Fiche de révision : Suites de matrices colonnes

Suite de matrices

• Soit $m$ un entier naturel.
• Une suite de matrices colonnes est une suite de matrices de taille $m\times 1$ (que nous simplifierons en disant « de taille $m$ ») dont les coefficients sont des suites numériques.
• Soit par exemple $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ des suites définies pour tout entier naturel $n$.
• $(U_n)$ définie ci-dessous pour tout entier naturel $n$ est une suite de matrices colonnes de taille $3$ :

$$U_n=\begin{pmatrix} u_n \\ v_n \\w_n \end{pmatrix}$$

• Soit les suites $(u_n)$ et $(v_n)$, dites « couplées », de premiers termes respectifs $u_0$ et $v_0$, et définies pour tout $n\in \mathbb N$ par :

$$\begin{cases} u_{n+1}=\textcolor{#1E90FF} au_n+\textcolor{#B22222}bv_n+\textcolor{#9400D3}c & \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[$a$, $b$, $c$ réels]}}} \\ v_{n+1}=\textcolor{#3CB371}du_n+\textcolor{#FFA500}ev_n+\textcolor{#BDB76B}f & \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[$d$, $e$, $f$ réels]}}} \end{cases}$$

• Nous pouvons alors définir la suite de matrices colonnes $(U_n)$, de taille $2$, par récurrence, avec $A$ une matrice carrée d’ordre $2$ et $B$ une matrice colonne de taille $2$.
  Nous avons $U_0=\binom {u_0}{v_0}$ et, pour tout $n\in \mathbb N$ :

$$\begin{aligned} U_{n+1}&=A\times U_n+B \\ \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Avec\ : }}A&=\begin{pmatrix} \textcolor{#1E90FF}a & \textcolor{#B22222}b \\ \textcolor{#3CB371}d & \textcolor{#FFA500}e \end{pmatrix} \\ B&=\begin{pmatrix} \textcolor{#9400D3}c \\ \textcolor{#BDB76B}f \end{pmatrix} \\ U_n&=\begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ pour tout $n\in \mathbb N$}}} \end{aligned}$$

• Soit $A$ une matrice carrée d’ordre $m$.
  Soit $(U_n)$ une suite de matrices colonnes de taille $m$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $U_{n+1}=A\times U_n$.
• Alors, pour tout entier naturel $n$ : $U_n=A^n\times U_0$.
• Soit $(U_n)$ une suite de matrices colonnes de taille $m$.
• $(U_n)$ est convergente si et seulement si chacune des suites numériques qui constituent ses coefficients est convergente. Sinon, la suite est divergente.
• Si cette suite est convergente et si $l_1$, $l_2$, …, $l_m$ sont les limites respectives des $m$ suites numériques qui constituent ses coefficients, alors sa limite est la matrice colonne de taille $m$ :

$$L=\begin{pmatrix} l_1 \\ l_2 \\ \vdots \\ l_n \end{pmatrix}$$

• Soit $A$ une matrice carrée d’ordre $m$, et $C$ une matrice colonne de taille $m$.
  Soit $(U_n)$ une suite de matrices colonnes de taille $m$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $U_{n+1}=A\times U_n+C$.
• Si $(U_n)$ est convergente, alors sa limite $U$ est une matrice colonne de taille $m$ qui vérifie : $U=A\times U+C$.

Méthodologie pour calculer la puissance d'une matrice

De nombreux exercices vous feront calculer la puissance d’une matrice : $A^p$ ($p$ entier naturel non nul).

• Généralement, l’exercice vous guide pour montrer que la matrice $A$ peut s’écrire sous la forme : $A=P^{-1}\times D\times P$, où la matrice $P$ est inversible et où la matrice $D$ est une matrice diagonale.
• Il s’agit alors de démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $p$ non nul :

$$A^p=P^{-1}\times D^p\times P$$

• Connaissant la matrice $D$, qui est diagonale, il est alors facile de calculer $D^p$ avec la méthode que nous avons donnée dans le cours sur le calcul matriciel.
• Connaissant la matrice $P$, nous pouvons finalement calculer le produit matriciel $P^{-1}\times D\times P$ et ainsi exprimer $A^p$ en fonction de $p$.