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Suites arithmétiques et géométriques

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Suites arithmétiques et géométriques

Suites arithmétiques

Définition :

  • Une suite (un)(u_n )(un​) est arithmétique si et seulement si il existe un réel rrr tel que, pour tout n∈Nn \in Nn∈N∶

un+1=un+ru_{n+1}=u_n+run+1​=un​+r

Le nombre rrr est appelé raison de la suite (un)(u_n)(un​).

  • On considère une suite (un)(u_n )(un​) de premier terme u0u_0u0​ et de raison rrr.

Alors, pour tout entier naturel nnn, on a : un=u0+nru_n=u_0+nrun​=u0​+nr

Plus généralement, on a pour tout n∈Nn \in Nn∈N et pour tout p∈Np \in Np∈N∶ un=up+(n−p)ru_n=u_p+(n-p)run​=up​+(n−p)r

Propriété : sens de variation de la suite unu_nun​

Soit (un)(u_n )(un​) une suite arithmétique de raison rrr.

  • Si r>0r > 0r>0, la suite (un)(u_n)(un​) est croissante ;
  • si r<0r < 0r<0, la suite (un)(u_n)(un​) est décroissante ;
  • si r=0, la suite (un)(u_n )(un​) est constante.

Une suite arithmétique de raison rrr est représentée graphiquement par des points alignés sur une droite de coefficient directeur rrr.

Propriété : somme des termes consécutifs

La formule suivante donne la somme des termes consécutifs :
S=(nombre de termes)×(premier terme + dernier terme)2S=(\text{nombre de termes}) \times \dfrac{(\text{premier terme + dernier terme})}2S=(nombre de termes)×2(premier terme + dernier terme)​

En particulier, si nnn est un entier naturel non nul. Alors la somme des nnn premiers entiers non nuls est :
1+2+3+…+n=n(n+1)21+2+3+…+n=\dfrac{n(n+1)}21+2+3+…+n=2n(n+1)​

La somme des nnn premiers entiers peut aussi être calculée par un algorithme sur la calculatrice (Casio ou TI).

Suites géométriques

Définition :

  • Une suite (un)(u_n )(un​) est géométrique si et seulement si il existe un réel qqq tel que, pour tout n∈Zn \in Zn∈Z :

un+1=un×qu_{n+1}=u_n \times qun+1​=un​×q

Le nombre qqq est appelé raison de la suite (un).(u_n).(un​).

  • On considère une suite (un)(u_n )(un​) de premier terme u0u_0u0​ et de raison qqq.

Alors, pour tout entier naturel nnn, on a :

un=u0×qnu_n=u_0 \times q^nun​=u0​×qn

Plus généralement, on a pour tout n∈Nn \in Nn∈N et pour tout p∈Np \in Np∈N : un=up×qn−pu_n=u_p \times q^{n-p}un​=up​×qn−p

Propriété : Sens de variation

Soit (un)(u_n )(un​) une suite géométrique de premier terme non nul et de raison qqq.

  • Si q>1q > 1q>1 et u0>0u_0 > 0u0​>0, la suite (un)(u_n)(un​) est croissante.
  • Si q>1q > 1q>1 et u0<0u_0 < 0u0​<0, la suite (un)(u_n )(un​) est décroissante.
  • Si q=1q = 1q=1, la suite (un)(u_n)(un​) est constante.
  • Si 0<q<10 < q < 10<q<1 et u0>0u_0 > 0u0​>0, la suite (un)(u_n)(un​) est décroissante.
  • Si 0<q<10 < q < 10<q<1 et u0<0u_0 < 0u0​<0, la suite (un)(u_n )(un​) est croissante.
  • Si q=0q = 0q=0, la suite (un)(u_n)(un​) est constante et vaut 000 à partir du second terme.
  • Si q<0q<0q<0, la suite (un)(u_n )(un​) n’a pas de variations régulières.

Propriété : somme de termes consécutifs

Soit (un)(u_n )(un​) une suite géométrique de raison q≠1q \neq 1q≠1. La formule suivante donne la somme des termes consécutifs :

S=(premier terme)×1−qnombre de termes1−qS=(\text{premier terme})×\dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}S=(premier terme)×1−q1−qnombre de termes​

En particulier pour nnn entier naturel non nul et qqq réel différent de 111.

Alors : 1+q2+q3+…+qn=1−qn+11−q1+q^2+q^3+…+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}1+q2+q3+…+qn=1−q1−qn+1​

Propriété : limite de qnq^nqn

Soit q un réel différent de 1.

  • Si q>1q > 1q>1, la suite (qn)(q^n )(qn) diverge vers +∞+\infty+∞.
  • Si −1<q<1-1 < q < 1−1<q<1, la suite (qn)(q^n )(qn) converge vers 000.
  • Si q≤−1q \leq -1q≤−1, la suite (qn)(q^n )(qn) diverge et n’admet pas de limite.

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Cette fiche de révision fait appel aux contenus suivants

Ensemble des nombres réels

Définition

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Calcul de la somme des n premiers entiers - CASIO

Algorithme

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Calcul de la somme des n premiers entiers - TI

Algorithme

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