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Utiliser la trigonométrie du triangle rectangle

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Introduction :

Cette leçon permet, grâce à des formules trigonométriques, de calculer des longueurs de côtés ou des mesures d’angles dans un triangle rectangle.

Dans un premier temps nous nous intéresserons au cosinus d’un angle aigu. Puis nous étudierons le sinus d’un angle aigu. Enfin nous verrons la tangente de ce dernier.

Avant d’aborder ce cours, voyons quelques rappels nécessaires pour une meilleure compréhension.

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Rappel

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$.
Les angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ACB}$ sont aigus.
On les nomme plus simplement $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$
L’hypoténuse est $BC$.

Alt texte

Pour l’angle $\widehat{B}$ :
Le côté opposé est $AC$.
Le côté adjacent est $AB$.

Pour l’angle $\widehat{C}$ :
Le côté opposé est $AB$.
Le côté adjacent est $AC$.

Cosinus d’un angle aigu

Définition

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Définition

Cosinus d’un angle aigu :

Le cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle est le quotient de son côté adjacent par l’hypoténuse.

Formule

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ :

$\text{cos } \widehat {B}= \dfrac{AB}{BC}$

$\text{cos } \widehat {C}= \dfrac{AC}{BC}$

Méthodologie

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Exemple

Calcul d’un côté de l’angle droit

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tel que $\widehat {C}=50\degree$ et $BC= 6\ \text{cm}$.

Calculer $AC$.

trigonométrie triangle rectangle géométrie mathématiques troisième

On pose :

$\text{cos } \widehat C =\dfrac{AC}{BC}$ donc $\text{cos }\text{50\degree} =\dfrac{AC}{6}$ donc $AC=6 \times \text{cos }50\degree$

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Astuce

Pour calculer la valeur numérique de $AC$, on utilise la calculatrice.

$AC \approx 3,9\text{ cm}$ à $0,1\text{ cm}$ près.

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Exemple

Calcul de l’hypoténuse

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tel que $\widehat {B}=36\degree$ et $AB=7\text{ cm}$.

Calculer $BC$.

trigonométrie triangle rectangle géométrie mathématiques troisième

On pose :

$\text{cos }\widehat B =\dfrac{AB}{BC}$ donc $\text{cos}\ \text{36\degree} =\dfrac{7}{BC}$ donc $BC=\dfrac {7}{\text{cos}\ 36\degree}$

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Astuce

Pour calculer la valeur numérique de $BC$, on utilise la calculatrice.

$BC \approx 8,7\text{ cm}$ à $0,1\text{ cm}$ près.

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Exemple

Calcul d’un angle aigu

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tel que $AC=15\text{ m}$ et $BC=25\text{ m}$.

Calculer l’angle $\widehat C$.

trigonométrie triangle rectangle géométrie mathématiques troisième

On pose :

$\text{cos } \widehat C =\dfrac{AC}{BC}$ donc $\text{cos }\widehat C =\dfrac{15}{25}$ donc $\widehat C = \text{cos}^{-1} \left( \dfrac{15}{25}\right)$

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Astuce

Pour calculer l’angle $\widehat C$, on utilise la calculatrice.

$\widehat{C}\approx 53\degree$ à $1\degree$ près.

Sinus d’un angle aigu

Définition

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Définition

Sinus d’un angle aigu :

Le sinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle est le quotient de son côté opposé par l’hypoténuse.

Formule

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ :

  • $\text{sin } \widehat B=\dfrac{AC}{BC}$
  • $\text{sin } \widehat C=\dfrac{AB}{BC}$

Méthodologie

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Exemple

Calcul d’un côté de l’angle droit

$IJK$ est un triangle rectangle en $K$ tel que $\widehat{J}=25\degree$ et $IJ=13\text{ cm}$

Calculer $IK$.

trigonométrie triangle rectangle géométrie mathématiques troisième

On pose :

$\text{sin }\widehat J =\dfrac{IK}{IJ}$ donc $\text{sin}\ {25\degree} =\dfrac{IK}{13}$ donc $IK=13 \times \text{sin }25\degree$

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Astuce

Pour calculer la valeur numérique de $IK$, on utilise la calculatrice.

$IK \approx 5,5\text{ cm}$ à $0,1\text{ cm}$ près.

