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Trigonométrie

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Introduction :

Ce cours débute par des rappels concernant le repérage sur le cercle trigonométrique. Nous parlerons ensuite des mesures d’angles orientés puis nous aborderons le cosinus et le sinus d’un angle pour finir par la résolution d’équations trigonométriques.

Repérage sur le cercle trigonométrique

Enroulement de la droite numérique

Avant de rentrer dans le vif du sujet et de parler de repérage sur le cercle trigonométrique, nous allons commencer par rappeler la définition de ce cercle.

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Définition

Cercle trigonométrique :

Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, ı; ȷ)(O,\ \vec\imath ;\ \vec\jmath) le cercle trigonométrique est le cercle C\mathscr C de centre OO et de rayon 11 orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, appelé sens direct.

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Exemple

Dans un repère orthonormé (O, ı; ȷ)(O,\ \vec\imath ;\ \vec\jmath), on considère le cercle trigonométrique et dd la droite numérique graduée, tangente au cercle au point II.

Le zéro de la droite numérique coïncide avec le point II.

Quand on enroule, sur le cercle C\mathscr C, la demi-droite rouge des réels positifs dans le sens direct et la demi-droite bleue des réels négatifs dans le sens indirect, chaque réel xx vient s’appliquer sur un unique point MM du cercle C\mathscr C.

On dit que MM est l’image de xx sur le cercle trigonométrique.

Réciproquement, tout point MM du cercle est l’image d’une infinité de réels. Si xx est l’un de ces réels, les autres sont les réels de la forme x+2kπx+2kπ, où kk est un entier relatif.

Cela résulte du fait que le périmètre de C\mathscr C est égal à 2π.

Ainsi, le point JJ par exemple est associé à π2\dfracπ2 ; à π2+2π=5π2\dfracπ2+2π=\dfrac{5π}{2} ; à π2+4π=9π2\dfracπ2+4π=\dfrac{9π}{2}… mais aussi à 3π2-\dfrac{3π}2 ; 7π2-\dfrac{7π}2

Le radian

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Définition

Radian :

Le radian est l’unité de mesure des angles telle que la mesure en radian d’un angle est égale à la longueur de l’arc que cet angle intercepte sur un cercle de rayon 11.

Lien entre angle du cercle trigonométrique et mesure en radians Lien entre angle du cercle trigonométrique et mesure en radians

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Exemple

Sur cette figure, la longueur de l’arc IU\overset{\displaystyle\frown}{IU} est égale à 11 et la mesure de l’angle IOU^\widehat{IOU} est égale à 1 radian.

On peut convertir les mesures des angles de degrés en radians ou, inversement, de radians en degrés…

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Propriété

Les mesures des angles en degrés d’une part et en radians d’autre part sont proportionnelles.

On a le tableau de conversion suivant :

Degrés 3030 4545 6060 9090 180180 360360
Radians {π}{6}\dfrac{\pi}{6} {π}{4}\dfrac{\pi}{4} {π}{3}\dfrac{\pi}{3} {π}{2}\dfrac{\pi}{2} π\pi 2π2\pi
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Astuce

Pour passer des degrés aux radians, on multiplie par π180\dfrac{π}{180} et inversement, pour passer des radians aux degrés, on multiplie par 180π\dfrac{180}\pi.

Mesure principale d’un angle

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Définition

Mesure principale d’un angle :

Soit MM un point du cercle trigonométrique.

Le réel xx d’image MM est appelé mesure en radians de l’angle IOM^\widehat{IOM}.

Tous les réels ayant pour image MM sont aussi des mesures en radians de l’angle IOM^\widehat{IOM}. Toutes ces mesures sont de la forme x+2kπx+2k\pi, où kk est un entier relatif.

Parmi toutes ces mesures, l’unique mesure qui appartient à l’intervalle ]π  π]]-\pi\; \pi] est appelée mesure principale de l’angle IOM^\widehat{IOM}.

Voici quelques mesures principales du cercle trigonométrique :

Le cercle trigonométrique et ses mesures principales Le cercle trigonométrique et ses mesures principales

Mesures d’un angle orienté

Définition

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Définition

Mesure d’un angle orienté :

Un angle orienté se mesure en radians Un angle orienté se mesure en radians

Soit u\vec u et v\vec v deux vecteurs non nuls.

Soit MM et NN deux points du cercle trigonométrique tels que u\vec u et OM\overrightarrow{OM}, d’une part, et v\vec v et ON\overrightarrow{ON}, d’autre part, soient colinéaires et de même sens.

Les mesures en radian de l’angle orienté (u, v)\big(\vec u,\ \vec v\big) sont les différences yxy-x, où x et yx\text{ et }y sont les réels associés respectivement aux points MM et NN.

