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Les suites numériques

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Introduction :

Avant d’étudier les limites d’une suite géométrique et les théorèmes concernant la convergence des suites monotones, voyons quelques rappels sur les suites numériques et l’étude des variations d’une suite.

Rappels

Suite arithmétique

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Définition

Suite arithmétique :

Une suite (un)(un) est arithmétique s’il existe un réel rr tel que, pour tout nNn \in\mathbb{N} : un+1=un+ru{n+1} = un+r. Le nombre rr est la raison de la suite (un)(un).

  • ​Pour passer d’un terme au suivant, on ajoute toujours le même nombre rr.
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Propriété

Propriété 1 : terme général d’une suite arithmétique

  • Soit (un)(un) une suite arithmétique de premier terme u0u0 et de raison rr. Le terme général de la suite (un)(un) est : un=u0+nrun= u_0+nr

Plus généralement, si la suite n’est pas définie à partir du rang 00, on utilise la formule suivante :

  • soit (un)(un) une suite arithmétique de raison rr et définie à partir du rang pp. Le terme général de la suite (un)(un) est : un=up+(np)run= up+(n-p)r
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Exemple

  • La suite arithmétique de premier terme u0=2u0=2 et de raison r=3r=3 s’écrit : un=2+3nun=2+3n
  • La suite arithmétique de premier terme u2=3u_2=3 et de raison r=5r=5 s’écrit :

un=u2+(n2)×r=3+(n2)×5=3+5n10=7+5n\begin{aligned} un &=u2 + {(n-2) \times r} \ &= 3+(n-2)\times 5 \ &=3+5n-10 \ &=-7+5n \end{aligned}

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Propriété

Propriété 2 : somme des termes consécutifs d’une suite arithmétique

Somme des termes consécutifs =

nombre de termes×premier terme + dernier terme2\small\text{nombre de termes} \times \dfrac {\text{premier terme + dernier terme}}{2}

Suite géométrique

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Définition

Suite géométrique :

Une suite unun est géométrique s’il existe un réel qq tel que, pour tout nNn \in\mathbb{N} : un+1=un×qu{n+1} = u_n\times q

Le nombre qq est la raison de la suite (un)(u_n)

  • ​Pour passer d’un terme au suivant, on multplie toujours le terme précédent par le même nombre qq.
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Propriété

Terme général d’une suite géométrique

  • Soit (un)(un) une suite géométrique de premier terme u0u0 et de raison qq. Le terme général de la suite (un)(un) est : un=u0×qnun= u_0 \times q^n Plus généralement, si la suite n’est pas définie à partir du rang 00, on utilise la formule suivante :
  • soit (un)(un)une suite géométrique de raison qq et définie à partir du rang pp. Le terme général de la suite (un)(un) est : un=up×qnpun= up\times q^{n-p}
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Exemple

  • La suite géométrique de premier terme u0=2u0=2 et de raison q=3q=3 s’écrit : un=2×3nun=2\times3^n
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Exemple

  • La suite géométrique de premier terme u2=3u2=3 et de raison q=5q=5 s’écrit : un=u2×qn2=3×5n2un=u_2 \times q^{n-2} = 3\times 5^{n-2}
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Propriété

Somme des termes consécutifs d’une suite géométrique

Somme des termes consécutifs = Premier terme×(1qnombre de termes)1q\text{Premier terme} \times \dfrac {(1-q^{\text{nombre de termes}})}{1-q}

avec qq la raison de la suite.

Variations d’une suite

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Propriété

Soit (un)(u_n) une suite définie pour tout nNn \in\mathbb{N}.

  • La suite (un)(un) est croissante si, pour tout entier naturel n, un+1unu{n+1}\geq u_n.
  • La suite (un)(un) est décroissante si, pour tout entier naturel n, un+1unu{n+1}\leq u_n.

Le fait de connaître la raison et/ou le premier terme d’une suite arithmétique ou géométrique permet de connaître ses variations. Les différents cas se trouvent ci-dessous.

  • Suite arithmétique :
  • Si r>0r>0 , la suite est strictement croissante ;
  • Si r=0r=0 , la suite est constante ;
  • Si r<0r<0 , la suite est strictement décroissante.
  • Suite géométrique :
  • Si q<0q<0, la suite est alternée donc ni croissante, ni décroissante ;
  • Si 0<q<10 < q < 1 et u0>0u_0>0, la suite est décroissante ;
  • Si 0<q<10 < q < 1 et u0<0u_0<0, la suite est croissante ;
  • Si q=1q=1, la suite est constante ;
  • Si q>1q>1 et u0>0u_0>0, la suite est croissante ;
  • Si q>1q>1 et u0<0u_0<0, la suire est décroissante.
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Astuce

Méthodes pour calculer le sens de variation d’une suite quelconque :

Méthode 1 :

Calculer un+1unu{n+1}-un et comparer le résultat à 00.