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Exemple

Calcul d’une hypoténuse

$IJK$ est un triangle rectangle en $K$ tel que $\widehat J = 40\degree$ et $IK=6\text{ cm}$.

Calculer $IJ$.

trigonométrie triangle rectangle géométrie mathématiques troisième

On pose :

$\text{sin}\ \widehat J =\dfrac{IK}{IJ}$ donc $\text{sin}\ {40\degree} =\dfrac{6}{IJ}$ donc $IJ=\dfrac{6}{\text{sin}\ 40\degree}$

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Astuce

Pour calculer la valeur numérique de $IJ$, on utilise la calculatrice.

$IJ \approx 9,3\text{ cm}$ à $0,1\text{ cm}$ près.

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Exemple

Calcul d’un angle aigu

$IJK$ est un triangle rectangle en $K$ tel que $IJ=10\text{ cm}$ et $JK=6\text{ cm}$.

Calculer $\widehat{I}$.

trigonométrie triangle rectangle géométrie mathématiques troisième

On pose :

$\text{sin }\widehat I =\dfrac{IK}{IJ}$ donc $\text{sin}\ \widehat I =\dfrac{6}{10}$ donc $ \widehat I=\text{sin}^{-1} \left(\dfrac{6}{10}\right)$

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Astuce

Pour calculer l’angle $\widehat I$, on utilise la calculatrice.

$\widehat I \approx 37\degree$ à $1\degree$ près.

Tangente d’un angle aigu

Définition

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Définition

Tangente d’un angle aigu :

La tangente d’un angle aigu dans un triangle rectangle est le quotient de son côté opposé par son côté adjacent.

Formule

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ :

  • $\text{tan }\widehat B=\frac{AC}{AB}$
  • $\text{tan }\widehat C=\frac{AB}{AC}$

Méthodologie

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Exemple

Calcul d’un côté de l’angle droit

$DEF$ est un triangle rectangle en $E$ tel que $\widehat D =62\degree$ et $DE=4\text{ m}$

Calculer $EF$.

trigonométrie triangle rectangle géométrie mathématiques troisième

On pose :

$\text{tan }\widehat D =\dfrac{EF}{DE}$ donc $\text{tan } 62\degree =\dfrac{EF}{4}$ donc $ EF=\text{tan}\ 62\degree \times 4$

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Astuce

Pour calculer la valeur numérique de $EF$, on utilise la calculatrice.

$EF \approx 7,5\text{ m}$

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Exemple

Calcul d’un côté de l’angle droit

$DEF$ est un triangle rectangle en $E$ tel que $\widehat F=57\degree$ et $DE=19\text{ cm}$.

Calculer $EF$.

trigonométrie triangle rectangle géométrie mathématiques troisième

On pose :

$\text{tan }\widehat F =\dfrac{DE}{EF}$ donc $\text{tan }57\degree =\dfrac{19}{EF}$ donc $ EF=\dfrac {19}{\text{tan }57\degree}$

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Astuce

Pour calculer la valeur numérique de $EF$, on utilise la calculatrice.

$EF \approx 12,3\text{ cm}$ à $0,1\text{ cm}$ près.

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Exemple

Calcul d’un angle aigu

$DEF$ est un triangle rectangle en $E$ tel que $DE=5\text{ m}$ et $EF=6\text{ m}$.

Calculer $\widehat D$.

trigonométrie triangle rectangle géométrie mathématiques troisième

On pose :

$\text{tan }\widehat D =\dfrac{EF}{DE}$ donc $\text{tan }\widehat D =\dfrac65 $ donc $\widehat D =\text{tan}^{-1} \left(\dfrac65\right)$

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Astuce

Pour calculer l’angle $\widehat D$, on utilise la calculatrice.

$\widehat D \approx 50\degree$

Conclusion :

Pour se rappeler des formules étudiées dans cette leçon, on peut retenir le mot imaginaire « SOHCAHTOA » (ce sont les initiales de ce qui suit) :

$$\text {sin}=\dfrac{\text {opposé}}{\text {hypoténuse}}$$

$$\text {cos}= \dfrac{\text {adjacent}}{\text {hypoténuse}}$$

$$\text {tan}=\dfrac{\text {opposé}}{\text {adjacent}}$$