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Les suites numériques

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Introduction :

Avant d’étudier les limites d’une suite géométrique et les théorèmes concernant la convergence des suites monotones, voyons quelques rappels sur les suites numériques et l’étude des variations d’une suite.

Rappels

Suite arithmétique

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Définition

Suite arithmétique :

Une suite $(u_n)$ est arithmétique s’il existe un réel $r$ tel que, pour tout $n \in\mathbb{N}$ : $u_{n+1} = u_n+r$. Le nombre $r$ est la raison de la suite $(u_n)$.

  • ​Pour passer d’un terme au suivant, on ajoute toujours le même nombre $r$.
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Propriété

Propriété 1 : terme général d’une suite arithmétique

  • Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$. Le terme général de la suite $(u_n)$ est : $$u_n= u_0+nr$$

Plus généralement, si la suite n’est pas définie à partir du rang $0$, on utilise la formule suivante :

  • soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ et définie à partir du rang $p$. Le terme général de la suite $(u_n)$ est : $$u_n= u_p+(n-p)r$$
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Exemple

  • La suite arithmétique de premier terme $u_0=2$ et de raison $r=3$ s’écrit : $u_n=2+3n$
  • La suite arithmétique de premier terme $u_2=3$ et de raison $r=5$ s’écrit :

$\begin{aligned} u_n &=u_2 + {(n-2) \times r} \\ &= 3+(n-2)\times 5 \\ &=3+5n-10 \\ &=-7+5n \end{aligned}$

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Propriété

Propriété 2 : somme des termes consécutifs d’une suite arithmétique

Somme des termes consécutifs =

$\small\text{nombre de termes} \times \dfrac {\text{premier terme + dernier terme}}{2}$

Suite géométrique

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Définition

Suite géométrique :

Une suite $u_n$ est géométrique s’il existe un réel $q$ tel que, pour tout $n \in\mathbb{N}$ : $u_{n+1} = u_n\times q$

Le nombre $q$ est la raison de la suite $(u_n)$

  • ​Pour passer d’un terme au suivant, on multplie toujours le terme précédent par le même nombre $q$.
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Propriété

Terme général d’une suite géométrique

  • Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$. Le terme général de la suite $(u_n)$ est : $$u_n= u_0 \times q^n$$ Plus généralement, si la suite n’est pas définie à partir du rang $0$, on utilise la formule suivante :
  • soit $(u_n)$une suite géométrique de raison $q$ et définie à partir du rang $p$. Le terme général de la suite $(u_n)$ est : $$u_n= u_p\times q^{n-p}$$
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Exemple

  • La suite géométrique de premier terme $u_0=2$ et de raison $q=3$ s’écrit : $u_n=2\times3^n$
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Exemple

  • La suite géométrique de premier terme $u_2=3$ et de raison $q=5$ s’écrit : $u_n=u_2 \times q^{n-2} = 3\times 5^{n-2}$
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Propriété

Somme des termes consécutifs d’une suite géométrique

Somme des termes consécutifs = $\text{Premier terme} \times \dfrac {(1-q^{\text{nombre de termes}})}{1-q}$

avec $q$ la raison de la suite.

Variations d’une suite

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Propriété

Soit $(u_n)$ une suite définie pour tout $n \in\mathbb{N}$.

  • La suite $(u_n)$ est croissante si, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}\geq u_n$.
  • La suite $(u_n)$ est décroissante si, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}\leq u_n$.

Le fait de connaître la raison et/ou le premier terme d’une suite arithmétique ou géométrique permet de connaître ses variations. Les différents cas se trouvent ci-dessous.

  • Suite arithmétique :
  • Si $r>0 $, la suite est strictement croissante ;
  • Si $r=0 $, la suite est constante ;
  • Si $r<0 $, la suite est strictement décroissante.
  • Suite géométrique :
  • Si $q<0$, la suite est alternée donc ni croissante, ni décroissante ;
  • Si $0 < q < 1$ et $u_0>0$, la suite est décroissante ;
  • Si $0 < q < 1$ et $u_0<0$, la suite est croissante ;
  • Si $q=1$, la suite est constante ;
  • Si $q>1$ et $u_0>0$, la suite est croissante ;
  • Si $q>1$ et $u_0<0$, la suire est décroissante.
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Astuce

Méthodes pour calculer le sens de variation d’une suite quelconque :

Méthode 1 :

Calculer $u_{n+1}-u_n$ et comparer le résultat à $0$.

