Suites arithmétiques et géométriques
Introduction :
Nous avons déjà vu, dans une précédente leçon, la définition d'une suite numérique et les différentes expressions possibles ainsi que les méthodes pour déterminer leur sens de variation. Nous avons également introduit la notion de limite d'une suite.
Dans cette leçon, nous allons poursuivre le travail sur les suites : nous parlerons tout d'abord des suites arithmétiques puis nous aborderons les suites géométriques.
Suites arithmétiques
Suites arithmétiques
Définition et propriétés
Définition et propriétés
Définition
Suite arithmétique :
Une suite $(u_n)$ est arithmétique si et seulement si il existe un réel $r$ tel que, pour tout $n∈\mathbb N$ : $$u_{n+1}=u_n+r$$
Le nombre $r$ est appelé raison de la suite $(u_n).$
- Pour passer d'un terme au suivant on ajoute toujours le même nombre $r$
Propriété
On considère une suite $(u_n)$ de premier terme $u_0$ et de raison $r$.
Alors, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n=u_0+nr$
Exemple
Soit une suite arithmétique de 1er terme $u_0=2$ et de raison $3$.
$u_n=2+n×3=2+3n$
Attention
On ne connaît pas toujours le premier terme.
Propriété
Plus généralement (parce qu'on ne connaît pas toujours le premier terme), on a pour tout $n∈\mathbb N$ et pour tout $p∈\mathbb N : $ $u_n=u_p+(n-p)r$
Exemple
Soit une suite arithmétique de raison $5$ et dont on connaît $u_2=3$.
$\begin{aligned}u_n&=u_2+(n-2)×r\\&=3+(n-2)×5\\&=3+5n-10\\&=-7+5n\end{aligned}$
Sens de variation et représentation graphique
Sens de variation et représentation graphique
Propriété
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ :
- Si $r>0$, la suite $(u_n)$ est croissante ;
- Si $r<0$, la suite $(u_n)$ est décroissante ;
- Si $r=0$, la suite $(u_n)$ est constante.
Cette propriété est une conséquence immédiate de la définition d'une suite arithmétique puisque la raison représente la différence entre deux termes consécutifs de la suite : $r=u_{n+1}-u_n$.
Exemple
Si $r>0,$ cela signifie que $u_{n+1}-u_n>0$ et donc que $u_{n+1}>u_n$.
Dans ce cas, chaque terme est plus grand que le précédent, la suite est donc croissante.
À retenir
Une suite arithmétique de raison $r$ est représentée graphiquement par des points alignés sur une droite de coefficient directeur $r$.
Somme de termes consécutifs
Somme de termes consécutifs
Propriété
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique. La formule suivante donne la somme des termes consécutifs :
$S=(\text{nombre de termes}) \times \dfrac{(\text{premier terme + dernier terme})}2$
Exemple
On cherche à calculer $S=4+14+24+34+…+284$
La première étape est de reconnaître les termes d'une suite arithmétique (ici de raison $10$). $u_0=4\ ;\ u_1=14\ ;\ …\ ;\ u_{28}=284$
D'après la formule précédente :
$\begin{aligned} S&=(\text{nombre de termes})\ \times \dfrac{(\text{premier terme + dernier terme})}2 \\ S&=29×\dfrac{(4+284)}2 \\ S&=29×144\\ \ S&=4 176 \end{aligned}$
Attention
On remarque que le premier terme est $0$ et le dernier $28$ ; le nombre de termes est donc 29.
Propriété
Suites géométriques
Suites géométriques
Définition et propriétés
Définition et propriétés
Définition
Suite géométrique :
Une suite $(u_n)$ est géométrique si et seulement si il existe un réel $q$ tel que, pour tout $n∈\mathbb N$ : $u_{n+1}=u_n×q$.
Le nombre $q$ est appelé raison de la suite $(u_n)$.
