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Trigonométrie

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Repérage sur le cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique

Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O,I,J)(O,I,J), le cercle trigonométrique est le cercle CC de centre OO et de rayon 11 orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre appelé sens direct.

Le radian

Propriété : Les mesures des angles en degrés d’une part et en radians d’autre part sont proportionnelles. On a le tableau de conversion suivant :

Degrés 3030 4545 6060 9090 180180 360360
Radians {π}{6}\dfrac{\pi}{6} {π}{4}\dfrac{\pi}{4} {π}{3}\dfrac{\pi}{3} {π}{2}\dfrac{\pi}{2} π\pi 2π2\pi

Mesure principale d’un angle

Définition :

Soit MM un point du cercle trigonométrique.

Le réel xx d’image MM est appelé mesure en radians de l’angle IOM^\widehat{IOM}.

Tous les réels ayant pour image MM sont aussi des mesures en radians de l’angle IOM^\widehat{IOM}. Toutes ces mesures sont de la forme x+2kπx+2k\pi, où kk est un entier relatif.

Parmi toutes ces mesures, l’unique mesure qui appartient à l’intervalle ]π ;π]]-\pi \ ; \pi ] est appelée mesure principale de l’angle IOM^\widehat{IOM}.

Mesures d’un angle orienté

Définition

Soit u\vec u et v\vec v deux vecteurs non nuls. Soit MM et NN deux points du cercle trigonométrique tels que u\vec u et (OM)(\overrightarrow{OM}), d’une part, et v\vec v et (ON)(\overrightarrow{ON}), d’autre part, soient colinéaires et de même sens.

Les mesures en radian de l’angle orienté (u,v)(\vec u,\vec v) sont les différences yxy-x, où xx et yy sont les réels associés respectivement aux points MM et NN.

Propriétés des angles orientés

Soient u\vec u et v\vec v deux vecteurs non nuls. Dire que u\vec u et v\vec v sont colinéaires revient à dire que la mesure principale de (u,v)(\vec u,\vec v) est égale à :

  • 00u\vec u et v\vec v sont de même sens)
  • π\pi (u\vec u et v\vec v sont de sens opposés).

Soient u\vec uv\vec v et w\vec w trois vecteurs non nuls. On a : (u\vec u,v\vec v )+(v\vec v,w\vec w)=(u\vec u,w\vec w )+2kπ2k\pi

Cette propriété s’appelle relation de Chasles.

Soient u\vec u et v\vec v deux vecteurs non nuls.

  • (v\vec v,u\vec u )=-(u\vec u,v\vec v )+2kπ+2k\pi
  • (-u\vec u,-v\vec v )=(u\vec u,v\vec v )+2kπ+2k\pi
  • (-u\vec u,v\vec v )=(u\vec u,-v\vec v )=(u\vec u,v\vec v )+π+2kπ\pi+2k\pi

Cosinus et sinus d’un angle

Cosinus et sinus d’un angle orienté

Le tableau suivant regroupe les valeurs particulières des cosinus et sinus :

aa 00 {π}6\dfrac{\pi}6 {π}4\dfrac{\pi}4 {π}3\dfrac{\pi}3 {π}2\dfrac{\pi}2
cosa\cos a 11 \dfrac{\sqrt 3}{2} \dfrac{\sqrt 2}{2} {1}{2}\dfrac{1}{2} 00
sina\sin a 00 {1}{2}\dfrac{1}{2} \dfrac{\sqrt 2}{2} \dfrac{\sqrt 3}{2} 11

Propriétés du cosinus et du sinus :

  • Pour tout nombre réel aa

1cosa1-1\leq \cos a \leq1 et 1sina1-1\leq \sin a \leq1

  • Pour tout nombre réel aa :

cos2a+sin2a=1\cos^2 a+\sin^2 a=1

  • Le cosinus et le sinus d’un angle orienté sont le cosinus et le sinus d’une quelconque de ses mesures.

Cosinus et sinus d’angles associés

Définition : On dit que des angles orientés sont « associés » s’ils admettent des cosinus ou des sinus égaux ou opposés.

Formules à retenir :

cos(t)=cost\cos (-t)=\cos t
sin(t)=sint\sin (-t)=-\sin t
cos(πt)=cost\cos (\pi-t)=-\cos t
sin(πt)=sint\sin (\pi-t)=\sin t
cos(π+t)=cost\cos (\pi+t)=-\cos t

sin (π+t)=sint\sin\ (\pi+t)=-\sin t
cos(π2t)=sint\cos (\frac\pi2-t)=\sin t
sin(π2t)=cost\sin(\frac\pi2-t)=\cos t
cos(π2+t)=sint\cos(\frac\pi2+t)=-\sin t
sin(π2+t)=cost\sin(\frac\pi2+t)=\cos t

Formules d’addition et de duplication

Formules d’addition : Quels que soient les réels aa et bb :

cos(ab)=cosacosb+sinasinbcos(a+b)=cosacosbsinasinbsin(ab)=sinacosbcosasinbsin(a+b)=sinacosb+cosasinb\begin{array}{l} \cos(a-b) =\cos a \cos b +\sin a \sin b \ \cos (a+b) =\cos a \cos b -\sin a \sin b \ \sin (a-b) =\sin a \cos b -\cos a \sin b \ \sin (a+b) =\sin a \cos b +\cos a \sin b \end{array}

Formules de duplication :

Quel que soit le réel aa :

cos(2a)=cos2 asin2a=2cos2 a1=12sin2asin(2a)=2sinacosa\begin{array}{l} \begin{aligned} \cos (2a)&=\cos ^2\ a -\sin^2 a \ &=2\cos^2\ a -1\&=1-2\sin^2 a \ \end{aligned} \ \sin (2a) =2\sin a \cos a \end{array}

Équations trigonométriques

Définitions:

Soit un réel aa. Les solutions dans RR de l’équation cosx=cosa\cos x=\cos a sont les réels a+2kπa+2k\pi et a+2kπ-a+2k\pi, où kk est un entier relatif.

Soit un réel aa. Les solutions dans RR de l’équation sinx=sina\sin x = \sin a sont les réels a+2kπa+2k\pi et πa+2kπ\pi - a+2k\pi, où kk est un entier relatif.