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Programme Collège 5eCours MathématiquesCours : Additionner et soustraire des nombres relatifsAdditionner et soustraire des nombres relatifs
Introduction :
Nous avons vu que les nombres relatifs regroupent les nombres positifs et les nombres négatifs.
Nous allons ici définir les opérations d’addition et de soustraction sur ces nombres relatifs. Nous apprendrons, pour commencer, les méthodes et techniques pour additionner puis soustraire ces nombres. Une fois ces techniques apprises, on verra comment alléger l’écriture d’une suite d’additions et de soustractions et en calculer le résultat.
Remarque :
Dans ce cours, sauf dans la toute dernière partie, on n’écrira pas le signe « + » qui marque un nombre positif ; les signes « + » représenteront alors le signe opératoire de l’addition.
Addition de deux nombres relatifs
Addition de deux nombres relatifs
Additionner deux nombres relatifs de même signe
Additionner deux nombres relatifs de même signe
Propriété
Si deux nombres relatifs sont de même signe, alors leur somme :
- a pour signe le signe commun aux deux nombres ;
- a pour distance à zéro la somme des distances à zéro des deux nombres.
Exemple
- Somme de deux nombres positifs : $\textcolor{#008000}{3,4} \textcolor{#800080}+\textcolor{#008000}{2,5}$
Les deux nombres sont positifs, le résultat sera positif. Et on additionne $3,4$ et $2,5$ :
$$\textcolor{#008000}{3,4} \textcolor{#800080}+\textcolor{#008000}{2,5}=\textcolor{#008000}{5,9}$$
- Somme de deux nombres négatifs : $(\textcolor{#FF0000}{-6,3}) \textcolor{#800080} +(\textcolor{#FF0000}{-3,7})$
Les deux nombres sont négatifs, le résultat sera négatif. Et on additionne $6,3$ et $3,7$ :
$$(\textcolor{#FF0000}{-6,3}) \textcolor{#800080} +(\textcolor{#FF0000}{-3,7})=\textcolor{#FF0000}{-10}$$
Additionner deux nombres relatifs de signes contraires
Additionner deux nombres relatifs de signes contraires
Propriété
Si deux nombres relatifs sont de signes contraires, alors leur somme a :
- pour signe le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro ;
- pour distance à zéro la différence des distances à zéro des deux nombres : la plus grande moins la plus petite.
Exemple
- On cherche à calculer : $\textcolor{#FF0000}{-3}\textcolor{#800080}+\textcolor{#008000}{7}$.
- Comme $7>3$, le résultat aura le signe de $\textcolor{#008000}{7}$, il sera donc positif.
- La différence des distances à zéro est : $7-3=4$.
- $\textcolor{#FF0000}{-3} \textcolor{#800080}+ \textcolor{#008000}{7}=\textcolor{#008000}{4}$.
- On cherche à calculer : $\textcolor{#008000}{2}\textcolor{#800080}+(\textcolor{#FF0000}{-8})$.
- Comme $8 > 2$, le résultat aura le signe de $\textcolor{#FF0000}{-8}$, il sera donc négatif.
- La différence des distances à zéro est : $8-2=6$.
- $\textcolor{#008000}{2}+(\textcolor{#FF0000}{-8})=\textcolor{#FF0000}{-6}$.
Il existe un cas particulier : la somme de deux nombres opposés.
Rappel
Deux nombres opposés ont des signes contraires et des distances à zéro égales.
Propriété
Dire que deux nombres relatifs sont opposés revient à dire que leur somme est égale à zéro.
Exemple
- $-7$ et $7$ sont des nombres opposés.
- $- 7 + 7 = 0$.
- De même, $4,1$ et $-4,1$ sont des nombres opposés.
- $4,1 + (-4,1) = 0$.
Somme de plusieurs termes
Somme de plusieurs termes
Propriété
Pour calculer une somme de plusieurs termes, on peut :
- modifier l’ordre des termes ;
- regrouper différemment les termes.
Exemple
- $3 + (-7) = -4$.
- $-7 + 3 = -4$.
- L’ordre des termes est modifié, mais la somme ne change pas.
Exemple
$\begin{aligned} A& = \purple{-6 + 4,3} + (-2,3) \\ A& = \purple{-1,7} + (-2,3) \\ A& = -4 \end{aligned}$
$$\text{et}$$
$\begin{aligned} A &= -6 + \blue {4,3+ (-2,3)} \\ A &= -6 + \blue{2} \\ A &= -4 \end{aligned}$
- On regroupe différemment les termes, mais la somme ne change pas.
Astuce
En règle générale, on choisit de regrouper les nombres d’une façon qui facilite les calculs lorsque c’est possible.
Ainsi, dans le dernier exemple, on préférera utiliser la deuxième façon de calculer $A$, car on voit assez rapidement que $4,3+(-2,3)=2$, ce qui permet de travailler avec des entiers pour le dernier calcul. Tandis que, avec la première technique, on manipule à chaque calcul des nombres décimaux non entiers.
Soustraction de deux nombres relatifs
Soustraction de deux nombres relatifs
Méthode
Méthode
Propriété
Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.
Exemple
- On cherche à calculer : $2-7$.
- L’opposé de $7$ est $-7$. On obtient donc :
$$2 - 7 = 2 + (-7) = -5$$
- On cherche à calculer : $8-(-2)$
- L’opposé de $-2$ est $2$. On obtient donc :
$$8 - (-2) =8+2= 10$$
On peut noter que, dans l’opération $8\red -(\green-2)$ :
- le premier signe « $\red -$ » représente l’opération de soustraction ;
- le second « $\green -$ » est le marqueur d’un nombre négatif.
Distance entre deux points
Distance entre deux points
Propriété
On considère, sur une droite graduée, deux points.
