Trigonométrie
Introduction :
Ce cours débute par des rappels concernant le repérage sur le cercle trigonométrique. Nous parlerons ensuite des mesures d’angles orientés puis nous aborderons le cosinus et le sinus d’un angle pour finir par la résolution d’équations trigonométriques.
Repérage sur le cercle trigonométrique
Repérage sur le cercle trigonométrique
Enroulement de la droite numérique
Enroulement de la droite numérique
Avant de rentrer dans le vif du sujet et de parler de repérage sur le cercle trigonométrique, nous allons commencer par rappeler la définition de ce cercle.
Définition
Cercle trigonométrique :
Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O,\ \vec\imath ;\ \vec\jmath)$ le cercle trigonométrique est le cercle $\mathscr C$ de centre $O$ et de rayon $1$ orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, appelé sens direct.
Exemple
Dans un repère orthonormé $(O,\ \vec\imath ;\ \vec\jmath)$, on considère le cercle trigonométrique et $d$ la droite numérique graduée, tangente au cercle au point $I$.
Le zéro de la droite numérique coïncide avec le point $I$.
Quand on enroule, sur le cercle $\mathscr C$, la demi-droite rouge des réels positifs dans le sens direct et la demi-droite bleue des réels négatifs dans le sens indirect, chaque réel $x$ vient s’appliquer sur un unique point $M$ du cercle $\mathscr C$.
On dit que $M$ est l’image de $x$ sur le cercle trigonométrique.
Réciproquement, tout point $M$ du cercle est l’image d’une infinité de réels. Si $x$ est l’un de ces réels, les autres sont les réels de la forme $x+2kπ$, où $k$ est un entier relatif.
Cela résulte du fait que le périmètre de $\mathscr C$ est égal à $2π$.
Ainsi, le point $J$ par exemple est associé à $\dfracπ2$ ; à $\dfracπ2+2π=\dfrac{5π}{2}$ ; à $\dfracπ2+4π=\dfrac{9π}{2}$… mais aussi à $-\dfrac{3π}2$ ; $-\dfrac{7π}2$…
Le radian
Le radian
Définition
Radian :
Le radian est l’unité de mesure des angles telle que la mesure en radian d’un angle est égale à la longueur de l’arc que cet angle intercepte sur un cercle de rayon $1$.
Lien entre angle du cercle trigonométrique et mesure en radians
Exemple
Sur cette figure, la longueur de l’arc $\overset{\displaystyle\frown}{IU}$ est égale à $1$ et la mesure de l’angle $\widehat{IOU}$ est égale à 1 radian.
On peut convertir les mesures des angles de degrés en radians ou, inversement, de radians en degrés…
Propriété
Les mesures des angles en degrés d’une part et en radians d’autre part sont proportionnelles.
On a le tableau de conversion suivant :
| Degrés | $30$ | $45$ | $60$ | $90$ | $180$ | $360$ |
| Radians | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $2\pi$ |
Astuce
Pour passer des degrés aux radians, on multiplie par $\dfrac{π}{180}$ et inversement, pour passer des radians aux degrés, on multiplie par $\dfrac{180}\pi$.
Mesure principale d’un angle
Mesure principale d’un angle
Définition
Mesure principale d’un angle :
Soit $M$ un point du cercle trigonométrique.
Le réel $x$ d’image $M$ est appelé mesure en radians de l’angle $\widehat{IOM}$.
Tous les réels ayant pour image $M$ sont aussi des mesures en radians de l’angle $\widehat{IOM}$. Toutes ces mesures sont de la forme $x+2k\pi$, où $k$ est un entier relatif.
Parmi toutes ces mesures, l’unique mesure qui appartient à l’intervalle $]-\pi\; \pi]$ est appelée mesure principale de l’angle $\widehat{IOM}$.
Voici quelques mesures principales du cercle trigonométrique :
Le cercle trigonométrique et ses mesures principales
Mesures d’un angle orienté
Mesures d’un angle orienté
Définition
Définition
Définition
Mesure d’un angle orienté :
Un angle orienté se mesure en radians
Soit $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs non nuls.
