Suites arithmétiques et géométriques

Suites arithmétiques

Définition :

Une suite $(u_n )$ est arithmétique si et seulement si il existe un réel $r$ tel que, pour tout $n \in N$∶

$u_{n+1}=u_n+r$

Le nombre $r$ est appelé raison de la suite $(u_n)$.

Alors, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n=u_0+nr$

Plus généralement, on a pour tout $n \in N$ et pour tout $p \in N$∶ $u_n=u_p+(n-p)r$

Propriété : sens de variation de la suite $u_n$

Soit $(u_n )$ une suite arithmétique de raison $r$.

Une suite arithmétique de raison $r$ est représentée graphiquement par des points alignés sur une droite de coefficient directeur $r$.

Propriété : somme des termes consécutifs

La formule suivante donne la somme des termes consécutifs :
$S=(\text{nombre de termes}) \times \dfrac{(\text{premier terme + dernier terme})}2$

En particulier, si $n$ est un entier naturel non nul. Alors la somme des $n$ premiers entiers non nuls est :
$1+2+3+…+n=\dfrac{n(n+1)}2$

La somme des $n$ premiers entiers peut aussi être calculée par un algorithme sur la calculatrice (Casio ou TI).

Définition :

Une suite $(u_n )$ est géométrique si et seulement si il existe un réel $q$ tel que, pour tout $n \in Z$ :

$u_{n+1}=u_n \times q$

Le nombre $q$ est appelé raison de la suite $(u_n).$

Alors, pour tout entier naturel $n$, on a :

$u_n=u_0 \times q^n$

Plus généralement, on a pour tout $n \in N$ et pour tout $p \in N$ : $u_n=u_p \times q^{n-p}$

Propriété : Sens de variation

Soit $(u_n )$ une suite géométrique de premier terme non nul et de raison $q$.

Si $q > 1$ et $u_0 > 0$, la suite $(u_n)$ est croissante.
Si $q > 1$ et $u_0 < 0$, la suite $(u_n )$ est décroissante.
Si $q = 1$, la suite $(u_n)$ est constante.
Si $0 < q < 1$ et $u_0 > 0$, la suite $(u_n)$ est décroissante.
Si $0 < q < 1$ et $u_0 < 0$, la suite $(u_n )$ est croissante.
Si $q = 0$, la suite $(u_n)$ est constante et vaut $0$ à partir du second terme.
Si $q<0$, la suite $(u_n )$ n’a pas de variations régulières.

Propriété : somme de termes consécutifs

Soit $(u_n )$ une suite géométrique de raison $q \neq 1$. La formule suivante donne la somme des termes consécutifs :

$S=(\text{premier terme})×\dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$

En particulier pour $n$ entier naturel non nul et $q$ réel différent de $1$.

Alors : $1+q^2+q^3+…+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$

Propriété : limite de $q^n$

Soit q un réel différent de 1.