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Marianne

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Utiliser la trigonométrie du triangle rectangle

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Introduction :

Cette leçon permet, grâce à des formules trigonométriques, de calculer des longueurs de côtés ou des mesures d’angles dans un triangle rectangle.

Dans un premier temps nous nous intéresserons au cosinus d’un angle aigu. Puis nous étudierons le sinus d’un angle aigu. Enfin nous verrons la tangente de ce dernier.

Avant d’aborder ce cours, voyons quelques rappels nécessaires pour une meilleure compréhension.

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Rappel

ABCABC est un triangle rectangle en AA.
Les angles ABC^\widehat{ABC} et ACB^\widehat{ACB} sont aigus.
On les nomme plus simplement B^\widehat{B} et C^\widehat{C}
L’hypoténuse est BCBC.

Alt texte

Pour l’angle B^\widehat{B} :
Le côté opposé est ACAC.
Le côté adjacent est ABAB.

Pour l’angle C^\widehat{C} :
Le côté opposé est ABAB.
Le côté adjacent est ACAC.

Cosinus d’un angle aigu

Définition

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Définition

Cosinus d’un angle aigu :

Le cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle est le quotient de son côté adjacent par l’hypoténuse.

Formule

Dans le triangle ABCABC rectangle en AA :

cos B^=ABBC\text{cos } \widehat {B}= \dfrac{AB}{BC}

cos C^=ACBC\text{cos } \widehat {C}= \dfrac{AC}{BC}

Méthodologie

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Exemple

Calcul d’un côté de l’angle droit

ABCABC est un triangle rectangle en AA tel que C^=50°\widehat {C}=50\degree et BC=6 cmBC= 6\ \text{cm}.

Calculer ACAC.

trigonométrie triangle rectangle géométrie mathématiques troisième

On pose :

cos C^=ACBC\text{cos } \widehat C =\dfrac{AC}{BC} donc cos 50°=AC6\text{cos }\text{50\degree} =\dfrac{AC}{6} donc AC=6×cos 50°AC=6 \times \text{cos }50\degree

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Astuce

Pour calculer la valeur numérique de ACAC, on utilise la calculatrice.

AC3,9 cmAC \approx 3,9\text{ cm} à 0,1 cm0,1\text{ cm} près.

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Exemple

Calcul de l’hypoténuse

ABCABC est un triangle rectangle en AA tel que B^=36°\widehat {B}=36\degree et AB=7 cmAB=7\text{ cm}.

Calculer BCBC.

trigonométrie triangle rectangle géométrie mathématiques troisième

On pose :

cos B^=ABBC\text{cos }\widehat B =\dfrac{AB}{BC} donc cos 36°=7BC\text{cos}\ \text{36\degree} =\dfrac{7}{BC} donc BC=7cos 36°BC=\dfrac {7}{\text{cos}\ 36\degree}

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Astuce

Pour calculer la valeur numérique de BCBC, on utilise la calculatrice.

BC8,7 cmBC \approx 8,7\text{ cm} à 0,1 cm0,1\text{ cm} près.

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Exemple

Calcul d’un angle aigu

ABCABC est un triangle rectangle en AA tel que AC=15 mAC=15\text{ m} et BC=25 mBC=25\text{ m}.

Calculer l’angle C^\widehat C.

trigonométrie triangle rectangle géométrie mathématiques troisième

On pose :

cos C^=ACBC\text{cos } \widehat C =\dfrac{AC}{BC} donc cos C^=1525\text{cos }\widehat C =\dfrac{15}{25} donc C^=cos1(1525)\widehat C = \text{cos}^{-1} \left( \dfrac{15}{25}\right)

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Astuce

Pour calculer l’angle C^\widehat C, on utilise la calculatrice.

C^53°\widehat{C}\approx 53\degree à 1°1\degree près.

Sinus d’un angle aigu

Définition

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Définition

Sinus d’un angle aigu :

Le sinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle est le quotient de son côté opposé par l’hypoténuse.

Formule

Dans un triangle ABCABC rectangle en AA :

  • sin B^=ACBC\text{sin } \widehat B=\dfrac{AC}{BC}
  • sin C^=ABBC\text{sin } \widehat C=\dfrac{AB}{BC}

Méthodologie

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Exemple

Calcul d’un côté de l’angle droit

IJKIJK est un triangle rectangle en KK tel que J^=25°\widehat{J}=25\degree et IJ=13 cmIJ=13\text{ cm}

Calculer IKIK.

trigonométrie triangle rectangle géométrie mathématiques troisième

On pose :

sin J^=IKIJ\text{sin }\widehat J =\dfrac{IK}{IJ} donc sin 25°=IK13\text{sin}\ {25\degree} =\dfrac{IK}{13} donc IK=13×sin 25°IK=13 \times \text{sin }25\degree

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Astuce

Pour calculer la valeur numérique de IKIK, on utilise la calculatrice.