Soit $M$ et $N$ deux points du cercle trigonométrique tels que $\vec u$ et $\overrightarrow{OM}$, d’une part, et $\vec v$ et $\overrightarrow{ON}$, d’autre part, soient colinéaires et de même sens.
Les mesures en radian de l’angle orienté $\big(\vec u,\ \vec v\big)$ sont les différences $y-x$, où $x\text{ et }y$ sont les réels associés respectivement aux points $M$ et $N$.
Exemple
Voyons comment coder un angle orienté ; l’angle $\big(\overrightarrow{OM},\ \overrightarrow{ON}\big)$ se représente comme sur cette figure.
Schéma d’un angle orienté
La mesure principale de cet angle étant l’unique mesure appartenant à $]-π\ ; π]$ il s’agit donc de celle représentée par le premier schéma.
Propriétés des angles orientés
Propriétés des angles orientés
Propriété
Soit $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs non nuls. Dire que $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires revient à dire que la mesure principale de $\big(\vec u,\ \vec v\big)$ est égale à :
- $0$ ($\vec u$ et $\vec v$ sont de même sens) :
- π ($\vec u$ et $\vec v$ sont de sens opposés) :
Propriété
Propriété
Soit $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs non nuls :
$\begin{aligned}\big(\vec v, \vec u\big)=-\big(\vec u,\ \vec v\big)+2kπ \\ \big(-\vec u, -\vec v\big)=\big(\vec u,\ \vec v\big)+2kπ\\ \big(-\vec u,\ \vec v\big)=\big(\vec u,-\vec v\big)=\big(\vec u,\ \vec v\big)+π+2kπ\end{aligned}$
Cosinus et sinus d’un angle
Cosinus et sinus d’un angle
Cosinus et sinus d’un angle orienté
Cosinus et sinus d’un angle orienté
Définition
Cosinus et sinus d’un angle orienté :
Soit $M$ le point du cercle trigonométrique associé à un réel $a$ :
- Le cosinus du réel $a$, noté $\cos a$, est l’abscisse du point $M$ dans le repère $(O,\ \vec\imath ;\ \vec\jmath)$.
- Le sinus du réel $a$, noté $\sin a$, est l’ordonnée du point $M$ dans le repère $(O,\ \vec\imath ;\ \vec\jmath)$.
Exemple
Le point $M$ a pour coordonnées $M(\cos a ,\ \sin a )$.
À chaque réel $a$, on peut associer une unique valeur du cosinus et du sinus.
Le tableau suivant regroupe les valeurs particulières des cosinus et sinus :
| $a$ | $0$ | $\dfrac{\pi}6$ | $\dfrac{\pi}4$ | $\dfrac{\pi}3$ | $\dfrac{\pi}2$ |
| $\cos a$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt 3}{2}$ | $\dfrac{\sqrt 2}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\sin a$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt 2}{2}$ | $\dfrac{\sqrt 3}{2}$ | $1$ |
Propriété
- Pour tout nombre réel a :
$\begin{array}{rcccl} &-1&≤&\cos a &≤&1 \\ &-1&≤&\sin a &≤&1 \end{array}$
- Pour tout nombre réel a :
$\cos^2\ a +\sin^2\ a =1$
Propriété
Le cosinus et le sinus d’un angle orienté sont le cosinus et le sinus d’une quelconque de ses mesures.
Cosinus et sinus d’angles associés
Cosinus et sinus d’angles associés
Définition
Angles associés :
On dit que des angles orientés sont « associés » s’ils admettent des cosinus ou des sinus égaux ou opposés.
Les formules suivantes sont à retenir ou à savoir retrouver à partir du cercle trigonométrique :
$\begin{array}{l} \cos\ (-t)=\cos t \\ \sin\ (-t)=-\sin t \\ \cos\ (π-t)=-\cos t \\ \sin\ (π-t)=\sin t \\ \cos\ (π+t)=-\cos t \\ \sin\ (π+t)=-\sin t \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} \cos (\fracπ2-t)=\sin t\\ sin(\fracπ2-t)=\cos t\\ cos(\fracπ2+t)=-\sin t\\ sin(\fracπ2+t)=\cos t \end{array}$
À retenir
$-t,\ π-t,\ π+t,\ \dfracπ2-t,\ \dfracπ2+t $ s’appellent les angles associés à $t$.