- Pour passer d'un terme au suivant on multiplie toujours par le nombre $q$
Propriété
On considère une suite $(u_n)$ de premier terme $u_0$ et de raison $q$. Alors, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n=u_0×q^n$
Exemple
Soit une suite géométrique de 1er terme $u_0=2$ et de raison $3$.
$u_n=2×3^n$.
Propriété
Plus généralement (parce qu'on ne connaît pas toujours le premier terme), on a pour tout $n∈\mathbb N$ et pour tout $p∈\mathbb N$ : $u_n=u_p×q^{n-p}$
Exemple
Soit une suite géométrique de raison $5$ et on connaît $u_2=3$.
$u_n=u_2×q^{n-2}=3×5^{n-2}$.
Sens de variation et représentation graphique
Sens de variation et représentation graphique
Propriété
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme non nul et de raison $q$. Il y a plusieurs cas possibles :
- Si $q>1$ :
- Si $u_0>0$, la suite $(u_n)$ est croissante.
Suite croissante
- Si $u_0<0$, la suite $(u_n)$ est décroissante.
Suite décroissante
- Si $q=1$, la suite $(u_n)$ est constante.
- Si $0 < q < 1$
- Si $u_0 > 0$, la suite $(u_n)$ est décroissante.
Suite décroissante
- Si $u_0 < 0$, la suite $(u_n)$ est croissante.
Suite croissante
- Si $q=0$, la suite $(u_n)$ est constante et vaut $0$ à partir du second terme.
- Si $q<0$, la suite $(u_n)$ n'a pas de variations régulières ; on dit qu'elle n'est pas monotone.
Somme de termes consécutifs
Somme de termes consécutifs
Propriété
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q \neq 1$.
La formule suivante donne la somme des termes consécutifs :
$S=(\text{premier terme})×\dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$
Exemple
On considère la suite géométrique $(u_n)$ de premier terme $u_0=256$ et de raison $\dfrac{3}4$.
On cherche à calculer $S_{10}=u_0+u_1+u_2+…+u_{10}$
D'après la formule précédente :
$\begin{aligned} S&=(\text{premier terme})×\dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q} \\ S&=256×\frac{1-\big(\dfrac{3}{4}\big)^{11}}{1-\dfrac{3}{4}} \\ S&=256×\dfrac{1-\big(\dfrac{3}{4}\big)^{11}}{\dfrac{1}{4}} \\ S&=256×4×\bigg[1-\bigg(\dfrac{3}{4}\bigg)^{11}\bigg] \\ S&=1024×\bigg[1-\bigg(\dfrac{3}{4}\bigg)^{11}\bigg] \\ \end{aligned}$
Attention
On remarque que le premier terme est $0$ et le dernier $10$ ; le nombre de termes est donc $11$.
De la première propriété, il est facile de déduire une seconde qui permettra de calculer directement la somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique de raison $q≠1$ :
Propriété
Soit un entier naturel $n$ non nul et $q$ un réel différent de $1$.
Alors : $1+q+q^2+q^3+…+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
Limite de $q^n$
Limite de $q^n$
Le théorème sur la limite de $q^n$ permet d'étudier la limite de n'importe quelle suite géométrique.
Théorème
Soit $q$ un réel différent de $1$ :
- Si $q>1$, la suite $(q^n)$ diverge vers $+\infty$.
- Si $-1 < q < 1$, la suite $(q^n)$ converge vers $0$.
- Si $q≤-1$, la suite $(q^n)$ diverge et n'admet pas de limite.
- De ce théorème, nous pouvons déduire la limite de toute suite géométrique de raison $q≠1$ et telle que $u_0\neq 0$.
Propriété
Propriétés :
- Si $q >1$ :
- Si $u_0 > 0$, la suite $(u_n)$ a pour limite $+\infty$
- Si $u_0 < 0$, la suite $(u_n)$ a pour limite $-\infty$
- Si $-1 < q < 1$, la suite $(u_n)$ converge vers $0$
- Si $q ≤ -1$, la suite $(u_n)$ diverge et n'admet pas de limite.