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Exemple

Voyons comment coder un angle orienté ; l’angle (OM, ON)\big(\overrightarrow{OM},\ \overrightarrow{ON}\big) se représente comme sur cette figure.

Schéma d’un angle orienté Schéma d’un angle orienté

La mesure principale de cet angle étant l’unique mesure appartenant à ]π ;π]]-π\ ; π] il s’agit donc de celle représentée par le premier schéma.

Propriétés des angles orientés

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Propriété

Soit u\vec u et v\vec v deux vecteurs non nuls. Dire que u\vec u et v\vec v sont colinéaires revient à dire que la mesure principale de (u, v)\big(\vec u,\ \vec v\big) est égale à :

  • 00 (u\vec u et v\vec v sont de même sens) :

  • π (u\vec u et v\vec v sont de sens opposés) :

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Propriété

Soit u,v et w\vec u, \vec v\text{ et }\vec w trois vecteurs non nuls. On a alors la relation de Chasles : (u,v)+(v,w)=(u,w)+2kπ(\vec u,\vec v)+(\vec v,\vec w)=(\vec u,\vec w)+2k\pi

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Propriété

Soit u\vec u et v\vec v deux vecteurs non nuls :

(v,u)=(u, v)+2kπ(u,v)=(u, v)+2kπ(u, v)=(u,v)=(u, v)+π+2kπ\begin{aligned}\big(\vec v, \vec u\big)=-\big(\vec u,\ \vec v\big)+2kπ \ \big(-\vec u, -\vec v\big)=\big(\vec u,\ \vec v\big)+2kπ\ \big(-\vec u,\ \vec v\big)=\big(\vec u,-\vec v\big)=\big(\vec u,\ \vec v\big)+π+2kπ\end{aligned}

Cosinus et sinus d’un angle

Cosinus et sinus d’un angle orienté

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Définition

Cosinus et sinus d’un angle orienté :

Soit MM le point du cercle trigonométrique associé à un réel aa :

  • Le cosinus du réel aa, noté cosa\cos a, est l’abscisse du point MM dans le repère (O, ı; ȷ)(O,\ \vec\imath ;\ \vec\jmath).
  • ​Le sinus du réel aa, noté sina\sin a, est l’ordonnée du point MM dans le repère (O, ı; ȷ)(O,\ \vec\imath ;\ \vec\jmath).
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Exemple

Le point MM a pour coordonnées M(cosa, sina)M(\cos a ,\ \sin a ).

À chaque réel aa, on peut associer une unique valeur du cosinus et du sinus.

Le tableau suivant regroupe les valeurs particulières des cosinus et sinus :

aa 00 {π}6\dfrac{\pi}6 {π}4\dfrac{\pi}4 {π}3\dfrac{\pi}3 {π}2\dfrac{\pi}2
cosa\cos a 11 \dfrac{\sqrt 3}{2} \dfrac{\sqrt 2}{2} {1}{2}\dfrac{1}{2} 00
sina\sin a 00 {1}{2}\dfrac{1}{2} \dfrac{\sqrt 2}{2} \dfrac{\sqrt 3}{2} 11
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Propriété

  • Pour tout nombre réel a :

1cosa11sina1\begin{array}{rcccl} &-1&≤&\cos a &≤&1 \ &-1&≤&\sin a &≤&1 \end{array}

  • Pour tout nombre réel a :

cos2 a+sin2 a=1\cos^2\ a +\sin^2\ a =1

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Propriété

Le cosinus et le sinus d’un angle orienté sont le cosinus et le sinus d’une quelconque de ses mesures.

Cosinus et sinus d’angles associés

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Définition

Angles associés :

On dit que des angles orientés sont « associés » s’ils admettent des cosinus ou des sinus égaux ou opposés.

Les formules suivantes sont à retenir ou à savoir retrouver à partir du cercle trigonométrique :

cos (t)=costsin (t)=sintcos (πt)=costsin (πt)=sintcos (π+t)=costsin (π+t)=sint\begin{array}{l} \cos\ (-t)=\cos t \ \sin\ (-t)=-\sin t \ \cos\ (π-t)=-\cos t \ \sin\ (π-t)=\sin t \ \cos\ (π+t)=-\cos t \ \sin\ (π+t)=-\sin t \ \end{array}</span

cos(π2t)=sint sin(π2t)=cost cos(π2+t)=sint sin(π2+t)=cost\begin{array}{l} \cos (\fracπ2-t)=\sin t\\ sin(\fracπ2-t)=\cos t\\ cos(\fracπ2+t)=-\sin t\\ sin(\fracπ2+t)=\cos t \end{array}</span

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À retenir

t, πt, π+t, π2t, π2+t-t,\ π-t,\ π+t,\ \dfracπ2-t,\ \dfracπ2+t s’appellent les angles associés à tt.

