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Introduction :
Dans la première partie de ce cours, nous allons voir quelques définitions et propriétés importantes sur la transformation de variables aléatoires, après avoir fait quelques rappels de première.
Rappelons-nous que nous avons étudié, dans le cours précédent, la loi de probabilité associé à un schéma de Bernoulli, à savoir la loi binomiale. Nous allons voir comment calculer l’espérance, la variance et l’écart-type de la loi binomiale, grâce à des outils très puissants donnés par la linéarité de l’espérance et l’additivité de la variance (dans le cas des variables aléatoires indépendantes). Ceci sera l’objet de la deuxième partie.
Enfin, toujours grâce à ces mêmes outils, nous établirons plus généralement l’expression de l’espérance, de la variance et de l’écart-type de la somme et de la moyenne d’un échantillon de taille d’une loi de probabilité.
Transformation de variables aléatoires
Nous allons tout d’abord faire quelques rappels de ce que nous avons appris sur les variables aléatoires.
Rappels
Commençons par redonner la définition d’une variable aléatoire.
Variable aléatoire :
Une variable aléatoire réelle définie sur l’univers est une fonction, notée , qui associe un réel à chaque éventualité de l’univers . On a donc :
À une variable aléatoire, nous pouvons associer sa loi de probabilité.
Loi de probabilité d’une variable aléatoire :
Soit une variable aléatoire discrète sur qui prend les valeurs , , …, .
Définir la loi de probabilité de , c’est donner les valeurs de probabilités pour tout entier , avec .
Nous pouvons maintenant redonner la définition de l’espérance d’une variable aléatoire.
Espérance d’une variable aléatoire :
Soit une variable aléatoire discrète sur qui prend les valeurs , , …, . On note la valeur de la probabilité pour tout .
On appelle espérance de le nombre réel, noté , défini par :
Nous pouvons aussi rappeler les définitions de la variance et de l’écart-type d’une variable aléatoire.
Variance et écart-type d’une variable aléatoire :
La variance de la variable aléatoire est le réel positif, noté , défini par :
Prenons un exemple pour bien revoir ces notions, en considérant le petit jeu suivant.
On lance une pièce de monnaie parfaitement équilibrée. On gagne si on obtient pile et on perd si on obtient face.
Variables aléatoires indépendantes
Comme nous l’avons fait pour les événements ou les épreuves, nous allons ici définir l’indépendance de variables aléatoires indépendantes.
Indépendance de variables aléatoires :
Prenons deux variables aléatoires et respectivement définies sur les univers et .
et sont dites indépendantes si tout événement lié à la variable aléatoire est indépendant de tout événement lié à la variable aléatoire .
Nous pouvons généraliser cette notion d’indépendance à variables aléatoires.
Prenons variables aléatoires , …, respectivement définies sur les univers , …, .
Elles sont dites mutuellement indépendantes (ou indépendantes) si, pour tous , …, :
Les variables aléatoires deux à deux indépendantes ne sont pas nécessairement mutuellement indépendantes.
Transformation affine
Nous avons rappelé plus haut les formules pour calculer l’espérance et la variance d’une variable aléatoire. Ces formules peuvent entraîner des calculs assez lourds. Nous allons voir dans ce paragraphe des propriétés qui vont nous permettre d’alléger ces calculs.
Transformation affine d’une variable aléatoire :
Soit une variable aléatoire définie sur un univers , qui prend les valeurs , , …, . Et soit et deux réels.
La variable aléatoire définie par est aussi une variable aléatoire, qui prend, pour tout allant de à , les valeurs .
Et nous avons alors les propriétés suivantes.
Soit une variable aléatoire.
Soit une variable aléatoire définie par , avec et deux réels.
Nous avons alors :
Nous allons maintenant voir un exemple qui va donner une méthodologie pour simplifier les calculs de l’espérance et de la variance d’une variable aléatoire.
Une entreprise produit des vis. Un de ses modèles doit avoir pour pas de vis une distance théorique de (c’est-à-dire que, pour chaque tour, la vis avancera, ou reculera, de ).