Formules d’addition et de duplication
Formules d’addition et de duplication
Les formules d’addition permettent de déterminer les valeurs exactes des cosinus et sinus de réels ou d’angles orientés à partir des valeurs remarquables déjà connues.
Propriété
Quels que soient les réels $a\text{ et }b:$
$\begin{array}{l} \cos (a-b) =\cos a \cos b +\sin a \sin b \\ \cos (a+b) =\cos a \cos b -\sin a \sin b \\ \sin (a-b) =\sin a \cos b -\cos a \sin b \\ \sin (a+b) =\sin a \cos b +\cos a \sin b \end{array}$
Les formules de duplication permettent, à partir des cosinus et sinus d’un angle de mesure $a$, de calculer les cosinus et sinus de l’angle double $2a$, d’où leur nom.
Propriété
Quel que soit le réel $a :$
$\begin{array}{l} \begin{aligned} \cos (2a)&=\cos ^2\ a -\sin^2 a \\ &=2\cos^2\ a -1\\&=1-2\sin^2 a \\ \end{aligned} \\ \sin (2a) =2\sin a \cos a \end{array}$
Équations trigonométriques
Équations trigonométriques
La dernière partie de ce cours concerne les équations trigonométriques de la forme $\begin{array}{l} \cos x =\cos a\\ \sin x =\sin a \end{array}$
Propriété
- Soit un réel $a$.
Les solutions dans $\mathbb R$ de l’équation $\cos x=\cos a$ sont les réels $a+2kπ$ et $-a+2kπ$, où $k$ est un entier relatif.
- Soit un réel $a$.
Les solutions dans $\mathbb R$ de l’équation $\sin x=\sin a$ sont les réels $a+2kπ$ et $π-a+2kπ$, où $k$ est un entier relatif.
Exemple
Pour résoudre l’équation $\cos x =\cos (π3)$, on utilise la première propriété.
Si l’on cherche à résoudre cette équation dans $\mathbb R$, on a $\mathscr S=\left\lbrace-\dfrac{\pi}3+2k\pi\ ; -\dfrac{\pi}3+2k\pi\right\rbrace$.
Si l’on cherche à résoudre cette équation dans $]-\pi; \pi]$ seulement, on a $\mathscr S=\left\lbrace-\dfrac\pi3\ ; \ \dfrac\pi3\right\rbrace$.
Si l’on cherche à résoudre cette équation dans $[0; 2\pi]$ seulement, on a $\mathscr S=\left\lbrace\dfrac\pi3\ ; \dfrac{5\pi}3\right\rbrace$.
Astuce
On remarque que selon l’intervalle donné dans l’énoncé, les solutions ne s’écrivent pas de la même façon. Mais elles correspondent toujours aux deux mêmes points images sur le cercle trigonométrique.
Exemple
Pour résoudre l’équation $\sin x =\sin \big(\dfracπ4\big)$, on utilise la deuxième propriété. Si l’on cherche à résoudre cette équation dans $\mathbb R$, on a :
$\begin{aligned} \mathscr S&=\big\lbrace\dfrac\pi4+2k\pi\ ;\ \pi-\dfrac\pi4+2k\pi\big\rbrace \\ &=\big\lbrace\dfracπ4+2kπ\ ;\ 3\dfrac\pi4+2k\pi\big\rbrace \end{aligned}$
Si l’on cherche à résoudre cette équation dans $]-\pi\ ; \pi]$ seulement, on a $\mathscr S=\big\lbrace\dfrac\pi4\ ;\ \dfrac{3\pi}4\big\rbrace$.
Conclusion :
Cette leçon sur la trigonométrie a permis de revoir comment convertir les degrés en radians et inversement. Nous avons revu également les cosinus et sinus des angles. Nous avons appris les propriétés des angles orientés et des angles associés ainsi que les formules d’addition et de duplication et nous avons appris à résoudre des équations trigonométriques.