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Sections planes

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Introduction :

Il s'agit ici d'étudier les sections (intersections) de solides par un plan, dans le but notamment de calculer des longueurs, des aires et des volumes dans l'espace.

Nous travaillerons d'abord sur la section d'un pavé droit par un plan, en donnerons les propriétés que nous illustrerons par une application concrète. De la même manière, nous étudierons ensuite la section d'un cylindre, puis celle d'une pyramide ou d'un cône, et enfin la section d'une sphère.

Section d'un pavé droit par un plan

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Propriété

La section d'un pavé droit par un plan parallèle à l'une de ses faces est un rectangle identique à cette face.

section d’un pavé droit par un plan parallèle mathématiques troisième

ABFEA'B'F'E' est un rectangle dont les dimensions sont identiques à celles du rectangle ABFEABFE.

Section d'un pavé droit par un plan mathématiques troisième

EFGHE'F'G'H' est un rectangle dont les dimensions sont identiques à celles du rectangle EFGHEFGH.

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Propriété

La section d'un pavé droit par un plan parallèle à l'une de ses arêtes est un rectangle.

Section d’un pavé droit par un plan parallèle à l’une de ses arêtes mathématiques troisième

La section de ABCDEFGHABCDEFGH par P\mathcal{P} parallèle à [AE][AE] est le rectangle MNPQMNPQ.

bannière exemple

Exemple

Le pavé droit ci-dessous a été coupé par un plan parallèle à l'arête [BC][BC].
On se propose de calculer le volume du prisme droit MBFENCGHMBFENCGH.

Section d'un pavé droit par un plan parallèle à une de ses arêtes mathématiques troisième

Avant toute chose, on remarque que le volume du prisme recherché est égal au volume total du pavé droit moins celui du solide AMEDNHAMEDNH.

  • Le volume du pavé droit ABCDEFGHABCDEFGH est VABCDEFGH=12×6×8=576 cm3V_{ABCDEFGH}=12 \times 6 \times 8=576\ \text{cm}^3
  • La section du pavé droit par un plan parallèle à [BC][BC] est un rectangle d'où MN=EH=6 cmMN = EH = 6\ \text{cm}.
  • AMEDNHAMEDNH est donc un prisme de base triangulaire AMEAME et de hauteur 6 cm6\ \text{cm}
  • Son volume est : VAMEDNH=SAME×6V{AMEDNH}=S{AME} \times 6
  • Or la base AMEAME est un triangle rectangle en AA d'où SAME=(8×9)2=36 cm2S_{AME}=\dfrac{(8\times 9)}{2} =36\ \text{cm}^2
  • Donc VAMEDNH=36×6=216 cm3V_{AMEDNH}=36 \times 6=216\ \text{cm}^3
  • Le volume du prisme recherché est donc VMBFENCGH=576216=360 cm3V_{MBFENCGH}=576-216=360\ \text{cm}^3

Section d'un cylindre par un plan

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Propriété

La section d'un cylindre par un plan parallèle à sa base est un disque identique à celui de sa base.

Section d'un cylindre par un plan parallèle à sa base mathématiques troisième

Le disque C\mathcal{C'} est identique au disque C\mathcal{C}.

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Propriété

La section d'un cylindre par un plan parallèle à son axe est un rectangle.

Section d'un cylindre par un plan parallèle à son axe mathématiques troisième

La section du cylindre par P\mathcal{P} parallèle à (OI)(OI) est le rectangle ABCDABCD.

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Propriété

Cas particulier :

Si le plan passe par l'axe du cylindre, la section est un rectangle dont la largeur est égale au diamètre du cylindre.

Section d'un cylindre par un plan parallèle à son axe mathématiques troisième

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Exemple

Section d'un cylindre par un plan parallèle à son axe mathématiques troisième

Le solide ci-dessus est une pièce en bois fabriquée en série de 10001000 pièces. Initialement, c'est un cylindre plein que l'on découpe parallèlement à son axe.
La face sectionnée est destinée à être collée. Pour connaître la quantité de colle nécessaire à la totalité de la série, on nous demande de calculer la surface à encoller d'une unité en cm2\text{cm}^2, puis de la série en m2\text{m}^2.

