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Tout nombre de la forme "mnp mnp" est divisible par 7, 11 et 13
Démonstration

Introduction

Dans cette fiche, nous allons démontrer que tout nombre à 66 chiffres de la forme « mnpmnpmnp\,mnp », avec mm, nn et pp des entiers naturels compris entre 00 et 99 (par exemple, 763763763\,763, où m=7m=7, n=6n=6 et p=3p=3), est divisible par 77, 1111 et 1313 – le petit « tour de magie » de la vidéo du cours de l’option « Mathématiques expertes » intitulé : « Nombres premiers et petit théorème de Fermat ».

Prérequis

  • Un entier AA est divisible par un entier BB si et seulement si il existe un entier kk tel que :

A=B×kA=B\times k

  • La somme de plusieurs entiers est aussi un entier.
    Le produit de deux entiers est aussi un entier.
  • Remarquons que :

7×11×13=10017\times 11\times 13=1\,001

  • Un nombre entier AA de la forme « mnpmnpmnp\,mnp », en base 1010, s’écrit :

A=m×105+n×104+p×103+m×102+n×101+p×100A=m\times 10^5+n\times 10^4+p\times 10^3+ m\times 10^2+n\times 10^1+p\times 10^0

bannière exemple

Exemple

763763=7×105+6×104+3×103+7×102+6×101+3×100763\,763=7\times 10^5+6\times 10^4+3\times 10^3+ 7\times 10^2+6\times 10^1+3\times 10^0

Démonstration

Reprenons l’écriture que nous avons donnée d’un entier AA de la forme « mnpmnpmnp\,mnp », avec toujours mm, nn et pp des entiers naturels compris entre 00 et 99 :

A=m×105+n×104+p×103+m×102+n×101+p×100=m×(105+102)+n×(104+10)+p×(103+1)=m×102×(103+1)+n×10×(103+1)+p×(103+1)=(103+1)×(m×102+n×10+p)=1001×(m×102+n×10+p)=7×11×13×(m×102+n×10+p)\begin{aligned} A&=m\times 10^5+n\times 10^4+p\times 10^3+ m\times 10^2+n\times 10^1+p\times 10^0 \ &=m\times (10^5+10^2)+n\times (10^4+10)+p\times (10^3+1) \ &=m\times 10^2\times (10^3+1)+n\times 10\times (10^3+1)+p\times (10^3+1) \ &=(10^3+1)\times (m\times 10^2+n\times 10+p) \ &=1\,001\times (m\times 10^2+n\times 10+p) \ &=7\times 11\times 13\times (m\times 10^2+n\times 10+p) \end{aligned}

  • Montrons que AA est divisible par 77.

Nous avons donc :

A=7×(11×13×(m×102+n×10+p))A=7\times \big(11\times 13\times (m\times 10^2+n\times 10+p)\big)

Posons k=11×13×(m×102+n×10+p)k=11\times 13\times (m\times 10^2+n\times 10+p).
Comme somme et produit de nombres entiers, kk est aussi un entier et nous avons :

A=7×k [avec k un entier]A=7\times k \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $k$ un entier]}}}

  • AA est donc divisible par 77.
  • Montrons que AA est divisible par 1111.

De la même façon :

A=11×(7×13×(m×102+n×10+p))k=11×k [avec k un entier]\begin{aligned} A&=11\times \overbrace{\big(7\times 13\times (m\times 10^2+n\times 10+p)\big)}^{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{k^{\prime}}}} \ &=11\times k^{\prime} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $k^{\prime}$ un entier]}}} \end{aligned}

  • AA est donc divisible par 1111.
  • Montrons enfin que AA est divisible par 1111.

Toujours de la même façon :

A=13×(7×11×(m×102+n×10+p))k=13×k [avec k un entier]\begin{aligned} A&=13\times \overbrace{\big(7\times 11\times (m\times 10^2+n\times 10+p)\big)}^{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{k^{\prime\prime}}}} \ &=13\times k^{\prime\prime} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $k^{\prime\prime}$ un entier]}}} \end{aligned}

  • AA est donc divisible par 1313.
  • Quels que soient les entiers mm, nn et pp compris entre 00 et 99, l’entier AA de la forme « mnpmnpmnp\,mnp » est divisible par 77, 1111 et 1313.
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Exemple

Vérifions avec A=763763A=763\,763 en utilisant notre calculatrice :

7637637=10910976376311=6943376376313=58751\begin{aligned} \dfrac {763\,763}7&=109\,109 \ \dfrac {763\,763}{11}&=69\,433 \ \dfrac {763\,763}{13}&=58\,751 \end{aligned}

  • 763763763\,763 est bien divisible par 77, 1111 et 1313.

Vous pouvez essayer avec le nombre de votre choix, vous verrez que, bien sûr, cela fonctionne !