IK5,5 cmIK \approx 5,5\text{ cm} à 0,1 cm0,1\text{ cm} près.

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Exemple

Calcul d’une hypoténuse

IJKIJK est un triangle rectangle en KK tel que J^=40°\widehat J = 40\degree et IK=6 cmIK=6\text{ cm}.

Calculer IJIJ.

trigonométrie triangle rectangle géométrie mathématiques troisième

On pose :

sin J^=IKIJ\text{sin}\ \widehat J =\dfrac{IK}{IJ} donc sin 40°=6IJ\text{sin}\ {40\degree} =\dfrac{6}{IJ} donc IJ=6sin 40°IJ=\dfrac{6}{\text{sin}\ 40\degree}

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Astuce

Pour calculer la valeur numérique de IJIJ, on utilise la calculatrice.

IJ9,3 cmIJ \approx 9,3\text{ cm} à 0,1 cm0,1\text{ cm} près.

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Exemple

Calcul d’un angle aigu

IJKIJK est un triangle rectangle en KK tel que IJ=10 cmIJ=10\text{ cm} et JK=6 cmJK=6\text{ cm}.

Calculer I^\widehat{I}.

trigonométrie triangle rectangle géométrie mathématiques troisième

On pose :

sin I^=IKIJ\text{sin }\widehat I =\dfrac{IK}{IJ} donc sin I^=610\text{sin}\ \widehat I =\dfrac{6}{10} donc I^=sin1(610) \widehat I=\text{sin}^{-1} \left(\dfrac{6}{10}\right)

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Astuce

Pour calculer l’angle I^\widehat I, on utilise la calculatrice.

I^37°\widehat I \approx 37\degree à 1°1\degree près.

Tangente d’un angle aigu

Définition

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Définition

Tangente d’un angle aigu :

La tangente d’un angle aigu dans un triangle rectangle est le quotient de son côté opposé par son côté adjacent.

Formule

Dans le triangle ABCABC rectangle en AA :

  • tan B^=ACAB\text{tan }\widehat B=\frac{AC}{AB}
  • tan C^=ABAC\text{tan }\widehat C=\frac{AB}{AC}

Méthodologie

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Exemple

Calcul d’un côté de l’angle droit

DEFDEF est un triangle rectangle en EE tel que D^=62°\widehat D =62\degree et DE=4 mDE=4\text{ m}

Calculer EFEF.

trigonométrie triangle rectangle géométrie mathématiques troisième

On pose :

tan D^=EFDE\text{tan }\widehat D =\dfrac{EF}{DE} donc tan 62°=EF4\text{tan } 62\degree =\dfrac{EF}{4} donc EF=tan 62°×4 EF=\text{tan}\ 62\degree \times 4

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Astuce

Pour calculer la valeur numérique de EFEF, on utilise la calculatrice.

EF7,5 mEF \approx 7,5\text{ m}

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Exemple

Calcul d’un côté de l’angle droit

DEFDEF est un triangle rectangle en EE tel que F^=57°\widehat F=57\degree et DE=19 cmDE=19\text{ cm}.

Calculer EFEF.

trigonométrie triangle rectangle géométrie mathématiques troisième

On pose :

tan F^=DEEF\text{tan }\widehat F =\dfrac{DE}{EF} donc tan 57°=19EF\text{tan }57\degree =\dfrac{19}{EF} donc EF=19tan 57° EF=\dfrac {19}{\text{tan }57\degree}

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Astuce

Pour calculer la valeur numérique de EFEF, on utilise la calculatrice.

EF12,3 cmEF \approx 12,3\text{ cm} à 0,1 cm0,1\text{ cm} près.

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Exemple

Calcul d’un angle aigu

DEFDEF est un triangle rectangle en EE tel que DE=5 mDE=5\text{ m} et EF=6 mEF=6\text{ m}.

Calculer D^\widehat D.

trigonométrie triangle rectangle géométrie mathématiques troisième

On pose :

tan D^=EFDE\text{tan }\widehat D =\dfrac{EF}{DE} donc tan D^=65\text{tan }\widehat D =\dfrac65 donc D^=tan1(65)\widehat D =\text{tan}^{-1} \left(\dfrac65\right)

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Astuce

Pour calculer l’angle D^\widehat D, on utilise la calculatrice.

D^50°\widehat D \approx 50\degree

Conclusion :

Pour se rappeler des formules étudiées dans cette leçon, on peut retenir le mot imaginaire « SOHCAHTOA » (ce sont les initiales de ce qui suit) :

sin=opposeˊhypoteˊnuse\text {sin}=\dfrac{\text {opposé}}{\text {hypoténuse}}

cos=adjacenthypoteˊnuse\text {cos}= \dfrac{\text {adjacent}}{\text {hypoténuse}}

tan=opposeˊadjacent\text {tan}=\dfrac{\text {opposé}}{\text {adjacent}}