Cette pièce est un cylindre coupé parallèlement à son axe.
La section ABCDABCD est donc un rectangle dont on connait déjà la hauteur : AB=DC=4 cmAB = DC = 4\ \text{cm}

Pour calculer sa largeur, il suffit de constater que BIOBIO et CIOCIO sont deux triangles rectangles dont on peut calculer les longueurs BIBI et CICI à l'aide du théorème de Pythagore :
BI2+IO2=OB2BI^2+IO^2=OB^2 et CI2+IO2=OC2CI^2+IO^2=OC^2 avec OB=OC=R=1 cmOB=OC=R= 1\ \text{cm} et OI=0,8 cmOI=0,8\ \text{cm}

D'où BI2=CI2=120,82=0,36BI^2=CI^2=1^2-0,8^2=0,36 donc BI=CI=0,36=0,6 cmBI=CI=\sqrt {0,36}=0,6\ \text{cm}

La largeur du rectangle de coupe est BC=BI+IC=2×0,6=1,2 cmBC = BI + IC = 2 \times 0,6 = 1,2\ \text{cm}

  • La surface du rectangle à encoller est SABCD=AB×BC=4×1,2=4,8 cm2S_{ABCD}= AB \times BC=4 \times 1,2=4,8\ \text{cm}^2
  • Pour une série de 10001000 pièces, la surface totale à encoller sera de 4800 cm24800\ \text{cm}^2 soit S1000=0,48 m2S_{1000}=0,48\ \text{m}^2

Section d'une pyramide ou d'un cône par un plan

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Propriété

La section d'une pyramide par un plan parallèle à sa base est un polygone qui est une réduction du polygone de base.

Section d'une pyramide par un plan parallèle à sa base mathématiques troisième

Le polygone ABCDEA'B'C'D'E' est une réduction du polygone ABCDEABCDE.

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Propriété

La section d'un cône par un plan parallèle à sa base est un disque dont le centre appartient à la hauteur du cône.

Section d'un cône par un plan parallèle à sa base mathématiques troisième

La section du cône par un plan parallèle au disque C\mathcal{C} est le disque C\mathcal{C'} de centre O\mathcal{O'}, réduction du disque C\mathcal{C}.

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Exemple

Section d'une pyramide par un plan parallèle à sa base mathématiques troisième

La pyramide ci-dessus est une pyramide régulière de hauteur 6 cm6\ \text{cm} dont la base est un carré de 4 cm4\ \text{cm} de côté. On coupe cette pyramide par un plan perpendiculaire à la base ABCDABCD à une hauteur de 3 cm3\ \text{cm}.
On se propose de calculer la surface de la section ainsi que le volume restant.

On coupe cette pyramide par un plan parallèle à sa base donc la section ABCDA'B'C'D' est un polygone qui est une réduction du polygone de base ABCDABCD.
On sait aussi que la pyramide SABCDSA'B'C'D' est une réduction de la pyramide SABCDSABCD, réduction dont le rapport est :

  • k=SOSOk=\dfrac{SO'}{SO} or SO=SOOO=63=3SO'=SO-O'O=6-3=3 d'où k=36=12=0,5k=\dfrac36=\dfrac12=0,5

Dans une réduction de rapport kk les surfaces sont multipliées par k2k^2.

