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Programme Collège 5eCours MathématiquesCours : Additionner et soustraire des nombres relatifsCours Additionner et soustraire des nombres relatifs
Introduction :
Nous avons vu que les nombres relatifs regroupent les nombres positifs et les nombres négatifs.
Nous allons ici définir les opérations d’addition et de soustraction sur ces nombres relatifs. Nous apprendrons, pour commencer, les méthodes et techniques pour additionner puis soustraire ces nombres. Une fois ces techniques apprises, nous verrons comment alléger l’écriture d’une suite d’additions et de soustractions et en calculer le résultat.
Remarque :
Dans ce cours, sauf dans la toute dernière partie, nous n’écrirons pas le signe « + » qui marque un nombre positif ; les signes « + » représenteront alors le signe opératoire de l’addition.
Addition de deux nombres relatifs
Addition de deux nombres relatifs
Additionner deux nombres relatifs de même signe
Additionner deux nombres relatifs de même signe
Propriété
Si deux nombres relatifs sont de même signe, alors leur somme :
- a pour signe le signe commun aux deux nombres ;
- a pour valeur absolue la somme des valeurs absolues des deux nombres.
Exemple
- Somme de deux nombres positifs : $\textcolor{#008000}{3,4} \textcolor{#800080}+\textcolor{#008000}{2,5}$
Les deux nombres sont positifs, le résultat sera positif. Et nous additionnons $3,4$ et $2,5$ :
$$\textcolor{#008000}{3,4} \textcolor{#800080}+\textcolor{#008000}{2,5}=\textcolor{#008000}{5,9}$$
- Somme de deux nombres négatifs : $(\textcolor{#FF0000}{-6,3}) \textcolor{#800080} +(\textcolor{#FF0000}{-3,7})$
Les deux nombres sont négatifs, le résultat sera négatif. Et nous additionnons $6,3$ et $3,7$ :
$$(\textcolor{#FF0000}{-6,3}) \textcolor{#800080} +(\textcolor{#FF0000}{-3,7})=\textcolor{#FF0000}{-10}$$
Additionner deux nombres relatifs de signes contraires
Additionner deux nombres relatifs de signes contraires
Propriété
Si deux nombres relatifs sont de signes contraires, alors leur somme a :
- pour signe le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue ;
- pour valeur absolue la différence des valeurs absolues des deux nombres : la plus grande moins la plus petite.
Exemple
- Nous cherchons à calculer : $\textcolor{#FF0000}{-3}\textcolor{#800080}+\textcolor{#008000}{7}$.
- Comme $7>3$, le résultat aura le signe de $\textcolor{#008000}{7}$, il sera donc positif.
- La différence des valeurs absolues est : $7-3=4$.
- $\textcolor{#FF0000}{-3} \textcolor{#800080}+ \textcolor{#008000}{7}=\textcolor{#008000}{4}$.
- Nous cherchons à calculer : $\textcolor{#008000}{2}\textcolor{#800080}+(\textcolor{#FF0000}{-8})$.
- Comme $8 > 2$, le résultat aura le signe de $\textcolor{#FF0000}{-8}$, il sera donc négatif.
- La différence des valeurs absolues est : $8-2=6$.
- $\textcolor{#008000}{2}+(\textcolor{#FF0000}{-8})=\textcolor{#FF0000}{-6}$.
Il existe un cas particulier : la somme de deux nombres opposés.
Rappel
Deux nombres opposés ont des signes contraires et des valeurs absolues égales.
Propriété
Dire que deux nombres relatifs sont opposés revient à dire que leur somme est égale à zéro.
Exemple
- $-7$ et $7$ sont des nombres opposés.
- $- 7 + 7 = 0$.
- De même, $4,1$ et $-4,1$ sont des nombres opposés.
- $4,1 + (-4,1) = 0$.
Somme de plusieurs termes
Somme de plusieurs termes
Propriété
Pour calculer une somme de plusieurs termes, nous pouvons :
- modifier l’ordre des termes ;
- regrouper différemment les termes.
Exemple
- $3 + (-7) = -4$.
- $-7 + 3 = -4$.
- L’ordre des termes est modifié, mais la somme ne change pas.
