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Suites arithmétiques et géométriques

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Suites arithmétiques

Définition :

  • Une suite (un)(u_n ) est arithmétique si et seulement si il existe un réel rr tel que, pour tout nNn \in N

un+1=un+ru{n+1}=un+r

Le nombre rr est appelé raison de la suite (un)(u_n).

  • On considère une suite (un)(un ) de premier terme u0u0 et de raison rr.

Alors, pour tout entier naturel nn, on a : un=u0+nrun=u0+nr

Plus généralement, on a pour tout nNn \in N et pour tout pNp \in Nun=up+(np)run=up+(n-p)r

Propriété : sens de variation de la suite unu_n

Soit (un)(u_n ) une suite arithmétique de raison rr.

  • Si r<mo

0r > 0, la suite (un)(u_n) est croissante ;

  • si r<0r < 0, la suite (un)(u_n) est décroissante ;
  • si r=0, la suite (un)(u_n ) est constante.

Une suite arithmétique de raison rr est représentée graphiquement par des points alignés sur une droite de coefficient directeur rr.

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Propriété : somme des termes consécutifs

La formule suivante donne la somme des termes consécutifs :
S=(nombre de termes)×(premier terme + dernier terme)2S=(\text{nombre de termes}) \times \dfrac{(\text{premier terme + dernier terme})}2

En particulier, si nn est un entier naturel non nul. Alors la somme des nn premiers entiers non nuls est :
1+2+3++n=n(n+1)21+2+3+…+n=\dfrac{n(n+1)}2

La somme des nn premiers entiers peut aussi être calculée par un algorithme sur la calculatrice (Casio ou TI).

Suites géométriques

Définition :

  • Une suite (un)(u_n ) est géométrique si et seulement si il existe un réel qq tel que, pour tout nZn \in Z :

un+1=un×qu{n+1}=un \times q

Le nombre qq est appelé raison de la suite (un).(u_n).

  • On considère une suite (un)(un ) de premier terme u0u0 et de raison qq.

Alors, pour tout entier naturel nn, on a :

un=u0×qnun=u0 \times q^n

Plus généralement, on a pour tout nNn \in N et pour tout pNp \in N : un=up×qnpun=up \times q^{n-p}

Propriété : Sens de variation

Soit (un)(u_n ) une suite géométrique de premier terme non nul et de raison qq.

  • Si q<mo

1q > 1 et u0>0u0 > 0, la suite (un)(un) est croissante.

  • Si q>1q > 1 et u0<0u0 < 0, la suite (un)(un ) est décroissante.
  • Si q=1q = 1, la suite (un)(u_n) est constante.
  • Si 0<q<10 < q < 1 et u0>0u0 > 0, la suite (un)(un) est décroissante.
  • Si 0<q<10 < q < 1 et u0<0u0 < 0, la suite (un)(un ) est croissante.
  • Si q=0q = 0, la suite (un)(u_n) est constante et vaut 00 à partir du second terme.
  • Si q<0q<0, la suite (un)(u_n ) n’a pas de variations régulières.

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Propriété : somme de termes consécutifs

Soit (un)(u_n ) une suite géométrique de raison q1q \neq 1. La formule suivante donne la somme des termes consécutifs :

S=(premier terme)×1qnombre de termes1qS=(\text{premier terme})×\dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}

En particulier pour nn entier naturel non nul et qq réel différent de 11.

Alors : 1+q2+q3++qn=1qn+11q1+q^2+q^3+…+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}

Propriété : limite de qnq^n

Soit q un réel différent de 1.

  • Si q<mo

1q > 1, la suite (qn)(q^n ) diverge vers ++\infty.

  • Si 1<q<1-1 < q < 1, la suite (qn)(q^n ) converge vers 00.
  • Si q1q \leq -1, la suite (qn)(q^n ) diverge et n’admet pas de limite.

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