Cours : Utiliser le théorème de Thalès et sa réciproque

Conditions d'application du théorème de Thalès

Nous avons déjà vu avec le théorème des milieux que le segment qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle vaut la moitié du troisième côté et est parallèle à celui-ci.

On considère un triangle $ABC$ avec :

• $I$ milieu de $[AB]$, soit $\dfrac{AI}{AB} = \dfrac12$
• $J$ milieu de $[AC]$, soit $\dfrac{AJ}{AC} = \dfrac12$

On a, d'après le théorème des milieux :
$$IJ=\dfrac12{BC}$$

• Soit $\dfrac{IJ}{BC}=\dfrac12$ avec $(IJ) // (BC)$

On peut par conséquent écrire que $\dfrac{AI}{AB}=\dfrac{AJ}{AC}=\dfrac{IJ}{BC}$ puisque tous ces rapports valent $\dfrac12$.

On peut dire que les rapports des côtés du petit triangle sur les côtés du grand triangle sont égaux.

Ce rapport est-il vrai dans n'importe quelle configuration ?

• $(IJ)$ n'est pas parallèle à $(BC)$ : $\dfrac{AI}{AB} \neq \dfrac{AJ}{AC}$

• $(IJ)$ est parallèle à $(AC)$ : $\dfrac{BI}{BA} = \dfrac{BJ}{BC}=\dfrac14$

• $(IJ)$ est parallèle à $(BC)$ et les points $B$, $A$ et $J$ sont alignés, de même que les points $C$, $A$ et $I$ : $\dfrac{AI}{AC} = \dfrac{AJ}{AB}=\dfrac12$

• $(BC)$ est parallèle à $(IJ)$ et $I$, $A$ et $C$ ne sont pas alignés : $\dfrac{AB}{AI} \neq \dfrac{AC}{AJ}$

À retenir

À la vue de ces différents exemples, nous constatons que les rapports des côtés du petit triangle sur les côtés du grand triangle sont égaux sous certaines conditions :

• un des côtés du petit triangle doit être parallèle à un des côtés du grand triangle ;
• les deux triangles doivent avoir un sommet commun ;
• les côtés non parallèles des triangles doivent appartenir à une même droite.

Ces 3 conditions sont nécessaires pour appliquer le théorème de Thalès.

Théorème de Thalès

Le théorème

Théorème

• Soient $(d)$ et $(d')$ deux droites sécantes en $A$ ;
• soient $B$ et $M$ deux points de $(d)$ distincts de $A$ ;
• soient $C$ et $N$ deux points de $(d')$ distincts de $A$.

Si les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles, alors :

$$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$$

• La longueur des côtés du triangle $AMN$ est proportionnelle à la longueur des côtés du triangle $ABC$.

Ce théorème est utilisé pour calculer la mesure d'un côté d'un des triangles.

Exemple

Soit le triangle $ABC$ de la figure ci-dessous avec $(MN) // (BC)$.

On veut calculer la longueur de $[AC]$.

On sait que :

• $A$, $M$ et $B$ sont alignés dans cet ordre ;
• $A$, $N$ et $C$ sont alignés dans cet ordre ;
• $(MN) // (BC)$.

D'après le théorème de Thalès, dans les triangles $ABC$ et $AMN$, on a :

$$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$$

De plus, on sait que :

• $AM = 4\text{ cm}$
• $AB = 6\text{ cm}$
• $AN = 7\text{ cm}$

On remplace les longueurs des segments par leurs valeurs numériques :

$$\dfrac46=\dfrac{7}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$$

Dans ce cas, on utilise la première partie de l'égalité :

$$\dfrac46=\dfrac{7}{AC}$$

On est dans une situation d'égalité de deux fractions, on utilise donc le produit en croix.

Soit :

$$AC=\dfrac{7 \times 6}{4}=\dfrac{42}{4}=10,5\ \text{cm}$$

Réciproque du théorème de Thalès

Théorème

• Soient $(d)$ et $(d')$ deux droites sécantes en $A$ ;
• soient $B$ et $M$ deux points de $(d)$, distincts de $A$ ;
• soient $C$ et $N$ deux points de $(d')$, distincts de $A$.

Si $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$ ou $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC}$ ou $\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AN}{AC}$ et si les points $A$, $B$, $M$ et les points $A$, $C$, $N$ sont alignés dans cet ordre, alors les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles.

Astuce

Réciproquement si les rapports ne sont pas égaux les droites ne sont pas parallèles.

Contraposée

Soit $ABC$ un triangle tel que $M \in (AB)$ et $N \in (AC)$

Si $\dfrac{AM}{AB} \neq \dfrac{AN}{AC}$ ou $\dfrac{AM}{AB}\neq \dfrac{MN}{BC}$ ou$\dfrac{MN}{BC}\neq\dfrac{AN}{AC}$ alors on peut affirmer que les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.

Exemple d'application

• On sait que $(AB)$ est parallèle à $(DE)$, on peut par conséquent utiliser le théorème de Thalès pour calculer la mesure du segment $[CD]$.
• On a les mesures des côtés $[CE]$, $[CF]$ et $[CG]$ des triangles $CDE$ et $CGF$. On calcule les rapports $\dfrac{CD}{CF}$ et $\dfrac{CE}{CG}$.
• D'après la réciproque ainsi que la contraposée du théorème de Thalès, si ces rapports sont égaux alors $(DE)$ et $(FG)$ sont parallèles. Par contre, si ces rapports ne sont pas égaux, $(DE)$ et $(FG)$ ne sont parallèles.

Réponse

• On sait que :
• $A$, $C$ et $E$ alignés dans cet ordre ;
• $B$, $C$ et $D$ alignés dans cet ordre ;
• $(AB) // (DE)$.
• Ces conditions permettent par conséquent d'appliquer le théorème de Thalès aux triangles $ABC$ et $CDE$.
• On a : $\dfrac{AC}{EC}=\dfrac{CB}{CD}=\dfrac{AB}{ED}$
• Et : $\dfrac{4}{2}=\dfrac{2,5}{CD}=\dfrac{AB}{ED}$
• Soit : $\dfrac{4}{2}=\dfrac{2,5}{CD}$
• D'après la propriété des produits en croix : $CD=\dfrac{2 \times 2,5}{4}=\dfrac54=1,25$
• $CD = 1,25\text{ cm}$
• On sait que :
• $C$, $D$ et $F$ sont alignés dans cet ordre ;
• $C$, $G$ et $E$ sont alignés dans cet ordre.

On calcule $\dfrac{CD}{CF}$ et $\dfrac{CE}{CG}$

On a $\dfrac{CD}{CF}=\dfrac{1,25}{2}=0,625$

De plus, $\dfrac{CE}{CG}=\dfrac{2}{2,5}=0,8$

Donc $\dfrac{CD}{CF} \neq \dfrac{CE}{CG}$

• D'après la contraposée du théorème de Thalès, $(ED)$ n'est pas parallèle à $(FG)$.