Sections planes de solides
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Introduction :
Il s’agit ici d’étudier les sections (intersections) de solides par un plan, dans le but notamment de calculer des longueurs, des aires et des volumes dans l’espace.
Nous travaillerons d’abord sur la section d’un pavé droit par un plan, en donnerons les propriétés que nous illustrerons par une application concrète. De la même manière, nous étudierons ensuite la section d’un cylindre, puis celle d’une pyramide ou d’un cône, et enfin la section d’une sphère.
Section d’un pavé droit par un plan
Section d’un pavé droit par un plan
Propriété
La section d’un pavé droit par un plan parallèle à l’une de ses faces est un rectangle identique à cette face.
Section d’un pavé droit par un plan parallèle à la face ABFE
$A^{\prime}B^{\prime}F^{\prime}E^{\prime}$ est un rectangle dont les dimensions sont identiques à celles du rectangle $ABFE$.
Section du pavé droit par un plan parallèle à la face EFGH
$E^{\prime}F^{\prime}G^{\prime}H^{\prime}$ est un rectangle dont les dimensions sont identiques à celles du rectangle $EFGH$.
Propriété
La section d’un pavé droit par un plan parallèle à l’une de ses arêtes est un rectangle dont une des dimensions est égale à la longueur de cette arête.
Section d’un pavé droit par un plan parallèle à l’arête [AE]
La section de $ABCDEFGH$ par $\mathcal{P}$ parallèle à $[AE]$ est le rectangle $MNPQ$, de largeur égale à $AE$.
Exemple
Le pavé droit ci-dessous a été coupé par un plan parallèle à l’arête $[BC]$.
On se propose de calculer le volume du prisme droit $MBFENCGH$.
Section du pavé droit par un plan parallèle à [BC]
Avant toute chose, on remarque que le volume du prisme recherché est égal au volume total du pavé droit moins celui du solide $AMEDNH$.
On commence par calculer le volume du pavé droit :
$$V_{ABCDEFGH}=12 \times 6 \times 8=576$$
- Le volume du pavé droit $ABCDEFGH$ vaut donc $576\ \text{cm}^3$.
La section du pavé droit par un plan parallèle à $[BC]$ est un rectangle de largeur $MN = BC = 6\ \text{cm}$.
$AMEDNH$ est donc un prisme de base triangulaire $AME$ et de hauteur $6\ \text{cm}$.
Son volume est : $V_{AMEDNH}=S_{AME} \times 6$.
Or, la base $AME$ est un triangle rectangle en $A$, d’où :
$$S_{AME}=\dfrac{8\times 9}{2} =36$$
Ainsi :
$$V_{AMEDNH}=36 \times 6=216$$
- Le volume du prisme droit $AMEDNH$ vaut donc $216\ \text{cm}^3$.
On obtient finalement :
$$\begin{aligned} V_{MBFENCGH}&= V_{ABCDEFGH}- V_{AMEDNH} \\ &=576-216 \\ &=360 \end{aligned}$$
- Le volume du prisme droit $MBFENCGH$ vaut donc $360\ \text{cm}^3$.
Section d’un cylindre par un plan
Section d’un cylindre par un plan
Propriété
La section d’un cylindre par un plan parallèle à sa base est un disque identique à celui de sa base.
Section d’un cylindre par un plan parallèle à sa base
Le disque $\mathcal{C^{\prime}}$ est identique au disque $\mathcal{C}$.
Propriété
La section d’un cylindre par un plan parallèle à son axe est un rectangle dont une des dimensions est égale à la hauteur du cylindre.
Section d’un cylindre par un plan parallèle à son axe
La section du cylindre par $\mathcal{P}$ parallèle à $(OI)$ est le rectangle $ABCD$, de longueur égale à $OI$.
Propriété
Cas particulier :
Si le plan passe par l’axe du cylindre, la section est un rectangle dont la largeur est égale au diamètre du cylindre.
