Fiche de révision

Suites arithmétiques

Définition :

• Une suite $(u_n )$ est arithmétique si et seulement si il existe un réel $r$ tel que, pour tout $n \in N$∶

$u${n+1}=un+r

Le nombre $r$ est appelé raison de la suite $(u_n)$.

• On considère une suite $(u$n )(un​) de premier terme $u$0 et de raison $r$.

Alors, pour tout entier naturel $n$, on a : $u$n=u0+nr

Plus généralement, on a pour tout $n \in N$ et pour tout $p \in N$∶ $u$n=up+(n-p)r

0r > 0, la suite $(u_n)$ est croissante ;

• si $r < 0$, la suite $(u_n)$ est décroissante ;
• si r=0, la suite $(u_n )$ est constante.

Une suite arithmétique de raison $r$ est représentée graphiquement par des points alignés sur une droite de coefficient directeur $r$.

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La somme des $n$ premiers entiers peut aussi être calculée par un algorithme sur la calculatrice (Casio ou TI).

Suites géométriques

Définition :

• Une suite $(u_n )$ est géométrique si et seulement si il existe un réel $q$ tel que, pour tout $n \in Z$ :

$u${n+1}=un \times q

Le nombre $q$ est appelé raison de la suite $(u_n).$

• On considère une suite $(u$n )(un​) de premier terme $u$0 et de raison $q$.

Alors, pour tout entier naturel $n$, on a :

$u$n=u0 \times q^n

Plus généralement, on a pour tout $n \in N$ et pour tout $p \in N$ : $u$n=up \times q^{n-p}

1q > 1 et $u$0 > 0u0​>0, la suite $(u$n) est croissante.

• Si $q > 1$ et $u$0 < 0u0​<0, la suite $(u$n ) est décroissante.
• Si $q = 1$, la suite $(u_n)$ est constante.
• Si $0 < q < 1$ et $u$0 > 0u0​>0, la suite $(u$n) est décroissante.
• Si $0 < q < 1$ et $u$0 < 0u0​<0, la suite $(u$n ) est croissante.
• Si $q = 0$, la suite $(u_n)$ est constante et vaut $0$ à partir du second terme.
• Si $q<0$, la suite $(u_n )$ n’a pas de variations régulières.

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1q > 1, la suite $(q^n )$ diverge vers $+\infty$.

• Si $-1 < q < 1$, la suite $(q^n )$ converge vers $0$.
• Si $q \leq -1$, la suite $(q^n )$ diverge et n’admet pas de limite.

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