Formules d’addition et de duplication

Les formules d’addition permettent de déterminer les valeurs exactes des cosinus et sinus de réels ou d’angles orientés à partir des valeurs remarquables déjà connues.

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Propriété

Quels que soient les réels a et b:a\text{ et }b:

cos(ab)=cosacosb+sinasinbcos(a+b)=cosacosbsinasinbsin(ab)=sinacosbcosasinbsin(a+b)=sinacosb+cosasinb\begin{array}{l} \cos (a-b) =\cos a \cos b +\sin a \sin b \ \cos (a+b) =\cos a \cos b -\sin a \sin b \ \sin (a-b) =\sin a \cos b -\cos a \sin b \ \sin (a+b) =\sin a \cos b +\cos a \sin b \end{array}

Les formules de duplication permettent, à partir des cosinus et sinus d’un angle de mesure aa, de calculer les cosinus et sinus de l’angle double 2a2a, d’où leur nom.

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Propriété

Quel que soit le réel a:a :

cos(2a)=cos2 asin2a=2cos2 a1=12sin2asin(2a)=2sinacosa\begin{array}{l} \begin{aligned} \cos (2a)&=\cos ^2\ a -\sin^2 a \ &=2\cos^2\ a -1\&=1-2\sin^2 a \ \end{aligned} \ \sin (2a) =2\sin a \cos a \end{array}

Équations trigonométriques

La dernière partie de ce cours concerne les équations trigonométriques de la forme cosx=cosasinx=sina\begin{array}{l} \cos x =\cos a\ \sin x =\sin a \end{array}

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Propriété

  • Soit un réel aa.

Les solutions dans R\mathbb R de l’équation cosx=cosa\cos x=\cos a sont les réels a+2kπa+2kπ et a+2kπ-a+2kπ, où kk est un entier relatif.

  • Soit un réel aa.

Les solutions dans R\mathbb R de l’équation sinx=sina\sin x=\sin a sont les réels a+2kπa+2kπ et πa+2kππ-a+2kπ, où kk est un entier relatif.

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Exemple

Pour résoudre l’équation cosx=cos(π3)\cos x =\cos (π3), on utilise la première propriété.

Si l’on cherche à résoudre cette équation dans R\mathbb R, on a S={π3+2kπ ;-π3+2kπ}\mathscr S=\left\lbrace-\dfrac{\pi}3+2k\pi\ ; -\dfrac{\pi}3+2k\pi\right\rbrace.

Si l’on cherche à résoudre cette équation dans ]π;π]]-\pi; \pi] seulement, on a S={π3 ; π3}\mathscr S=\left\lbrace-\dfrac\pi3\ ; \ \dfrac\pi3\right\rbrace.

Si l’on cherche à résoudre cette équation dans [0;2π][0; 2\pi] seulement, on a S={π3 ;5π3}\mathscr S=\left\lbrace\dfrac\pi3\ ; \dfrac{5\pi}3\right\rbrace.

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Astuce

On remarque que selon l’intervalle donné dans l’énoncé, les solutions ne s’écrivent pas de la même façon. Mais elles correspondent toujours aux deux mêmes points images sur le cercle trigonométrique.

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Exemple

Pour résoudre l’équation sinx=sin(π4)\sin x =\sin \big(\dfracπ4\big), on utilise la deuxième propriété. Si l’on cherche à résoudre cette équation dans R\mathbb R, on a :

S={π4+2kπ ; ππ4+2kπ}={π4+2kπ ; 3π4+2kπ}\begin{aligned} \mathscr S&=\big\lbrace\dfrac\pi4+2k\pi\ ;\ \pi-\dfrac\pi4+2k\pi\big\rbrace \ &=\big\lbrace\dfracπ4+2kπ\ ;\ 3\dfrac\pi4+2k\pi\big\rbrace \end{aligned}

Si l’on cherche à résoudre cette équation dans ]π ;π]]-\pi\ ; \pi] seulement, on a S={π4 ; 3π4}\mathscr S=\big\lbrace\dfrac\pi4\ ;\ \dfrac{3\pi}4\big\rbrace.

Conclusion :

Cette leçon sur la trigonométrie a permis de revoir comment convertir les degrés en radians et inversement. Nous avons revu également les cosinus et sinus des angles. Nous avons appris les propriétés des angles orientés et des angles associés ainsi que les formules d’addition et de duplication et nous avons appris à résoudre des équations trigonométriques.