Section d’un cylindre par un plan passant par son axe
Exemple
Représentation du solide
Le solide ci-dessus est une pièce en bois fabriquée en série de $1\,000$ pièces. Initialement, c’est un cylindre plein que l’on découpe parallèlement à son axe.
La face sectionnée est destinée à être collée. Pour connaître la quantité de colle nécessaire à la totalité de la série, on nous demande de calculer la surface à encoller d’une unité en $\text{cm}^2$, puis d’une série en $\text{m}^2$.
Cette pièce est un cylindre coupé parallèlement à son axe.
La section $ABCD$ est donc un rectangle dont on connait déjà la longueur : $AB = DC = 4\ \text{cm}$.
Pour calculer sa largeur, il suffit de constater que $BIO$ et $CIO$ sont deux triangles rectangles, dont on peut calculer les longueurs $BI$ et $CI$ à l’aide du théorème de Pythagore.
On sait que $OB=OC=1\ \text{cm}$, car $[OB]$ et $[OC]$ sont des rayons du disque de base. Et la longueur $OI=0,8\ \text{cm}$ est donnée. Ainsi :
$$\begin{aligned} BI^2+IO^2&=OB^2 \\ BI^2&=OB^2-OI^2=1^2-0,8^2=0,36 \\ BI&=\sqrt{0,36}=0,6 \end{aligned}$$
On trouve, de la même façon : $CI=0,6$. Donc :
$$BC=BI+CI=0,6+0,6=1,2$$
La largeur du rectangle de coupe vaut donc $1,2\ \text{cm}$. Et son aire est égale à :
$$S_{ABCD}= AB \times BC=4 \times 1,2=4,8$$
- La surface du rectangle à encoller vaut donc $4,8\ \text{cm}^2$.
- Pour une série de $1\,000$ pièces, la surface totale à encoller est donc égale à :
$$1\,000\times 4,8\ \text{cm}^2=4\,800\ \text{cm}^2=0,48\ \text{m}^2$$
Section d’une pyramide ou d’un cône par un plan
Section d’une pyramide ou d’un cône par un plan
Propriété
Section d’une pyramide par un plan parallèle à sa base
Le polygone $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}E^{\prime}$ est une réduction du polygone $ABCDE$.
Propriété
La section d’un cône par un plan parallèle à sa base est un disque dont le centre appartient à la hauteur du cône.
Section d’un cône par un plan parallèle à sa base
La section du cône par un plan parallèle au disque $\mathcal{C}$ est le disque $\mathcal{C^{\prime}}$ de centre $O^{\prime}$, réduction du disque $\mathcal{C}$.
Exemple
Représentation de la pyramide et de la section
La pyramide ci-dessus est une pyramide régulière de hauteur $6\ \text{cm}$ dont la base est un carré de $4\ \text{cm}$ de côté. On coupe cette pyramide par un plan parallèle à la base $ABCD$ à une hauteur de $3\ \text{cm}$.
On se propose de calculer la surface de la section ainsi que le volume restant.
On coupe cette pyramide par un plan parallèle à sa base, donc la section $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ est un polygone qui est une réduction du polygone de base $ABCD$.
On sait aussi que la pyramide $SA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ est une réduction de la pyramide $SABCD$, réduction dont le rapport est :
$$k=\dfrac{SO^{\prime}}{SO}$$
Or $SO^{\prime}=SO-O^{\prime}O=6-3=3$. D’où :
$$k=\dfrac36=\dfrac12=0,5$$
Dans une réduction de rapport $k$, les surfaces sont multipliées par $k^2$ :
$$\begin{aligned} S_{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}}&=k^2\times S_{ABCD} \\ &=\left(\dfrac 12\right)^2\times 4^2 \\ &=\dfrac 14\times 16 \\ &=4 \end{aligned}$$
- La surface de la section vaut ainsi $4\ \text{cm}^2$.