Exemple
$\begin{aligned} A& = \purple{-6 + 4,3} + (-2,3) \\ A& = \purple{-1,7} + (-2,3) \\ A& = - (1,7 + 2,3) \\ A& = -4 \end{aligned}$
$$\text{et}$$
$\begin{aligned} A &= -6 + \blue {4,3+ (-2,3)} \\ A &= -6 + \blue{2} \\ A &= - (6 - 2) \\ A &= -4 \end{aligned}$
- Nous regroupons différemment les termes, mais la somme ne change pas.
Astuce
En règle générale, nous choisissons de regrouper les nombres d’une façon qui facilite les calculs lorsque c’est possible.
Ainsi, dans le dernier exemple, nous préférerons utiliser la deuxième façon de calculer $A$, car nous voyons assez rapidement que $4,3+(-2,3)=2$, ce qui permet de travailler avec des entiers pour le dernier calcul. Avec la première technique, en revanche, nous manipulons à chaque étape des nombres décimaux non entiers.
Soustraction de deux nombres relatifs
Soustraction de deux nombres relatifs
Propriété
Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.
Exemple
- Nous cherchons à calculer : $2-7$.
- L’opposé de $7$ est $-7$. Nous obtenons donc :
$$2 - 7 = 2 + (-7) = - ( 7 - 2) = -5$$.
- Nous cherchons à calculer : $8-(-2)$
- L’opposé de $-2$ est $2$. Nous obtenons donc :
$$8 - (-2) =8+2= 10$$.
Nous pouvons noter que, dans l’opération $8\red -(\green-2)$ :
- le premier signe « $\red -$ » représente l’opération de soustraction ;
- le second « $\green -$ » est le marqueur d’un nombre négatif.
Suite d’additions et de soustractions
Suite d’additions et de soustractions
Méthode
Méthode
À retenir
Pour effectuer une suite d’additions et de soustractions entre nombres relatifs, nous pouvons commencer par transformer les soustractions en additions, puis regrouper les termes de manière à faciliter les calculs – nous pouvons aussi regrouper, d’une part, les nombres positifs et, d’autre part, ceux négatifs.
Astuce
Si on a des nombres opposés, nous pouvons les « supprimer », car leur somme est nulle, ce qui permet de simplifier encore les calculs.
Exemple
Nous cherchons à calculer :
$$B=7,2-12,3-(-2,7)+(-4,1) +2+12,3-9,5$$
- Nous transformons les soustractions en additions :
$$\begin{aligned} B&=7,2\red -12,3\red -(-2,7)+(-4,1) +2+12,3\red -9,5 \\ B&=7,2\red +(-12,3)\red +2,7+(-4,1) +2+12,3\red +(-9,5) \end{aligned}$$
- Nous pouvons remarquer que deux termes de la somme, $-12,3$ et $12,3$, sont opposés, leur somme est donc nulle :
$$\begin{aligned} B&=7,2+(\green{-12,3}) +2,7+(-4,1) +2+\green{12,3} +(-9,5) \\ B&=7,2 +2,7+(-4,1) +2+(-9,5)+\green{\cancel{12,3}} +(\green{\cancel{-12,3}}) \\ B&=7,2 +2,7+(-4,1) +2+(-9,5) \end{aligned}$$
- Enfin, nous pouvons regrouper les termes positifs et les termes négatifs :
$$\begin{aligned} B&=\blue{7,2} +\blue{2,7}+(\purple{-4,1}) +\blue 2+(\purple{-9,5}) \\ B&=\blue{7,2} +\blue{2,7}+\blue 2+(\purple{-4,1})+(\purple{-9,5}) \\ B&=\blue{11,9}+(\purple{-13,6}) \\ B&= - (13,6 - 11,9) \\ B&=-1,7 \end{aligned}$$
Astuce
Une suite d’additions et de soustractions entre nombres relatifs est appelée somme algébrique, car toute soustraction d’un nombre relatif peut être remplacée par l’addition de son opposé.
Alléger l’écriture d’une opération
Alléger l’écriture d’une opération
Nous savons maintenant additionner et soustraire des nombres relatifs, et ces calculs vous deviendront, à force d’entraînement, automatiques. Vous apprendrez ainsi à effectuer directement les soustractions. Il est alors possible d’alléger l’écriture, en notant les éléments suivants :
- $\green {+ (+…)}$ devient $\green{+ …}$ : l’ajout d’un gain est un gain.
- $\pink{+ (-…)}$ devient $\pink{- …}$ : l’ajout d’une perte est une perte.