Une vis est régulièrement tirée, au hasard, de la production, afin de mesurer le pas de vis. À cause des erreurs de mesure, ces distances peuvent légèrement varier.
Nous considérons la variable aléatoire qui associe, à toute vis extraite, la mesure de son pas de vis, dont la loi de probabilité est donnée dans ce tableau :
Au vu des valeurs données par la loi de probabilité, nous nous rendons vite compte que les calculs de l’espérance et de la variance vont être assez lourds. Nous allons donc introduire une nouvelle variable aléatoire. Nous cherchons donc :
Nous définissons ainsi la variable aléatoire .
Nous pouvons maintenant donner la loi de probabilité de , avec, pour tout compris entre et , (les probabilités ne changent évidemment pas) :
Par linéarité de l’espérance, nous obtenons :
Nous avons donc , avec . Avec la propriété sur la variance donnée ci-dessus, nous obtenons :
Pour vous convaincre de la simplification dans les calculs que l’introduction de permet, vous pouvez déterminer et sans passer par …
Somme de variables aléatoires
Pour bien comprendre cette notion de somme de variables aléatoires, nous allons suivre en fil rouge, tout au long de ce paragraphe, l’exemple détaillé d’un jeu qui se déroule en deux tirages indépendants (et obligatoires).
Considérons les variables aléatoires suivantes :
est une variable aléatoire définie sur .
est une variable aléatoire définie sur .
Ce qui nous intéresse, c’est le nombre de points obtenus après les deux tirages. Pour cela, nous considérons maintenant la variable aléatoire , qui donne ce nombre total de points.
Somme de variables aléatoires :
Soit et deux variables aléatoires.
La variable aléatoire définie par prend pour valeurs les sommes possibles des valeurs prises par et .
Reprenons notre petit jeu.
La variable aléatoire est définie sur l’univers :
Pour déterminer les valeurs que peut prendre en fonction des valeurs prises par et , nous pouvons utiliser le tableau à deux entrées suivant :
Dans le paragraphe suivant, nous allons découvrir des propriétés qui nous permettront de calculer l’espérance et la variance de sans avoir à déterminer sa loi de probabilité.
En utilisant le tableau que nous venons de donner, nous voyons par exemple que, pour obtenir un total de points, il faut d’abord tirer une boule rouge – on perd points –, puis une boule noire – on perd points :
De la même façon, pour obtenir un total de point, il faut soit tirer une boule rouge – on perd points – et une boule verte – on gagne points –, soit tirer une boule blanche – on gagne points – et une boule noire – on perd points.
En outre, les tirages étant indépendants, et sont indépendantes.
Nous calculons de la même façon les autres probabilités, et nous obtenons la loi donnée par :
Indicateurs d’une somme de deux variables aléatoires
Comme nous l’avons fait pour la transformation affine, nous pouvons donner, pour la somme, les propriétés suivantes.
Soit et deux variables aléatoires.
Soit une variable aléatoire définie par .
Alors l’espérance de est donnée par :
Si de plus et sont indépendantes, nous avons la relation d’additivité de la variance :
Reprenons une nouvelle fois le jeu précédent, et calculons l’espérance et la variance de .
On pourrait vérifier ces calculs en calculant et à partir de la loi de probabilité de que nous avons donnée plus haut.
Pour calculer les indicateurs d’une variable aléatoire, il est parfois plus simple de la décomposer en une somme de deux autres variables aléatoires, dont les espérance et variance sont plus simples à calculer.
Imaginons ainsi que, en guise d’exercice, nous ayons eu le même jeu détaillé en énoncé, et que l’on nous ait demandé si ce jeu est équitable.
Il est alors inutile de calculer la loi de probabilités de , puis, au terme de calculs assez fastidieux, de donner l’espérance.
Pour précision finale, l’espérance de étant égale à , le jeu n’est pas équitable et il est en défaveur du joueur.