On calcule maintenant le volume de la pyramide $SABCD$ :
$$\begin{aligned} V_{SABCD}&=\dfrac 13\times S_{ABCD}\times OS \\ &=\dfrac 13\times 16\times 6 \\ &=32 \end{aligned}$$
On en déduit le volume de la pyramide $SA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$, puisque, dans une réduction de rapport $k$, le volume est multiplié par $k^3$ :
$$\begin{aligned} V_{SA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}}&=k^3\times V_{SABCD} \\ &=\left(\dfrac 12\right)^3\times 32 \\ &=\dfrac 18\times 32 \\ &=4 \end{aligned}$$
On obtient ainsi le volume restant :
$$\begin{aligned} V_{\text{restant}}&=V_{SABCD}- V_{SA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}} \\ &=32-4 \\ &=28 \end{aligned}$$
- Le volume du solide après coupe du sommet de la pyramide vaut donc $28\ \text{cm}^3$.
Section d’une sphère par un plan
Section d’une sphère par un plan
Propriété
La section d’une sphère de centre $O$ et de rayon $R$ par un plan est un cercle.
Le centre $H$ de ce cercle est le point d’intersection du plan et de la droite qui lui est perpendiculaire et qui passe par $O$.
Le rayon $r$ de ce cercle est tel que :
$$r^2+OH^2=R^2$$
Section d’une sphère par un plan
Remarque :
Quel que soit le point $M$ du cercle, le triangle $OHM$ est rectangle en $H$. En appliquant le théorème de Pythagore, on a donc bien :
$$r^2+OH^2=R^2$$
Propriété
Cas particulier :
Si $OH = 0$, la section de la sphère par le plan est un cercle de centre $O$ et de rayon $R$. Cette section est appelée grand cercle.
Cas particulier : le plan passe par le centre de la sphère
Propriété
Cas particulier :
Si $OH = R$, alors le plan et la sphère ont un seul point commun. On dit que le plan est tangent à la sphère.
Cas particulier : le plan est tangent à la sphère
Exemple
La position d’un point sur la Terre est donnée par sa latitude et sa longitude.
On recherche le rayon de la section de la Terre au niveau du parallèle passant par les points de latitude $60\degree \text{N}$, en considérant que le rayon de la Terre à l’équateur est $R= 6\,374\ \text{km}$.
Notre problème peut être représenté ainsi, avec $\alpha=60\degree$, $R = 6\,378\ \text{km}$ et $r$ à déterminer.
Représentation du problème
La section d’une sphère par un plan (ici parallèle à l’équateur) est un cercle dont nous recherchons le rayon. Nous sommes en présence d’une situation de Pythagore et nous pouvons écrire :
$$\begin{aligned} r^2+OH^2&=R^2 \\ r^2&=R^2-OH^2 \end{aligned}$$
$OH$ peut être déterminé grâce au sinus de l’angle $\alpha$ :
$$\sin {(\alpha)}=\dfrac{OH}{R}$$
D’où :
$$\begin{aligned} OH&=R \times\sin {(\alpha)} \\ &=6\,378 \times \sin {(60\degree)} \end{aligned}$$
On obtient ainsi :
$$\begin{aligned} r^2&=6\,378^2-\big(6\,378\times \sin{(60\degree)}\big)^2 \\ &= 10\,169\,721 \end{aligned}$$
On en déduit donc :
$$r=\sqrt{10\,169\,721}=3\,189$$
- Le rayon du parallèle $60\degree \text{N}$ est de $3\,189\ \text{km}$.
Conclusion :
Il est important de retenir quelques propriétés des sections de solides par un plan qui peuvent néanmoins se retrouver intuitivement, à force d’entraînement de visualisation de volumes dans l’espace. En parallèle avec le cours sur les effets d’un agrandissement-réduction, l’objectif sera le plus souvent de calculer des longueurs et/ou aires et/ou volumes ; c’est la raison pour laquelle il faut également connaître les différents calculs de grandeurs des figures planes et des solides.