Exercices Les suites numériques

On donne la suite définie par $u_{n+1}=\sqrt{1+u_n}$ et $u-0=1$.
Calculer $u_1$ sans calculatrice, puis donner, avec la calculatrice cette fois, une valeur approchée à 0,01 près de $u_1$ et $u_3$.

Un loyer diminue de 2 % par mois. Soit $u_0$ le loyer initial, et $u_n$ le loyer au bout de $n$ mois.
Justifier que la suite $(u_n)$ est géométrique, et préciser sa raison.

Le nombre d’arbres dans une certaine forêt diminue de 30 % par an suite à des déboisements illicites ou des maladies. Il est décidé de replanter 300 arbres par an pour compenser cette perte.
On appelle $u_n$ le nombre d’arbres à l’année $n$.
On suppose que $u_1=440$ , calculer $u_0$ et $u_2$.

Une population de $p_0=200$ poissons diminue naturellement, de 25 % par an. Le gérant décide donc de rajouter artificiellement 100 poissons par an.
Écrire un algorithme qui prend $p_0$ et $n$, et calcule $p_n$ la population au bout de $n$ années.

En février 2017, Marc achète un ordinateur à $570$€. Le vendeur lui propose un micro-crédit au taux mensuel de $1,5\ \%$, c’est-à-dire que la somme à rembourser augmente de $1,5\ \%$ par mois. Les mensualités proposées sont fixes :
30 euros le 25 de chaque mois.

Ainsi, chaque mois, le capital restant dû augmente de $1,5\ \%$ puis baisse de 30 euros.
Le premier versement a lieu le 25 mars 2018. On note $u_n$ le capital restant dû en euros juste après la n-ième mensualité. On a alors :

• $u_0=570$ capital dû initialement ;
• $u_1$ le capital dû après la 1^ère mensualité donc au 26 mars 2019. Démontrer que $u_1=548,55$ et calculer $u_2$ (on arrondira au centime).

On définit la suite $(u_n)$ par :

$\bigg\lbrace\begin{aligned}&u_0=1\\&u_{n+1}=2u_n-n+3\end{aligned}$

Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$ sans utiliser de calculatrice.