- $\orange{- (+…)}$ devient $\orange{- …}$ : le retrait d’un gain est une perte.
- $\purple{-(-…)}$ devient $\purple{+ …}$ : le retrait d’une perte est un gain.
À retenir
Nous pouvons ainsi établir la règle des signes suivante :
- deux « $\green +$ » qui se suivent deviennent un « $\green +$ » ;
- un « $\pink +$ » suivi d’un « $\pink -$ » devient un « $\pink -$ » ;
- un « $\orange -$ » suivi d’un « $\orange +$ » devient un « $\orange -$ » ;
- deux « $\purple -$ » qui se suivent deviennent un « $\purple +$ ».
Exemple
Nous cherchons à simplifier puis calculer : $C = -12 + (-25) - (-3 ) - (+7 ) + (+8)$.
- Nous appliquons la règle des signes ci-dessus :
$$\begin{aligned}C&= -12 \pink{+} (\pink{-}25) \purple{-} (\purple{-}3 ) \orange{-} (\orange{+}7 ) \green{+} (\green{+}8)\\ C&= -12 \pink{-} 25 \purple{+} 3 \orange{-} 7 \green{+} 8\end{aligned}$$
- Nous effectuons le calcul :
- Nous pouvons effectuer, d’un côté, les soustractions et, de l’autre, les additions :
$$\begin{aligned}C&= \purple{-12 - 25}\blue{ + 3}\purple{ - 7}\blue{ + 8}\\ C&=\purple{-12-25-7}\blue{+3+8}\\ C&= \purple{-44}\blue{+ 11}\\ C&= - (44 - 11) \\ C&=-33\end{aligned}$$
- Nous pouvons commencer par grouper les deux derniers termes :
$$\begin{aligned}C&=-12-25 + 3 \red{- 7 + 8}\\ C&=-12-25 +3\red{+1}\\ C&=-37+4 \\ C&= - (37 - 4) \\ C&=-33\end{aligned}$$
Exemples d’applications
Exemples d’applications
Exemple
Il s’agit de compléter la pyramide ci-dessous, en partant du principe que le nombre dans une case est égal à la somme des nombres qui se trouvent dans les deux cases en-dessous.
En partant du bas, les nombres de la deuxième ligne sont respectivement :
- $(-9) + 3 = -(9 - 3) = -6$ ;
- $3 + 1 = 4$ ;
- $1 + (-8) = -(8 - 1) = -7$ ; Nous obtenons la pyramide partiellement complétée suivante.
Les nombres de la troisième ligne sont respectivement :
- $(-6) + 4 = -(6 - 4) = -2$ ;
- $4 + (-7) = -(7 - 4) = -3 $; Nous obtenons la pyramide partiellement complétée suivante.
Le nombre en haut de la pyramide est :
- $(-2) + (-3) = -(2 + 3) = -5$. Nous obtenons la pyramide complétée.
Exemple
On donne ci-dessous le profil de la 20ème étape du Tour de France 2026 entre le Bourg d’Oisans et l’Alpe d’Huez, avec des dénivelés entre différents endroits du parcours. Le Bourg d’Oisans est situé à 713 m d’altitude. Quelle est l’altitude de l’Alpe d’Huez ?
L’altitude de l’Alpe d’Huez est :
$$ \begin{aligned} A &= 713 + 1\,354 - 1\,483 + 2\,058 - 1\,506 + 714 \\ A &= 713 + 1\,354 + 2\,058 + 714 - 1\,483 - 1\,506 \\ &\qquad \text{en regroupant d'une part les termes positifs et d'autre part les termes négatifs} \\ A &= 4\,839 - 2\,989 \\ &\qquad \text{en effectuant d'une part la somme des termes positifs et d'autre part la somme des termes négatifs} \\ A &= 1\,850 \\ &\qquad \text{en effectuant la soustraction.} \end{aligned} $$
L’altitude de l’Alpe d’Huez est de 1 850 m.
Conclusion :
Nous savons maintenant comment additionner et soustraire des nombres relatifs. Nous avons aussi vu une règle des signes qui permet d’alléger l’écriture d’une opération.
Cette règle des signes illustre d’ailleurs le propos du mathématicien indien Brahmagupta (VIIe siècle) : « Une dette retranchée du néant devient un bien et un bien retranché du néant devient une dette. »