  • Si pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n <0$, la suite est décroissante ;
  • Si pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n >0$, la suite est croissante ;
  • Si pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n =0$, la suite est constante.

Méthode 2 :

Étudier les variations de la fonction $f$ qui correspondent au terme général de la suite $(u_n)$ , c’est-à-dire la fonction telle que $u_n=f(n)$.
Il faut dériver la fonction $f$ puis étudier le signe de sa dérivée pour en déduire les variations de la fonction $f$ et donc de $(u_n)$.

Limite d’une suite géométrique

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$ non nulle et de premier terme $u_0$. Par définition, $(u_n)$ s’écrit $u_n= u_0 \times q^n$.

D’après les théorèmes sur les opérations et les limites, pour déterminer le comportement de la suite $(u_n)$ à l’infini, il suffit de connaître celui de la suite $(v_n)$ définie par $v_n=q^n$.

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Théorème

Soit $q$ un nombre réel. On a alors les limites suivantes :

  • Si $q>1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty } q^n = + \infty$ ;
  • Si $-1 < q < 1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = 0$ ;
  • Si $q \leq - 1$ alors $q^n$ n’admet pas de limite.
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Exemple

  • Soit la suite $(u_n)$définie par : pour tout $n \in\mathbb{N}$ , $u_n= 5(\sqrt2)^n$.

C’est une suite géométrique de raison $q=\sqrt 2$. On a $q>1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = + \infty$

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Exemple

  • Soit la suite $(u_n)$ définie par : pour tout $n \in\mathbb{N}$ , $u_n= 3 \times(\dfrac{1}{2})^n$

C’est une suite géométrique de raison $q= \dfrac {1}{2}$. On a $-1 < q < 1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$

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Exemple

  • Soit la suite $(u_n)$ définie par : pour tout $n \in\mathbb{N}$ , $u_n= (-2)^n$

C’est une suite géométrique de raison $-2$. On a $q \leq - 1$ donc $(u_n)$ n’a pas de limite.

Convergence des suites monotones

Rappels

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Définition

Suite majorée, minorée et bornée  :

  • Une suite $(u_n)$ est majorée s’il existe un nombre $M$ tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \leq M$. $M$ est appelé le majorant de $(u_n)$.
  • Une suite $(u_n)$ est minorée s’il existe un nombre $m$ tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \geq m$. $m$ est appelé le minorant de $(u_n)$.
  • Une suite à la fois minorée et majorée est dite bornée.
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Exemple

  • Soit la suite $(u_n)$ définie par : pour tout $n \in\mathbb{N}$ , $u_n= 3-\sqrt n$

Pour tout $n \in\mathbb{N}$, $u_n \leq 3$ donc la suite $(u_n)$ est majorée par $3$.

Remarque : elle est aussi majorée par tout nombre supérieur à $3$.

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Exemple

  • La suite $u_n= \dfrac {1}{n}$ est bornée car, pour tout entier naturel non nul $n$, $0 < \dfrac {1}{n} \leq1$

Théorèmes

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Théorème

  • Toute suite croissante majorée est convergente.
  • Toute suite décroissante minorée est convergente.
  • Par conséquent :
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Théorème

  • Toute suite croissante non majorée a pour limite $+\infty$
  • Toute suite décroissante non minorée a pour limite $-\infty$
  • Enfin :
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Théorème

  • Si une suite $(u_n)$ est croissante et admet pour limite $l$, alors pour tout entier naturel $n$, $u_n \leq l$
  • Si une suite $(u_n)$ est décroissante et admet pour limite $l$, alors pour tout entier naturel $n$, $u_n \geq l$