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Second degré

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Fonction polynôme de degré 2

Définition : fonction polynôme de degré 2

  • Une fonction polynôme de degré 22 est une fonction définie sur RR dont l’expression algébrique peut être mise sous la forme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a0a\neq0.
  • Les réels a,ba, b et cc sont appelés coefficients de la fonction polynôme.
  • L’expression ax2+bx+cax^2+bx+c est la forme développée de f(x)f(x), appelée aussi trinôme du second degré.

Propriété : Forme canonique

La forme canonique de la fonction polynôme de degré 22 est la suivante :
a(xα)2+βa(x-\alpha)^2+\betaα=b2a\alpha=-\dfrac{b}{2a} et β=f(α)\beta=f(\alpha)

Variations d’un polynôme du second degré

Soit ff une fonction polynôme de degré 22, définie sur R, par f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a0a\neq0.

Les variations de ff sont données par les tableaux suivants :

  • Si a>0a>0, ff est strictement décroissante sur ] ;α]]-\infty\ ;\,\alpha] puis strictement croissante sur [α ;+[[\alpha\ ;\,+\infty [

ff admet un minimum β\beta, atteint en x=αx=\alpha.

  • Si a<0a<0, ff est strictement croissante sur ] ;α]]-\infty\ ;\,\alpha] puis strictement décroissante sur [α ;+[[\alpha\ ;\,+\infty [

ff admet un maximum β\beta, atteint en x=αx=\alpha.

  • Pour trouver le minimum et le maximum d’une fonction on peut appliquer un algorithme sur une calculatrice (Casio ou TI).

Équation du second degré

Définition : Résolution d’une équation du second degré

Une équation du second degré, d’inconnue x, est une équation qui peut s’écrire sous la forme ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0a,ba, b et cc sont des nombres réels donnés, avec a0a≠0.
Une solution de cette équation est appelée racine du trinôme ax2+bx+cax^2+bx+c.

Propriété : signe du trinôme

Pour résoudre une équation du type ax2+bx+cax^2+bx+c :

  • on calcule tout d’abord le discriminant Δ\Delta du trinôme ax2+bx+cax^2+bx+c.

Δ=b24ac\Delta=b^2-4ac

  • On utilise ensuite la propriété suivante :
  • Si Δ>0\Delta > 0, alors l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 admet deux solutions distinctes :

x1=bΔ2ax_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}

et

x2=b+Δ2ax_2=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}

  • Si Δ=0\Delta=0, alors l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 admet une unique solution :

x0=b2ax_0=\dfrac{-b}{2a}

  • Si Δ<0\Delta<0, alors l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 n’a pas de solution.

Théorème : factorisation du trinôme

Soit f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, avec a0a\neq 0, un trinôme du second degré.

  • Si Δ>0\Delta>0 (discriminant du trinôme strictement positif), f(x)=a(xx1)(xx2)f(x)=a(x-x1)(x-x2)x1x1 et x2x2 sont les racines du trinôme.
  • Si Δ=0\Delta=0 (discriminant nul), f(x)=a(xx0)2f(x)=a(x-x0)^2x0x0 est la racine du trinôme.
  • Si Δ<0\Delta<0 (discriminant strictement négatif), alors f(x)f(x) ne se factorise pas.

Signe du trinôme et résolution d’une inéquation du second degré

Propriétés : signe du trinôme

On considère le trinôme du second degré ax2+bx+cax^2+bx+c.

  • Dans le cas où Δ>0\Delta>0 :

Le trinôme est du signe de a sur ] ;x1[]-\infty\ ;\,x1[ et sur ]x2 ;+[]x2\ ;\,+\infty[ et du signe contraire de a sur ]x1 ;x2[] x1\ ;\,x2 [.

  • Dans le cas où Δ=0\Delta=0 :

Le trinôme est du signe de a pour tout réel xx0x\neq x0 et le trinôme s’annule pour x=x0x=x0.

  • Dans le cas où Δ<0\Delta<0 :

Pour tout réel xx, le trinôme est du signe de aa.