  • Si pour tout nn, un+1un<0u{n+1}-un <0, la suite est décroissante ;
  • Si pour tout nn, un+1un>0u{n+1}-un >0, la suite est croissante ;
  • Si pour tout nn, un+1un=0u{n+1}-un =0, la suite est constante.

Méthode 2 :

Étudier les variations de la fonction ff qui correspondent au terme général de la suite (un)(un) , c’est-à-dire la fonction telle que un=f(n)un=f(n).
Il faut dériver la fonction ff puis étudier le signe de sa dérivée pour en déduire les variations de la fonction ff et donc de (un)(u_n).

Limite d’une suite géométrique

Soit (un)(un) une suite géométrique de raison qq non nulle et de premier terme u0u0. Par définition, (un)(un) s’écrit un=u0×qnun= u_0 \times q^n.

D’après les théorèmes sur les opérations et les limites, pour déterminer le comportement de la suite (un)(un) à l’infini, il suffit de connaître celui de la suite (vn)(vn) définie par vn=qnv_n=q^n.

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Théorème

Soit qq un nombre réel. On a alors les limites suivantes :

  • Si q>1q>1 alors limn+qn=+\lim\limits_{n \to +\infty } q^n = + \infty ;
  • Si 1<q<1-1 < q < 1 alors limn+qn=0\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = 0 ;
  • Si q1q \leq - 1 alors qnq^n n’admet pas de limite.
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Exemple

  • Soit la suite (un)(un)définie par : pour tout nNn \in\mathbb{N} , un=5(2)nun= 5(\sqrt2)^n.

C’est une suite géométrique de raison q=2q=\sqrt 2. On a q>1q>1 donc limn+un=+\lim\limits{n \to +\infty} un = + \infty

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Exemple

  • Soit la suite (un)(un) définie par : pour tout nNn \in\mathbb{N} , un=3×(12)nun= 3 \times(\dfrac{1}{2})^n

C’est une suite géométrique de raison q=12q= \dfrac {1}{2}. On a 1<q<1-1 < q < 1 donc limn+un=0\lim\limits{n \to +\infty} un = 0

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Exemple

  • Soit la suite (un)(un) définie par : pour tout nNn \in\mathbb{N} , un=(2)nun= (-2)^n

C’est une suite géométrique de raison 2-2. On a q1q \leq - 1 donc (un)(u_n) n’a pas de limite.

Convergence des suites monotones

Rappels

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Définition

Suite majorée, minorée et bornée  :

  • Une suite (un)(un) est majorée s’il existe un nombre MM tel que, pour tout entier naturel nn, unMun \leq M. MM est appelé le majorant de (un)(u_n).
  • Une suite (un)(un) est minorée s’il existe un nombre mm tel que, pour tout entier naturel nn, unmun \geq m. mm est appelé le minorant de (un)(u_n).
  • Une suite à la fois minorée et majorée est dite bornée.
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Exemple

  • Soit la suite (un)(un) définie par : pour tout nNn \in\mathbb{N} , un=3nun= 3-\sqrt n

Pour tout nNn \in\mathbb{N}, un3un \leq 3 donc la suite (un)(un) est majorée par 33.

Remarque : elle est aussi majorée par tout nombre supérieur à 33.

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Exemple

  • La suite un=1nu_n= \dfrac {1}{n} est bornée car, pour tout entier naturel non nul nn, 0<1n10 < \dfrac {1}{n} \leq1

Théorèmes

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Théorème

  • Toute suite croissante majorée est convergente.
  • Toute suite décroissante minorée est convergente.
  • Par conséquent :
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Théorème

  • Toute suite croissante non majorée a pour limite ++\infty
  • Toute suite décroissante non minorée a pour limite -\infty
  • Enfin :
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Théorème

  • Si une suite (un)(un) est croissante et admet pour limite ll, alors pour tout entier naturel nn, unlun \leq l
  • Si une suite (un)(un) est décroissante et admet pour limite ll, alors pour tout entier naturel nn, unlun \geq l