Démonstration : Tout nombre de la forme "mnp mnp" est divisible par 7, 11 et 13

Dans cette fiche, nous allons démontrer que tout nombre à $6$ chiffres de la forme « $mnp\,mnp$ », avec $m$, $n$ et $p$ des entiers naturels compris entre $0$ et $9$ (par exemple, $763\,763$, où $m=7$, $n=6$ et $p=3$), est divisible par $7$, $11$ et $13$ – le petit « tour de magie » de la vidéo du cours de l’option « Mathématiques expertes » intitulé : « Nombres premiers et petit théorème de Fermat ».

• Un entier $A$ est divisible par un entier $B$ si et seulement si il existe un entier $k$ tel que :

$$A=B\times k$$

• La somme de plusieurs entiers est aussi un entier.
  Le produit de deux entiers est aussi un entier.
• Remarquons que :

$$7\times 11\times 13=1\,001$$

• Un nombre entier $A$ de la forme « $mnp\,mnp$ », en base $10$, s’écrit :

$$A=m\times 10^5+n\times 10^4+p\times 10^3+ m\times 10^2+n\times 10^1+p\times 10^0$$

Exemple

$763\,763=7\times 10^5+6\times 10^4+3\times 10^3+ 7\times 10^2+6\times 10^1+3\times 10^0$

Reprenons l’écriture que nous avons donnée d’un entier $A$ de la forme « $mnp\,mnp$ », avec toujours $m$, $n$ et $p$ des entiers naturels compris entre $0$ et $9$ :

$$\begin{aligned} A&=m\times 10^5+n\times 10^4+p\times 10^3+ m\times 10^2+n\times 10^1+p\times 10^0 \\ &=m\times (10^5+10^2)+n\times (10^4+10)+p\times (10^3+1) \\ &=m\times 10^2\times (10^3+1)+n\times 10\times (10^3+1)+p\times (10^3+1) \\ &=(10^3+1)\times (m\times 10^2+n\times 10+p) \\ &=1\,001\times (m\times 10^2+n\times 10+p) \\ &=7\times 11\times 13\times (m\times 10^2+n\times 10+p) \end{aligned}$$

• Montrons que $A$ est divisible par $7$.

Nous avons donc :

$$A=7\times \big(11\times 13\times (m\times 10^2+n\times 10+p)\big)$$

Posons $k=11\times 13\times (m\times 10^2+n\times 10+p)$.
Comme somme et produit de nombres entiers, $k$ est aussi un entier et nous avons :

$$A=7\times k \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $k$ un entier]}}}$$

• $A$ est donc divisible par $7$.
• Montrons que $A$ est divisible par $11$.

De la même façon :

$$\begin{aligned} A&=11\times \overbrace{\big(7\times 13\times (m\times 10^2+n\times 10+p)\big)}^{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{k^{\prime}}}} \\ &=11\times k^{\prime} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $k^{\prime}$ un entier]}}} \end{aligned}$$

• $A$ est donc divisible par $11$.
• Montrons enfin que $A$ est divisible par $11$.

Toujours de la même façon :

$$\begin{aligned} A&=13\times \overbrace{\big(7\times 11\times (m\times 10^2+n\times 10+p)\big)}^{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{k^{\prime\prime}}}} \\ &=13\times k^{\prime\prime} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $k^{\prime\prime}$ un entier]}}} \end{aligned}$$

• $A$ est donc divisible par $13$.
• Quels que soient les entiers $m$, $n$ et $p$ compris entre $0$ et $9$, l’entier $A$ de la forme « $mnp\,mnp$ » est divisible par $7$, $11$ et $13$.

Exemple

Vérifions avec $A=763\,763$ en utilisant notre calculatrice :

$$\begin{aligned} \dfrac {763\,763}7&=109\,109 \\ \dfrac {763\,763}{11}&=69\,433 \\ \dfrac {763\,763}{13}&=58\,751 \end{aligned}$$

• $763\,763$ est bien divisible par $7$, $11$ et $13$.

Vous pouvez essayer avec le nombre de votre choix, vous verrez que, bien sûr, cela fonctionne !