Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Marianne

Conforme au programme
officiel 2018 - 2019

Les suites numériques

Déjà plus de

1 million

d'inscrits !

Suite arithmétique

  • Une suite (un)(u_n) est arithmétique s’il existe un réel rr tel que, pour tout nN:n \in\mathbb{N}:

un+1=un+ru{n+1}=un+r

  • Le nombre rr est la raison de la suite (un)(u_n).

Propriété 1 :

  • Terme général d’une suite arithmétique de premier terme pp :
  • Soit unun une suite arithmétique de premier terme pp et de raison rr ; le terme général de la suite unun est :

un=up+(np)run=up+(n-p)r

  • Terme général d’une suite arithmétique de premier terme u0u_0 :
  • Soit (un)(un) une suite arithmétique de raison rr et définie à partir du rang pp. Le terme général de la suite (un)(un) est :

un=u0+nrun= u0+nr

Propriété 2 :

  • Somme des termes consécutifs d’une suite arithmétique :

Somme des termes conseˊcutifs=(nombre de termes)×(premier terme+dernier terme)2\small \text{Somme des termes consécutifs}=(\text{nombre de termes}) \times \dfrac {(\text{premier terme} + \text{dernier terme})}{2}

Suite géométrique

Une suite unu_n est géométrique s’il existe un réel qq tel que, pour tout nNn\in\mathbb{N} :

un+1=un×qu{n+1}=un×q

Le nombre qq est la raison de la suite unu_n.

Propriété 1 :

  • Terme général d’une suite géométrique de premier terme p :

Soit unun une suite géométrique de premier terme pp et de raison qq. Le terme général de la suite (un)(un) est : un=up×qnpun= up\times q^{n-p}

  • Terme général d’une suite géométrique de premier terme u0u_0 :

Soit un une suite géométrique de premier terme u0u0 et de raison qq ; le terme général de la suite unun est :

un=u0×qnun= u0 \times q^n

Propriété 2 :

  • Somme des termes consécutifs d’une suite géométrique :

Si qq est la raison de la suite :

Somme des termes conseˊcutifs=1er terme×(1qnombre de termes)1q\small \text{Somme des termes consécutifs} = 1^{\text{er}}\text{ terme} \times \dfrac {(1-q^{\text{nombre de termes}})}{1-q}

avec qq la raison de la suite.

Théorème :

Soit qq un nombre réel. On a alors les limites suivantes :

  • Si q>1q>1 alors limn+qn=+\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = + \infty
  • Si 1<q<1-1 < q < 1 alors limn+qn=0\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = 0
  • Si q1q \leq-1 alors qnq^n n’admet pas de limite.

Variations des suites numériques

Calculer le sens de variation d’une suite quelconque

La suite unu_n est croissante si, pour tout entier nNn \in \mathbb N :

un+1unun+1 \geq un

La suite unu_n est décroissante si, pour tout entier nNn \in \mathbb N :

un+1unu{n+1}\leq un

Propriétés sur la variation

  • Suite arithmétique :

Connaissant la raison rr d’une suite arithmétique :

  • si r>0r>0 la suite est strictement croissante ;
  • si r=0r=0 la suite est constante ;
  • si r<0r<0 la suite est strictement décroissante.
  • Suite géométrique :

Connaissant la raison qq d’une suite géométrique :

  • si q<0q<0 la suite est alternée (donc ni croissante ni décroissante) ;
  • si 0<q<10 < q < 1 et u0>0u_0>0, la suite est décroissante ;
  • si 0<q<10 < q < 1 et u0<0u_0<0, la suite est croissante ;
  • si q=0q=0 la suite est constante ;
  • si q>1q>1 et u0>0u_0>0, la suite est croissante ;
  • si q>1q>1 et u0<0u_0<0, la suite est décroissante.

Convergence des suites monotones

  • Suite majorée

Une suite (un)(un) est majorée s’il existe un nombre MM tel que, pour tout entier naturel n, unMun \leq M.

MM est appelé le majorant de (un)(u_n).

Théorème de convergence des suites majorées :

  • Toute suite croissante majorée est convergente.
  • Par conséquent, toute suite croissante non majorée a pour limite ++ \infty.
  • Et plus généralement, si une suite (un)(un) est croissante et admet pour limite ll, alors, pour tout nNn \in \mathbb N, unlun\leq l.
  • Suite minorée

Une suite (un)(un) est minorée s’il existe un nombre mm tel que, pour tout nNn \in \mathbb N, unmun \geq m.

mm est appelé le minorant de unu_n.

Théorème de convergence des suites minorées :

  • Toute suite décroissante minorée est convergente.
  • Par conséquent, toute suite décroissante non minorée a pour limite - \infty.
  • Et plus généralement, si une suite (un)(un) est décroissante et admet pour limite ll, alors, pour tout nNn \in \mathbb N, unlun \geq l.
  • Suite bornée

Une suite à la fois majorée et minorée est bornée.