Effectuer la soustraction de leurs abscisses (la plus grande moins la plus petite) permet de déterminer la distance entre les deux points.
À retenir
Une distance est toujours positive.
Exemple
On place sur une droite graduée trois points :
- $M$, d’abscisse $-3,2$ ;
- $N$, d’abscisse $-1,7$ ;
- $P$, d’abscisse $2,6$.
Représentation de la droite graduée et des points M, N et P
Nous cherchons à déterminer les distances $MN$, $MP$ et $NP$.
- $-1,7 > -3,2$.
- $MN=-1,7-(-3,2)=-1,7+3,2=1,5$.
- $2,6 > -3,2$.
- $MP=2,6-(-3,2)=2,6+3,2=5,8$.
- $2,6 > -1,7$.
- $NP=2,6-(-1,7)=2,6+1,7=4,3$.
Suite d’additions et de soustractions
Suite d’additions et de soustractions
Méthode
Méthode
À retenir
Pour effectuer une suite d’additions et de soustractions entre nombres relatifs, on peut commencer par transformer les soustractions en additions, puis on regroupe les termes de manière à faciliter les calculs – on peut aussi regrouper, d’une part, les nombres positifs et, d’autre part, ceux négatifs.
Astuce
Si on a des nombres opposés, on peut les « supprimer », car leur somme est nulle, ce qui permet de simplifier encore les calculs.
Exemple
On cherche à calculer :
$$B=7,2-12,3-(-2,7)+(-4,1) +2+12,3-9,5$$
- On transforme les soustractions en additions :
$$\begin{aligned} B&=7,2\red -12,3\red -(-2,7)+(-4,1) +2+12,3\red -9,5 \\ B&=7,2\red +(-12,3)\red +2,7+(-4,1) +2+12,3\red +(-9,5) \end{aligned}$$
- On peut remarquer que deux termes de la somme, $-12,3$ et $12,3$, sont opposés, leur somme est donc nulle :
$$\begin{aligned} B&=7,2+(\green{-12,3}) +2,7+(-4,1) +2+\green{12,3} +(-9,5) \\ B&=7,2 +2,7+(-4,1) +2+(-9,5)+\green{\cancel{12,3}} +(\green{\cancel{-12,3}}) \\ B&=7,2 +2,7+(-4,1) +2+(-9,5) \end{aligned}$$
- Enfin, on peut regrouper les termes positifs et les termes négatifs :
$$\begin{aligned} B&=\blue{7,2} +\blue{2,7}+(\purple{-4,1}) +\blue 2+(\purple{-9,5}) \\ B&=\blue{7,2} +\blue{2,7}+\blue 2+(\purple{-4,1})+(\purple{-9,5}) \\ B&=\blue{11,9}+(\purple{-13,6}) \\ B&=-1,7 \end{aligned}$$
Astuce
Une suite d’additions et de soustractions entre nombres relatifs est appelée somme algébrique, car tout soustraction d’un nombre relatif peut être remplacée par l’addition de son opposé.
Alléger l’écriture d’une opération
Alléger l’écriture d’une opération
On sait maintenant additionner et soustraire des nombres relatifs, et ces calculs vous deviendront, à force d’entraînement, automatiques. Vous apprendrez ainsi à effectuer directement les soustractions. Il est alors possible d’alléger l’écriture, en notant les éléments suivants :
- $\green {+ (+…)}$ devient $\green{+ …}$ : l’ajout d’un gain est un gain.
- $\pink{+ (-…)}$ devient $\pink{- …}$ : l’ajout d’une perte est une perte.
- $\orange{- (+…)}$ devient $\orange{- …}$ : le retrait d’un gain est une perte.
- $\purple{-(-…)}$ devient $\purple{+ …}$ : le retrait d’une perte est un gain.
À retenir
On peut ainsi établir la règle des signes suivante :
- deux « $\green +$ » qui se suivent deviennent un « $\green +$ » ;
- un « $\pink +$ » suivi d’un « $\pink -$ » devient un « $\pink -$ » ;
- un « $\orange -$ » suivi d’un « $\orange +$ » devient un « $\orange -$ » ;
- deux « $\purple -$ » qui se suivent deviennent un « $\purple +$ ».
Exemple
On cherche à simplifier puis calculer : $C = -12 + (-25) - (-3 ) - (+7 ) + (+8)$.
- On applique la règle des signes ci-dessus :
$$\begin{aligned}C&= -12 \pink{+} (\pink{-}25) \purple{-} (\purple{-}3 ) \orange{-} (\orange{+}7 ) \green{+} (\green{+}8)\\ C&= -12 \pink{-} 25 \purple{+} 3 \orange{-} 7 \green{+} 8\end{aligned}$$
- On effectue le calcul :
- on peut effectuer, d’un côté, les soustractions et, de l’autre, les additions :
$$\begin{aligned}C&= \purple{-12 - 25}\blue{ + 3}\purple{ - 7}\blue{ + 8}\\ C&=\purple{-12-25-7}\blue{+3+8}\\ C&= \purple{-44}\blue{+ 11}\\ C&=-33\end{aligned}$$
- on peut commencer par grouper les deux derniers termes :
$$\begin{aligned}C&=-12-25 + 3 \red{- 7 + 8}\\ C&=-12-25 +3\red{+1}\\ C&=-37+4 \\ C&=-33\end{aligned}$$
Conclusion :
On sait maintenant comment additionner et soustraire des nombres relatifs. On a aussi vu une règle des signes qui permet d’alléger l’écriture d’une opération.
Cette règle des signes illustre d’ailleurs le propos du mathématicien indien Brahmagupta (VIIe siècle) : « Une dette retranchée du néant devient un bien et un bien retranché du néant devient une dette. »