Introduction
Dans cette fiche, nous allons démontrer que tout nombre à chiffres de la forme « », avec , et des entiers naturels compris entre et (par exemple, , où , et ), est divisible par , et – le petit « tour de magie » de la vidéo du cours de l’option « Mathématiques expertes » intitulé : « Nombres premiers et petit théorème de Fermat ».
Prérequis
- Un entier est divisible par un entier si et seulement si il existe un entier tel que :
- La somme de plusieurs entiers est aussi un entier.
Le produit de deux entiers est aussi un entier. - Remarquons que :
- Un nombre entier de la forme « », en base , s’écrit :
Démonstration
Reprenons l’écriture que nous avons donnée d’un entier de la forme « », avec toujours , et des entiers naturels compris entre et :
- Montrons que est divisible par .
Nous avons donc :
Posons .
Comme somme et produit de nombres entiers, est aussi un entier et nous avons :
- est donc divisible par .
- Montrons que est divisible par .
De la même façon :
- est donc divisible par .
- Montrons enfin que est divisible par .
Toujours de la même façon :
- est donc divisible par .
- Quels que soient les entiers , et compris entre et , l’entier de la forme « » est divisible par , et .
Vérifions avec en utilisant notre calculatrice :
- est bien divisible par , et .
Vous pouvez essayer avec le nombre de votre choix, vous verrez que, bien sûr, cela fonctionne !