end{aligned}

Donc S={2;15}S= \left\lbrace -2;\dfrac{1}{5} \right\rbrace

  • Résoudre l’équation 13x22x+3=0\dfrac{1}{3}x^2-2x +3=0

Δ=b24ac=(2)24×13×3=44Δ=0\begin{aligned} \Delta&=b^2-4ac \ &=(-2)^2-4\times\dfrac{1}{3}\times3 \ &=4-4 \ \Delta&=0 \end{aligned}

Comme Δ\Delta est nul, l’équation admet une unique solution :

  • x0=b2a=(2)2×13=223=2×32=3x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{(-2)}{2\times\dfrac{1}{3}}=\dfrac{2}{\dfrac{2}{3}}=2\times\dfrac{3}{2}=3

Donc S={3}S={3}.

  • Résoudre l’équation 3x2x+2=03x^2-x+2=0

Δ=b24ac=(1)24×3×2=124Δ=23\begin{aligned} \Delta&=b^2-4ac \ &=(-1)^2-4\times3\times2 \ &=1-24 \ \Delta&=-23 \end{aligned}

  • Comme Δ\Delta est strictement négatif, l’équation n’admet pas de solution.

Donc S=S=\varnothing

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Astuce

Le symbole \varnothing se lit « ensemble vide ».

Factorisation du trinôme

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Propriété

Soit f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a0a\ne0, un trinôme du second degré :

  • Si le discriminant du trinôme est strictement positif (Δ>0\Delta>0), f(x)=a(xx1)(xx2)f(x)=a(x-x1)(x-x2)x1x1 et x2x2 sont les racines du trinôme.
  • Si le discriminant du trinôme est strictement nul (Δ=0\Delta=0), f(x)=a(xx0)2f(x)=a(x-x0)^2x0x0 est la racine du trinôme.
  • Si le discriminant du trinôme est strictement négatif (Δ<0\Delta<0), alors f(x)f(x) ne se factorise pas.
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Exemple

  • Le trinôme 5x29x+2-5x^2-9x+2 admet pour racines le couple S=(2;15)S=(-2 ; \dfrac{1}{5}) ; la forme factorisée est donc :

a(xx1)(xx2)=5(x(2))(x15)=5(x+2)(x15)\begin{aligned}a(x-x1)(x-x2)&=-5\Big(x-\big(-2\big)\Big)\Big(x-\dfrac{1}{5}\Big)\&=-5(x+2)\Big(x-\dfrac{1}{5}\Big)\end{aligned}

  • Le trinôme 13x22x+3\dfrac{1}{3}x^2-2x+3 avait une unique racine S={3}S={3} ; la forme factorisée est donc :

a(xx0)2=13(x3)2a(x-x_0)^2=\dfrac{1}{3}(x-3)^2

  • Le trinôme 3x2x+23x^2-x+2 n’a aucune racine. Il n’existe donc pas de forme factorisée.

Signe du trinôme et résolution d’une inéquation du second degré

Signe du trinôme

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Astuce

Veille à bien ranger les racines dans l’ordre croissant dans la première ligne des tableaux de signes.

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Propriété

On considère le trinôme du second degré ax2+bx+cax^2+bx+c :

  • Dans le cas où Δ>0\Delta>0, le trinôme est du signe de aa sur ] ; x1[]-\infty\ ;\ x1[ et sur ]x2 ; +[]x2\ ;\ +\infty[ et du signe contraire de aa sur ]x1 ; x2[]x1\ ;\ x2[.

  • Dans le cas où Δ=0\Delta=0, le trinôme est du signe de aa pour tout réel xx0x\ne x0 et le trinôme s’annule pour x=x0x=x0.

  • Dans le cas où Δ<0\Delta<0, pour tout réel xx, le trinôme est du signe de aa.

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Exemple

  • Étudier le signe de 5x29x+2-5x^2-9x+2 sur R\mathbb{R}

Le trinôme 5x29x+2-5x^2-9x+2 admet pour racines le couple S={2  15}S=\left\lbrace-2\;\dfrac{1}{5}\right\rbrace, de plus a=5<0a=-5<0 donc le trinôme est négatif à l’extérieur des racines ; ce qui donne le tableau de signes suivant :

  • Étudier le signe de 13x2x+3\dfrac{1}{3}x^2-x+3 sur R\mathbb{R}

Le trinôme 13x2x+3\dfrac{1}{3}x^2-x+3 admet pour racine unique S={3}S={3}, de plus a=13>0a=\dfrac{1}{3}>0 donc le trinôme est positif pour tout x3x\ne 3 ; ce qui donne le tableau de signes suivant :

  • Étudier le signe de 3x2x+23x^2-x+2 sur R\mathbb{R}

Le trinôme 3x2x+23x^2-x+2 n’a aucune racine, de plus a=3>0a=3>0 donc le trinôme est positif pour tout réel xx ; ce qui donne le tableau de signes suivant :

Résolution d’inéquations du second degré

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À retenir

En construisant un tableau de signes il est possible de résoudre n’importe quelle inéquation du second degré.

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Exemple

  • Résoudre l’inéquation 5x29x+20-5x^2-9x+2\geq0

Pour résoudre cette inéquation, on utilise le tableau de signes correspondant, on regarde sur quel intervalle le trinôme est positif et on note l’ensemble solution : S=[2  15]S=[-2\;\dfrac{1}{5}].

  • Résoudre l’inéquation 3x2x+2<03x^2-x+2<0

De même, pour résoudre 3x2x+2<03x^2-x+2<0, on utilmise le tableau de signes correspondant on voit qu’il n’existe aucun intervalle où le trinôme est négatif et on note l’ensemble de solution : S=S=\varnothing.

Conclusion :

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