Les suites numériques

Suite arithmétique

• Une suite $(u_n)$ est arithmétique s’il existe un réel $r$ tel que, pour tout $n \in\mathbb{N}:$

$$u_{n+1}=u_n+r$$

• Le nombre $r$ est la raison de la suite $(u_n)$.

Propriété 1 :

• Terme général d’une suite arithmétique de premier terme $p$ :
• Soit $u_n$ une suite arithmétique de premier terme $p$ et de raison $r$ ; le terme général de la suite $u_n$ est :

$$u_n=u_p+(n-p)r$$

• Terme général d’une suite arithmétique de premier terme $u_0$ :
• Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ et définie à partir du rang $p$. Le terme général de la suite $(u_n)$ est :

$$u_n= u_0+nr$$

Propriété 2 :

• Somme des termes consécutifs d’une suite arithmétique :

$\small \text{Somme des termes consécutifs}=(\text{nombre de termes}) \times \dfrac {(\text{premier terme} + \text{dernier terme})}{2}$

Suite géométrique

Une suite $u_n$ est géométrique s’il existe un réel $q$ tel que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$$u_{n+1}=u_n×q$$

Le nombre $q$ est la raison de la suite $u_n$.

Propriété 1 :

• Terme général d’une suite géométrique de premier terme p :

Soit $u_n$ une suite géométrique de premier terme $p$ et de raison $q$. Le terme général de la suite $(u_n)$ est : $$u_n= u_p\times q^{n-p}$$

• Terme général d’une suite géométrique de premier terme $u_0$ :

Soit un une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ ; le terme général de la suite $u_n$ est :

$$u_n= u_0 \times q^n$$

Propriété 2 :

• Somme des termes consécutifs d’une suite géométrique :

Si $q$ est la raison de la suite :

$\small \text{Somme des termes consécutifs} = 1^{\text{er}}\text{ terme} \times \dfrac {(1-q^{\text{nombre de termes}})}{1-q}$

avec $q$ la raison de la suite.

Théorème :

Soit $q$ un nombre réel. On a alors les limites suivantes :

• Si $q>1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = + \infty$
• Si $-1 < q < 1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = 0$
• Si $q \leq-1$ alors $q^n$ n’admet pas de limite.

Variations des suites numériques

Calculer le sens de variation d’une suite quelconque

La suite $u_n$ est croissante si, pour tout entier $n \in \mathbb N$ :

$$u_n+1 \geq u_n$$

La suite $u_n$ est décroissante si, pour tout entier $n \in \mathbb N$ :

$$u_{n+1}\leq u_n$$

Propriétés sur la variation

• Suite arithmétique :

Connaissant la raison $r$ d’une suite arithmétique :

• si $r>0$ la suite est strictement croissante ;
• si $r=0$ la suite est constante ;
• si $r<0$ la suite est strictement décroissante.
• Suite géométrique :

Connaissant la raison $q$ d’une suite géométrique :

• si $q<0$ la suite est alternée (donc ni croissante ni décroissante) ;
• si $0 < q < 1 $ et $u_0>0$, la suite est décroissante ;
• si $0 < q < 1$ et $u_0<0$, la suite est croissante ;
• si $q=0$ la suite est constante ;
• si $q>1$ et $u_0>0$, la suite est croissante ;
• si $q>1$ et $u_0<0$, la suite est décroissante.

Convergence des suites monotones

• Suite majorée

Une suite $(u_n)$ est majorée s’il existe un nombre $M$ tel que, pour tout entier naturel n, $u_n \leq M$.

$M$ est appelé le majorant de $(u_n)$.

Théorème de convergence des suites majorées :

• Toute suite croissante majorée est convergente.
• Par conséquent, toute suite croissante non majorée a pour limite $+ \infty$.
• Et plus généralement, si une suite $(u_n)$ est croissante et admet pour limite $l$, alors, pour tout $n \in \mathbb N$, $u_n\leq l$.
• Suite minorée

Une suite $(u_n)$ est minorée s’il existe un nombre $m$ tel que, pour tout $n \in \mathbb N$, $u_n \geq m$.

$m$ est appelé le minorant de $u_n$.

Théorème de convergence des suites minorées :

• Toute suite décroissante minorée est convergente.
• Par conséquent, toute suite décroissante non minorée a pour limite $- \infty$.
• Et plus généralement, si une suite $(u_n)$ est décroissante et admet pour limite $l$, alors, pour tout $n \in \mathbb N$, $u_n \geq l$.
• Suite bornée

Une suite à la fois majorée et minorée est bornée.