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Travail d'une force et énergie mécanique

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Introduction :

Ce cours, sur le thème du temps, porte sur le travail d’une force et l’énergie mécanique. Le travail d’une force constante sera étudié dans une première partie à travers trois exemples. Puis nous aborderons l’énergie mécanique et les transferts d’énergie.

Travail d’une force constante

Définition

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Définition

Force :

Une force est une action mécanique qui peut induire un déplacement, c’est ce que modélise le travail d’une force.

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À retenir

Le travail d’une force constante $\vec{F}$ lors d’un déplacement rectiligne de $A$ à $B$ se note $W_{\vec{(F)}}$ (W comme work).

$W_{AB}(\vec{F})=\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{AB}=F \cdot AB \cdot \cos \alpha$, où $\alpha$ est l’angle entre les deux vecteurs.

Le travail $W$ est exprimé en joule $(\text{J})$.

D’après la trigonométrie et selon la valeur de l’angle :

  • $0\degree ≤ \alpha < 90\degree$ alors $\cos \alpha > 0$ et $W > 0$. Le travail est alors moteur, comme par exemple avec un coup de pied dans un ballon.
  • $90\degree < \alpha ≤ 180\degree$ alors $\cos \alpha < 0 $ et $W < 0$. Le travail est alors résistant, comme par exemple les forces de frottements.
  • $\alpha = 90\degree$ ou si le déplacement est nul, alors $W = 0$ et la force ne travaille pas, comme par exemple le poids d’un objet en équilibre.

Travail d’une force de pesanteur constante

Le travail de la force de pesanteur (ou poids) ne dépend pas du chemin suivi, il dépend juste de la différence d’altitude entre l’état initial et final lors du déplacement du point d’application.

Travail d’une force de pesanteur constante

En rouge le vecteur $\overrightarrow{AB} $ et $C$ le point tel que $ABC$ est rectangle.

$\begin{aligned}W_{AB}(\vec{P})&=\vec{P}.\overrightarrow{AB}\\&=\vec{P}\cdot(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})\\&=\vec{P}\cdot\overrightarrow{AC}+\vec{P}.\overrightarrow{CB}\\&=\vec{P}\cdot\overrightarrow{AC}=P \cdot AC\end{aligned}$

car $\vec{P}$ et $\vec{CB}$ sont perpendiculaires.

Comme $\vec{P}=m\vec{g}$ et $AC=z_A-z_B$ alors on a :

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Définition

Travail de la force de pesanteur :

Le travail de la force de pesanteur exercée sur un corps de masse $m$ qui se déplace de $A$ à $B$ dans un champ de pesanteur uniforme d’intensité $g$ est $W_{AB} (\vec{P})= m \times g(z_A-z_B)$.

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À retenir

Si $z_A-z_B > 0 $ le travail sera moteur, la pesanteur étant favorable à la chute. Si $z_A-z_B < 0$ le travail sera résistant, la pesanteur s’oppose à la montée vers le ciel.

C’est une force conservative car son travail ne dépend pas du chemin suivi par le point d’application de cette force.

Travail d’une force électrique constante

Soit une particule de charge électrique $q$ placée dans un champ électrostatique uniforme $\vec{E}$, elle est soumise à une force électrique $\vec{F_e}$ d’intensité constante $F_e=∣q∣.E.$.

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Définition

Travail de la force électrique $\vec{F_e}$ :

Le travail de la force électrique $\vec{F_e}$ exercée sur une particule de charge $q$ qui se déplace de $A$ à $B$ dans un champ électrostatique uniforme d’intensité $E$ est : $W_{AB}(\vec{F_e})=\vec{F_e} \cdot \overrightarrow{AB}=F_e \cdot AB \cdot \cos \alpha=∣q∣ \cdot E \cdot AB \cdot \cos \alpha$

  • $q$ est en coulomb.

Le champ électrique $\overrightarrow{E}$ est produit par une tension électrique $U_{AB}$ (en $V$) : $U_{AB} =\overrightarrow{E}.\overrightarrow{AB}$ donc

$W_{AB}(\vec{F_e})=\vec{F_e} \cdot \overrightarrow{AB}=q \cdot \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{AB}=q \cdot U_{AB}$

Donc, selon la charge de la particule le travail de la force électrique sera moteur ou résistant.

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Exemple

Dans cet exemple, la particule est chargée positivement :

Travail d’une force électrique constante

Travail d’une force de frottement d’intensité constante

Lorsqu’un solide est en mouvement dans un fluide (liquide ou gaz), il est soumis à des forces de frottement $\vec{f}$.

Si le solide est en contact avec un support on parle de réaction du support $\vec{R}$.

$\vec{f}$ est toujours opposé au mouvement.

Donc pour une force de frottement, $\alpha$ est toujours égale à 180° ($\pi$ radians). Par conséquent $\text{cos}\ \alpha = -1$

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À retenir

Le travail de $\vec{f}$ s’exprime ainsi : $W_{AB}(\vec{f})=\vec{f} \cdot \overrightarrow{AB}=f \cdot AB \cdot \text{cos} \alpha=-f \cdot AB$, le travail de cette force est toujours résistant.

Alt texte Travail d’une force de frottement d’intensité constante

  • En fait la force $\vec{R}$ a deux composantes : $\vec{R_t}$ qui est assimilable à $\vec{f}$ et $\vec{R_n}$ qui est assimilable à la réaction du support.
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Exemple

Dans cet exemple, on fait glisser un objet rectangulaire le long d’une pente.

  • Cette force est non conservative car son travail est résistant à celui de tous les mouvements.

Énergie mécanique

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Rappel

Une énergie se mesure en Joule.

Énergie cinétique

L’énergie cinétique $E_c$ d’un solide de masse $m$ et de vitesse $v$ est : $E_c = \dfrac{1}{2} \times mv^2$.

Énergies potentielles

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Définition

Énergie potentielle :

Une énergie est dite potentielle car elle peut potentiellement se transformer en énergie cinétique.

Nous allons en étudier deux :

  • L’énergie potentielle élastique $E_{pe}$ d’un ressort de constante de raideur $k$ est lié à la position $x$ de son extrémité libre par rapport à la position d’équilibre : $E_{pe} = \frac{1}{2} \times k \times x^2$.

Énergie potentielle élastique d’un ressort

  • L’énergie potentielle de pesanteur $E_{pp}$ d’un solide de masse $m$ a une altitude $z$ est : $E_{pp} = m \times g \times z$

Énergie mécanique

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Définition

Énergie mécanique :

L’énergie mécanique est la somme des énergies potentielles et cinétiques : $E_m = E_p + E_c$.

En négligeant les frottements, l’énergie potentielle devient de l’énergie cinétique et inversement. L’énergie mécanique se conserve lorsque le système n’est soumis qu’à des forces conservatives mais diminue si on fait intervenir les frottements (force non conservative).

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Exemple

Par exemple, lors d’une chute libre, l’objet gagne de l’énergie cinétique en perdant de l’altitude et donc de l’énergie potentielle.