  • SABCD=SABCD×k2S{A'B'C'D'}=S{ABCD} \times k^2 avec SABCD=4×4=16 cm2S{ABCD} =4\times 4=16\ \text{cm}^2 d'où SABCD=16×0,52=4 cm2S{A'B'C'D'}=16\times 0,5^2=4\ \text{cm}^2

Le volume restant est Vrestant=VSABCVSABCDV{restant}=V{SABC}-V_{SA'B'C'D'} avec :

  • Volume de la pyramide réduite : VSABCD=13×SABCD×SO=13×4×3=4 cm3V{SA'B'C'D'}=\dfrac{1}{3} \times S{A'B'C'D'} \times SO'=\dfrac{1}{3} \times 4\times 3=4\ \text{cm}^3

Et, sachant que dans une réduction de rapport kk les volumes sont multipliés par k3k^3 :

  • Volume de la pyramide initiale : VSABCD=VSABCDk3=40,5 cm3=32 cm3V{SABCD}=\dfrac{V{SA'B'C'D}}{k^3}=\dfrac{4}{0,5\ \text{cm}^3}=32\text{ cm}^3
  • Le volume restant est Vrestant=324=28 cm3V_{restant}=32-4=28\ \text{cm}^3

Section d'une sphère par un plan

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Propriété

Soit une sphère de centre OO et de rayon RR. Soient un plan PP qui « coupe » la sphère et OHOH sa distance au centre de la sphère.
La section de la sphère par le plan est un cercle de centre HH et de rayon rr tel que r2+OH2=R2r^2+OH^2=R^2

Section d'une sphère par un plan mathématiques troisième

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Astuce

En effet, quel que soit le point MM de ce cercle, le triangle OHMOHM est rectangle en HH. On peut donc utiliser le théorème de Pythagore.

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Propriété

Cas particulier :

Si OH=0OH = 0, la section de la sphère par le plan est un cercle de centre OO et de rayon RR. Cette section est appelée grand cercle.

Section d'une sphère par un plan mathématiques troisième

En effet, le point HH est confondu avec le point OO. Le plan passe par le centre de la sphère et r=Rr=R.

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Propriété

Cas particulier :

Si OH=ROH = R, alors le plan et la sphère ont un seul point commun. On dit que le plan est tangent à la sphère.

Section d'une sphère par un plan mathématiques troisième

En effet, OH=ROH = R d'où r=0r=0. Le cercle de section est réduit à un point : son centre HH.

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Exemple

La position d'un point sur Terre est donnée par sa latitude et sa longitude.
On recherche le rayon de la section de la Terre au niveau du parallèle passant par les points de latitude 60 °N60\ \degree N sachant que le rayon de la Terre à l'équateur est R6374 kmR\approx 6374\ \text{km}.
Notre problème peut être représenté ainsi, avec α=60°\alpha=60\degree, R=6378 kmR = 6378\ \text{km} et rr à déterminer.

Section d'une sphère par un plan mathématiques troisième

La section d'une sphère par un plan (ici parallèle à l'équateur) est bien un cercle et nous recherchons son rayon. Nous sommes en présence d'une situation de Pythagore et nous pouvons écrire :
r2+OH2=R2r^2+OH^2=R^2 soit r2=R2OH2r^2=R^2-OH^2

OHOH peut être déterminé par la définition du sinus d'un angle, ici sinα=OHR\sin \alpha=\dfrac{OH}{R} d'ou
OH=R×sinα=6378×sin60°5523,51 km\begin{aligned} OH&=R \times\sin \alpha\ &=6378 \times \sin 60\degree \ &\approx 5523,51\ \text{km}\end{aligned}

Donc r2=637825523,512=10169721,28r^2=6378^2-5523,51^2=10169721,28 d'où r=10169721,283189 kmr = \sqrt{10169721,28} \approx 3189\ \text{km}

  • Le rayon du parallèle 60°N60\degree N par rapport à l'axe NSNS de la Terre est d'environ 3189 km3189\ \text{km}.

Conclusion :

Il est important de retenir quelques propriétés des sections de solides par un plan qui peuvent néanmoins se retrouver intuitivement, à force d'entraînement de visualisation de volumes dans l'espace. En parallèle avec le cours sur les effets d'un agrandissement-réduction, l'objectif sera le plus souvent de calculer des longueurs et/ou aires et/ou volumes ; c'est la raison pour laquelle il faut également connaitre les différents calculs de grandeurs des figures planes et des solides.