Espérance, variance et écart-type de la loi binomiale
Dans le cours précédent, nous avons découvert la loi de Bernoulli et la loi binomiale. Nous allons ici donner les propriétés pour déterminer les indicateurs d’une variable aléatoire suivant cette dernière. Puis nous donnerons un petit exemple pour appliquer les propriétés données ci-dessous.
Propriétés
Soit , , …, des variables aléatoires indépendantes définies sur le même univers et suivant toutes la même loi de Bernoulli de paramètre , notée .
Alors, leur somme suit une loi binomiale de paramètres et , notée .
On rappelle que la loi binomiale compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli.
Chaque () prend deux valeurs, ou , avec une probabilité de prendre la valeur .
Donc, lorsque l’on réalise successivement épreuves indépendantes de Bernoulli, la somme (des résultats) est égale au nombre de succès obtenus lors de ces épreuves.
Nous admettons la propriété suivante.
Soit une variable aléatoire suivant une loi binomiale .
Alors peut s’écrire comme une somme de variables aléatoires indépendantes suivant la même loi de Bernoulli.
,
Nous pouvons maintenant donner les propriétés qui nous permettront de calculer l’espérance et la variance d’une variable aléatoire suivant une loi binomiale.
Soit
Alors, on a :
En utilisant les propriétés que nous avons vues dans ce cours et celles pour l’espérance et la variance d’une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli, nous pouvons démontrer facilement ces dernières propriétés.
Par hypothèse,
Donc, d’après la propriété vue plus haut, il existe
Par ailleurs, pour tout entier
En outre, $X_1$, $X_2$, …, $X_n$ sont indépendantes.
Il est plus pratique d’utiliser ces dernières propriétés pour calculer l’espérance, la variance et l’écart-type d’une variable aléatoire suivant une loi binomiale.
Pour cela, on commence toujours par justifier que
Nous allons traiter un exemple, pour montrer une application de cette méthode.
Exemple
Un institut politique souhaite constituer des groupes de réflexion, chacun de
Ces
Connaissant le taux de participation à ce premier tour, que nous considérons comme égal à
La propriété donnée plus haut nous dit que nous pouvons alors écrire
Nous connaissons donc les paramètres de la loi binomiale suivie par
De la même façon, nous avons :
Il est ainsi inutile de déterminer les probabilités de toutes les valeurs que peut prendre
Somme de variables aléatoires identiques
Plus généralement, nous allons voir dans cette partie comment calculer l’espérance et la variance d’une variable aléatoire
Comme dans la deuxième partie, nous allons d’abord donner les définitions et les propriétés, avant de les appliquer sur un exemple.
Définition et propriétés
Échantillon de taille
Soit
On appelle échantillon de taille
On lance
Les dés sont équilibrés, donc ces variables aléatoires suivent la même loi de probabilité, donnée par le tableau suivant :
Soit
Soit
Soit
Nous avons alors :
Comme les
Les
Soit
Soit
Nous avons alors :
Nous allons nous servir des propriétés que nous venons de voir pour
Exemple
Considérons un nouveau jeu, avec une roue (non truquée) qui peut tourner sur elle-même et une aiguille (qui, elle, est fixe). Cette roue est un disque divisé en trois portions :
Contre une somme de
À chaque lancer de roue, les conditions sont les suivantes :
Définissons la variable aléatoire
Nous voyons que
Soit
Nous pouvons alors écrire :
Considérons la variable aléatoire
Nous calculons maintenant son espérance, sa variance et son écart-type :
Pour cela, nous utilisons tout simplement (et rapidement) les propriétés que nous venons de voir, avec
L’espérance de
Mais, attention,
Par linéarité de l’espérance, nous obtenons :
Par ailleurs, nous avons trouvé pour
En effet, par exemple, si nous tombons à
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons vu comment définir une somme de variables aléatoires. Nous avons également vu que les calculs de l’espérance et de la variance d’une variable aléatoire peuvent être simplifiés, par transformation affine ou en la décomposant comme somme de variables aléatoires indépendantes.
Et c’est grâce à cette décomposition que nous avons pu calculer l’espérance et la variance de la loi binomiale.